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2021-2022學(xué)年河南省駐馬店市平輿縣第三高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)y=的值域?yàn)椋ǎ〢.[3,+∞) B.(0,3] C. D.參考答案:C【考點(diǎn)】函數(shù)的值域.【分析】換元得出y=()t,t≤1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出即可.【解答】解:∵函數(shù)y=∴設(shè)t=﹣x2+2x,x∈R得出t≤1y=()t,t≤1根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出:值域?yàn)椋篬,+∞)故選:C.2.角α的終邊過點(diǎn)(3a﹣9,a+2),且cosα<0,sinα>0,則a的范圍是()A.(﹣2,3) B.[﹣2,3) C.(﹣2,3] D.[﹣2,3]參考答案:A【考點(diǎn)】三角函數(shù)值的符號(hào).【分析】由cosα<0且sinα>0,判斷出此點(diǎn)是第二象限中的點(diǎn),實(shí)數(shù)a的取值范圍易得.【解答】解:由題意α的終邊上有一點(diǎn)P(3a﹣9,a+2),滿足cosα<0且sinα>0,故此點(diǎn)是第二象限中的點(diǎn),∴3a﹣9<0,且a+2>0,∴﹣2<a<3,故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的符號(hào),求解的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)確定出點(diǎn)P的坐標(biāo)的象限,從而得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式,求出實(shí)數(shù)n的取值范圍3.下列所給4個(gè)圖像中,與所給3件事吻合最好的順序?yàn)?/p>
(
)(1)我離開家不久,發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué);(2)我離開家后騎著車一路以常速行駛,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽擱了一些時(shí)間;(3)我離開家出發(fā)后,心情輕松,緩緩行進(jìn),后來為了趕時(shí)間開始加速。A、(1)(2)(4)
B、(4)(2)(3)
C、(4)(1)(3)
D、(4)(1)(2)參考答案:D4.若為等差數(shù)列,是其前n項(xiàng)和,且,則的值為(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:B5.函數(shù)f(x)=|x-1|(
)A.在(-1,+∞)上單調(diào)遞增
B.在(1,+∞)上單調(diào)遞增
C.在(-1,+∞)上單調(diào)遞減
D.在(1,+∞)上單調(diào)遞減參考答案:B因?yàn)?,故其在在上單調(diào)遞增,故選B.
6.在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則sinA=()A. B. C. D.參考答案:D【考點(diǎn)】HU:解三角形的實(shí)際應(yīng)用;HT:三角形中的幾何計(jì)算.【分析】由已知,結(jié)合勾股定理和余弦定理,求出AB,AC,再由三角形面積公式,可得sinA.【解答】解:∵在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,∴AB=BC,由余弦定理得:AC===BC,故BC?BC=AB?AC?sinA=?BC?BC?sinA,∴sinA=,故選:D7.下列式子中成立的是(
)A.
B.
C.
D.[來源參考答案:D8.設(shè),實(shí)數(shù)滿足,則關(guān)于的函數(shù)的圖像形狀大致是(
)A
B
C
D
參考答案:B略9.設(shè)函數(shù)y=f(x)在(﹣∞,+∞)內(nèi)有定義,對(duì)于給定的正數(shù)K,定義函數(shù):fK(x)=取函數(shù)f(x)=a﹣|x|(a>1).當(dāng)K=時(shí),函數(shù)fK(x)在下列區(qū)間上單調(diào)遞減的是(
)A.(﹣∞,0) B.(﹣a,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(1,+∞)參考答案:D【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間.【專題】計(jì)算題;壓軸題;新定義.【分析】先求出新函數(shù)的分界值,在利用定義求出新函數(shù)的解析式,最后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)論即可.【解答】解:因?yàn)?x=﹣1,x=1,所以:fK(x)==,因?yàn)閍>1,所以當(dāng)x≤﹣1時(shí),函數(shù)遞增,當(dāng)﹣1<x<1時(shí),為常數(shù)函數(shù),當(dāng)x≥1時(shí),為減函數(shù).故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題是在新定義下對(duì)函數(shù)單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的綜合考查.在作帶有新定義的題目時(shí),一定要先理解定義,再用定義作題.10.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案:C【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求得對(duì)應(yīng)點(diǎn),即可判斷.【詳解】因?yàn)?,故其?duì)應(yīng)的點(diǎn)為,容易知其位于第三象限.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義,屬綜合基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若方程表示圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_______.參考答案:【分析】方程表示圓,需要計(jì)算得到答案.【詳解】方程表示圓則【點(diǎn)睛】本題考查了二元二次方程表示圓的條件,屬于簡(jiǎn)單題.12.已知角的終邊過點(diǎn)P(4,-3),那么的值為
參考答案:13.圓心在y軸上且過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切,則該圓的方程是
.參考答案:x2+(y﹣5)2=25【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【專題】直線與圓.【分析】由題意求出圓的圓心與半徑,即可寫出圓的方程.【解答】解:圓心在y軸上且過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切,設(shè)圓的圓心(0,r),半徑為r.則:.解得r=5.所求圓的方程為:x2+(y﹣5)2=25.故答案為:x2+(y﹣5)2=25.【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的求法,求出圓的圓心與半徑是解題的關(guān)鍵.14.函數(shù)f(x)=ax-1+3的圖象一定過定點(diǎn)P,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.參考答案:(1,4)15.設(shè)函數(shù),則的值為
.參考答案:
16.函數(shù)的定義域是
參考答案:17.已知是兩個(gè)相互垂直的單位向量,則
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.如圖所示,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,點(diǎn)D在邊BC上,AD⊥C1D.(1)求證:平面ADC1⊥平面BCC1B1;(2)如果點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn),求證:AE∥平面ADC1.參考答案:【考點(diǎn)】LY:平面與平面垂直的判定;LS:直線與平面平行的判定.【分析】(1)推導(dǎo)出AD⊥C1D,從而CC1⊥平面ABC,進(jìn)而AD⊥CC1,由此能證明AD⊥平面BCC1B1.即平面ADC1⊥平面BCC1B1(2)由AD⊥BC,得D是BC中點(diǎn),連結(jié)ED,得四邊形AA1DE是平行四邊形,由此能證明A1E∥平面ADC1.【解答】證明:(1)∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,點(diǎn)D在邊BC上,AD⊥C1D,∴CC1⊥平面ABC,又AD?平面ABC,∴AD⊥CC1,又C1D∩CC1=C1,∴AD⊥平面BCC1B1.AD?面ADC1,∴平面ADC1⊥平面BCC1B1(2)∵AD⊥平面BCC1B1,∴AD⊥BC,∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC=AC,∴D是BC中點(diǎn),連結(jié)ED,∵點(diǎn)E是C1B1的中點(diǎn),∴AA1∥DE且AA1=DE,∴四邊形AA1DE是平行四邊形,∴A1E∥AD,又A1E?面ADC1,AD?平面ADC1.∴A1E∥平面ADC1.19.如圖,矩形中,平面,為上的點(diǎn),且平面.(1)求證:平面;(2)求證:∥平面.參考答案:略20.(本大題滿分9分)寫出兩角差的余弦公式,并證明參考答案:(Ⅰ)略(Ⅱ)由題意,設(shè)△ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c則S=bcsinA==bccosA=3>0∴A∈(0,),cosA=3sinA又sin2A+cos2A=1,∴sinA=,cosA=由題意,cosB=,得sinB=∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=
故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-21.(16分)已知函數(shù)f(x)=x2,g(x)=ax+3(a∈R),記函數(shù)F(x)=f(x)﹣g(x),(1)判斷函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)若函數(shù)|F(x)|在[0,1]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)若a>0,設(shè)F(x)在區(qū)間[1,2]的最小值為g(a),求g(a)的表達(dá)式.參考答案:考點(diǎn): 二次函數(shù)的性質(zhì).專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: (1)求出函數(shù)F(x)的表達(dá)式,根據(jù)判別式即可判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)根據(jù)函數(shù)|F(x)|在[0,1]上是減函數(shù),即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)根據(jù)函數(shù)F(x)在區(qū)間[1,2]的最小值為g(a),討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系,即可求出g(a).的表達(dá)式解答: (1)∵f(x)=x2,g(x)=ax+3(a∈R),∴函數(shù)F(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣ax﹣3.則判別式△=a2﹣4(﹣3)=a2+12>0,∴函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè).(2)∵F(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣ax﹣3.∴|F(x)|=|x2﹣ax﹣3|=,當(dāng)a≤0時(shí),對(duì)應(yīng)的圖象為:,當(dāng)a>0時(shí),對(duì)應(yīng)的圖象為:,∴要使函數(shù)|F(x)|在[0,1]上是減函數(shù),則,解得﹣2≤a≤0.(3)∵F(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣ax﹣3=(x﹣)2﹣3,∴對(duì)稱軸x=,①若,即0<a≤2時(shí),函數(shù)F(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,∴F(x)最小值為g(a)=F(1)=﹣2﹣a.②若,即a≥4時(shí),函數(shù)F(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,∴F(x)最小值為g(a)=F(2)=1﹣2a.③若,即2<a<4時(shí),函數(shù)F(x)在[1,2]上不單調(diào),∴函數(shù)F(x)最小值為g(a)=F()=﹣﹣3.綜上:g(a)=.點(diǎn)評(píng): 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用配方法得到二次函數(shù)的對(duì)稱軸,根據(jù)對(duì)稱軸和單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.22.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,它滿足條件,數(shù)列{bn}滿足.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
參考答案:解:(1)兩式相減得
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