2021-2022學(xué)年浙江省杭州市衢州中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2021-2022學(xué)年浙江省杭州市衢州中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知、為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若,,且,則B．若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則C．若，則D．若，則參考答案：D2.設(shè)直線與圓相切，則(A).

(B).

(C).

(D).參考答案：A略3.函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程是（

） A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.已知向量=（，k），=（k﹣1，4），若⊥，則實(shí)數(shù)k的值為（）A． B． C．﹣ D．2參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【專題】方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由題意可得?=（k﹣1）+4k=0，解方程可得．【解答】解：∵向量=（，k），=（k﹣1，4），且⊥，∴?=（k﹣1）+4k=0，解得k=，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積和垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．5.三棱錐P﹣ABC中，底面△ABC滿足BA=BC，，P在面ABC的射影為AC的中點(diǎn)，且該三棱錐的體積為，當(dāng)其外接球的表面積最小時(shí)，P到面ABC的距離為（）A．2 B．3 C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；LR：球內(nèi)接多面體．【分析】設(shè)AB=a，棱錐的高為h，根據(jù)體積得出a與h的關(guān)系，根據(jù)勾股定理得出外接球半徑R關(guān)于h的表達(dá)式，利用基本不等式得出R最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的h的值即可．【解答】解：設(shè)AC的中點(diǎn)為D，連接BD，PD，則PD⊥平面ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，設(shè)AB=BC=a，PD=h，外接球半徑OC=OP=R，則OD=h﹣R，CD=AC=a，∵VP﹣ABC===，∴a2=，∵CD2+OD2=OC2，即（h﹣R）2+a2=R2，∴R===≥3=，當(dāng)且僅當(dāng)即h=3時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)外接球半徑取得最小值時(shí)，h=3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐與球的位置關(guān)系，屬于中檔題．6.命題“且”的否定形式是（

）A．或

B．或C．或

D．且參考答案：C7.由０，１，２，…，９這十個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對(duì)值等于８的個(gè)數(shù)為（）

Ａ、180

B、196

C、210

D、224參考答案：C8.如果數(shù)列，，，…，，…是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則等于(

)

A．32

B．64

C．-32

D．-64參考答案：A9.設(shè)，，若直線與圓相切，則的取值范圍是（

）（A）

（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）參考答案：D∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離為，所以，設(shè)，則，解得.10.某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈的模型波動(dòng)（為月份），已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元，7月份價(jià)格最低為5千元，根據(jù)以上條件可確定的解析式為(

)A.

Ks5u

B.C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復(fù)數(shù)的虛部是．參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念．【專題】計(jì)算題．【分析】復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：復(fù)數(shù)==，它的虛部為：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，考查計(jì)算能力，?？碱}型．12.若函數(shù)的最小值為，最大值為，則＝_________．參考答案：【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學(xué)中有關(guān)方程與代數(shù)的基本知識(shí).【知識(shí)內(nèi)容】函數(shù)與分析/函數(shù)及其基本性質(zhì)/函數(shù)的基本性質(zhì);方程與代數(shù)/數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法/數(shù)列的極限.【試題分析】因?yàn)椋?，所以?13.已知是正整數(shù)，若關(guān)于的方程有整數(shù)解，則所有可能的取值集合是

．參考答案：14.已知函數(shù)f（x）的定義域[﹣1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示x﹣10245F（x）121.521下列關(guān)于函數(shù)f（x）的命題；①函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，2]；②函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)③如果當(dāng)x∈[﹣1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；④當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）﹣a最多有4個(gè)零點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是①②④．參考答案：①②④略15.設(shè)函數(shù)，則“為奇函數(shù)”是“”的

條件.（選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

參考答案：略16.若,且，則實(shí)數(shù)m的值為

.參考答案：1或-3略17.已知滿足，則的取值范圍是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題共13分）某中學(xué)號(hào)召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會(huì)公益活動(dòng)（以下簡(jiǎn)稱活動(dòng)）．該校合唱團(tuán)共有100名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．（I）求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)；（II）從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率．（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：解析：由圖可知，參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為10、50和40．（I）該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為．（II）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為．（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加2次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件．易知

；

；的分布列：012的數(shù)學(xué)期望：．19.（14分）（2016秋?天津期中）已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有實(shí)數(shù)a的值；（3）證明：（n∈N，n＞1）參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性；（2）對(duì)a進(jìn)行分類：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）遞減，又知f（1）=0可得f（x）＞0（x∈（0，1）；當(dāng)a＞0時(shí)，只需求f（x）max=f（a）=alna﹣a+1，讓最大值小于等于零即可；（3）利用（2）的結(jié)論，對(duì)式子變形可得=＜=．【解答】解：（1）f'（x）=當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，a）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；x∈（a+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）遞減，∵f（1）=0∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，a）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；x∈（a+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；∴f（x）max=f（a）=alna﹣a+1令g（a）=alna﹣a+1∴g'（a）=lna∴g（a）的最小值為g（1）=0∴alna﹣a+1≤0的解為a=1；（3）由（2）知：lnx＜x﹣1x＞1∵=＜=∴++…+＜++…+=．【點(diǎn)評(píng)】考察了導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性和最值問(wèn)題，利用結(jié)論證明不等式問(wèn)題．難點(diǎn)是對(duì)式子的變形整理．20.已知點(diǎn)P（，1），Q（cosx，sinx），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)f（x）=．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A為△ABC的內(nèi)角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函數(shù)的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范圍，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=?=（，1）?（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T=2π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c取等號(hào)，∴三角形周長(zhǎng)最大值為3+2．21.如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F(xiàn)分別是BC，A1C的中點(diǎn)．（1）求異面直線EF，AD所成角的余弦值；（2）點(diǎn)M在線段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求實(shí)數(shù)λ的值．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面平行的性質(zhì)．【分析】（1）建立坐標(biāo)系，求出直線的向量坐標(biāo)，利用夾角公式求異面直線EF，AD所成角的余弦值；（2）點(diǎn)M在線段A1D上，=λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求實(shí)數(shù)λ的值．【解答】解：因?yàn)樗睦庵鵄BCD﹣A1B1C1D1為直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD．又AE?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．在菱形ABCD中∠ABC=，則△ABC是等邊三角形．因?yàn)镋是BC中點(diǎn)，所以BC⊥AE．因?yàn)锽C∥AD，所以AE⊥AD．建立空間直角坐標(biāo)系．則A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（，，1）．（1）=（0，2，0），=（﹣，，1），所以異面直線EF，AD所成角的余弦值為=．

…（2）設(shè)M（x，y，z），由于點(diǎn)M在線段A1D上，且=λ，則（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．則M（0，2λ，2﹣2λ），=（﹣，2λ﹣1，2﹣2λ）．

…設(shè)平面AEF的法向量為=（x0，y0，z0）．因?yàn)?（，0，0），=（，，1），由，得x0=0，y0+z0=0．取y0=2，則z0=﹣1，則平面AEF的一個(gè)法向量為n=（0，2，﹣1）．

…由于CM∥平面AEF，則=0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ=．…22.（本題滿分12分）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)同時(shí)報(bào)名參加某重點(diǎn)高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序?yàn)閷徍瞬牧虾臀幕瘻y(cè)試，只有審核過(guò)關(guān)后才能參加文化測(cè)試，文