2021-2022學年湖南省衡陽市衡南第六中學高二數(shù)學文月考試題含解析

2021-2022學年湖南省衡陽市衡南第六中學高二數(shù)學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對于不等式＜n+1（n∈N*），某同學用數(shù)學歸納法的證明過程如下：（1）當n=1時，＜1+1，不等式成立．（2）假設當n=k（k∈N*）時，不等式成立，即＜k+1，則當n=k+1時，=＜==（k+1）+1，∴當n=k+1時，不等式成立．則上述證法（）A．過程全部正確 B．n=1驗得不正確C．歸納假設不正確 D．從n=k到n=k+1的推理不正確參考答案：D【考點】數(shù)學歸納法．【分析】此證明中，從推出P（k+1）成立中，并沒有用到假設P（k）成立的形式，不是數(shù)學歸納法．【解答】解：在n=k+1時，沒有應用n=k時的假設，即從n=k到n=k+1的推理不正確．故選D．2.若直線3x+y+a=0平分圓x2+y2+2x-4y=0則a=

A、－1

B、1

C、3

D、－3參考答案：B3.已知為R上的奇函數(shù)，，則數(shù)列的通項公式為A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.是定義在上的非負、可導函數(shù)，且滿足，對任意正數(shù)，若，則必有

()．A．

B．C．

D．參考答案：A5.已知直線與垂直，則=（）A．

B．

C．

D．

參考答案：D6.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)的數(shù)學期望（

）A

B

C

D參考答案：B略8.某產(chǎn)品分為甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03,出現(xiàn)丙級品的概率為0.01,則對產(chǎn)品抽查一次抽得正品的概率是(

)(A)0.99

(B)0.98

(C)0.97

(D)0.96參考答案：D略9.復數(shù)的共軛復數(shù)是（

）A．

B．

C．－i

D．i參考答案：C10.曲線作線性變換后得到的回歸方程為，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（

）A.(0,+∞) B.(1,+∞) C. D.參考答案：D分析：令，對函數(shù)進行二次擬合得出a，b的值，代入計算即可.詳解：令，解得，，開口向上，的單調遞增區(qū)間為.故選：D點睛：本題考查了非線性相關的二次擬合問題，選擇對數(shù)變換是關鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（本小題滿分5分）對于函數(shù)f(x)＝log2x在其定義域內任意的x1，x2且x1≠x2，有如下結論：上述結論中正確結論的序號是________．參考答案：②③12.如圖，它滿足第n行首尾兩數(shù)均為n，則第7行第2個數(shù)是

．第n行（n≥2）第2個數(shù)是

．參考答案：22；?！究键c】進行簡單的合情推理．【專題】轉化思想；數(shù)學模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設第7行第2個數(shù)是x，由斜列：2，4，7，11，16，…，可知4﹣2=2，7﹣4=3，11﹣7=4，16﹣11=5，x﹣16=6，解得x．由a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，…，可得：a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，a5﹣a4=4，…，利用“累加求和”方法即可得出．【解答】解：①設第7行第2個數(shù)是x，由斜列：2，4，7，11，16，…，可知4﹣2=2，7﹣4=3，11﹣7=4，16﹣11=5，x﹣16=6，解得x=22．②由a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，…，可得：a3﹣a2=4﹣2=2，a4﹣a3=7﹣4=3，a5﹣a4=11﹣7=4，…，∴an=a2+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）=2+2+3+…+（n﹣1）=1+=．故答案分別為：22；．【點評】本題考查了“累加求和”方法、等差數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．13.已知一圓柱內接于球O，且圓柱的底面直徑與母線長均為2，則球O的表面積為_________參考答案：略14.在區(qū)間（0，5）上隨機取一個實數(shù)x，則x滿足x2﹣2x＜0的概率為

．參考答案：求解一元二次不等式得x2﹣2x＜0的解集，再由長度比求出x2﹣2x＜0的概率．解：由x2﹣2x＜0，得0＜x＜2．∴不等式x2﹣2x＜0的解集為（0，2）．則在區(qū)間（0，5）上隨機取一個實數(shù)x，則x滿足x2﹣2x＜0的概率為．故答案為：．15.如圖所示的幾何體ABCDEF中，ABCD是平行四邊形且，六個頂點任意兩點連線能組成異面直線的對數(shù)是__________．參考答案：39【分析】根據(jù)三棱錐的結構特征可得：每個三棱錐中有三對異面直線，因為六個點一共形成C64﹣2＝13個三棱錐（計算三棱錐的個數(shù)時應該做到不重不漏），所以得到答案為3（C64﹣2）＝39．【詳解】解：由題意可得：因為題中共有六個點，所以一共形成C64﹣2＝13個三棱錐，又因為每個三棱錐中有三對異面直線，所以異面直線的對數(shù)是3（C64﹣2）＝39．故答案為：39．【點睛】本題把排列組合和立體幾何掛起鉤來，因此解決此類問題的關鍵是熟練掌握立體幾何中一共幾何體的結構特征，并且結合排列與組合的有關知識解決問題．16.若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當a從﹣2連續(xù)變化到0時，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為

．參考答案：1【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，找出當a從﹣2連續(xù)變化到0時，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域，利用三角形面積公式求解．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，當a從﹣2連續(xù)變化到0時，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域為三角形OAB．∴．故答案為：1．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．17.設是橢圓上一動點，是橢圓的兩個焦點，則的最大值為

.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，長軸長為4，直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B．（1）求橢圓的方程；（2）求m的取值范圍；（3）若直線l不經(jīng)過橢圓上的點M（4，1），求證：直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（Ⅰ）由已知條件推導出2a=4，e=，由此能求出橢圓方程．（Ⅱ）將y=x+m代入，得5x2+8mx+4m2﹣20=0，利用根的判斷式能求出m的取值范圍．（Ⅲ）設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，設A（），B（x2，y2），k1+k2=+，由此利用韋達定理能證明直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．【解答】解：（Ⅰ）橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，長軸長為4，∴2a=4，e=，解得a=2，c=，b=，∴橢圓方程為．…（4分）（Ⅱ）將y=x+m代入，并整理，得：5x2+8mx+4m2﹣20=0，∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B，∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5，∴m的取值范圍是（﹣5，5）．（Ⅲ）設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，設A（），B（x2，y2），則由（Ⅱ）得x1+x2=﹣，x1x2=，k1+k2=+=，∵分子=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1）=，∴k1+k2=0，∴直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查兩直線的斜率互為相反數(shù)的證明，解題時要注意根的判別式和韋達定理的合理運用．19.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=，且滿足2Sn+1=4Sn+1（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）當1≤i≤n，1≤j≤n（i，j，n均為正整數(shù)）時，求ai和aj的所有可能的乘積aiaj之和．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式．【專題】綜合題；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．【分析】（Ⅰ）由2Sn+1=4Sn+1，再寫一式，兩式相減，確定數(shù)列{an}是首項為，公比為2的等比數(shù)列，即可求出an．（Ⅱ）由ai和aj的所有可能乘積ai?aj=2i+j（1≤i≤j≤n）可構成下表：21+1﹣4，21+2﹣4，21+3﹣4，…，21+n﹣4，22+1﹣4，22+2﹣4，…，22+n﹣4，2n+1﹣4，2n+2﹣4，2n+3，…，2n+n﹣4，即可求ai和aj的所有可能的乘積aiaj之和Tn．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，兩式相減得an+1=2an，∴，由2S2=4S1+1得2（a1+a2）=4a1+1，又，∴．∴數(shù)列{an}是首項為，公比為2的等比數(shù)列，∴．（Ⅱ）由ai和aj的所有可能乘積（1≤i≤n，1≤j≤n）

可構成下表：21+1﹣4，21+2﹣4，21+3﹣4，…，21+n﹣4，22+1﹣4，22+2﹣4，…，22+n﹣4，2n+1﹣4，2n+2﹣4，2n+3，…，2n+n﹣4，設上表第一行的和為T1，則于是…+2n﹣1）==【點評】考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式的證明、數(shù)列的求和等知識，考查推理論證能力和運算求解能力和化歸轉化數(shù)學思想．20.某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本(萬元)與年產(chǎn)量(噸)之間的函數(shù)關系式可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸．（Ⅰ）求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；（Ⅱ）若每噸產(chǎn)品平均出廠價為萬元，那么當年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？參考答案：（Ⅰ）每噸平均成本為（萬元），

（2分）則

（4分）當且僅當，即時取等號

（5分）∴年產(chǎn)量為噸時，每噸平均成本最低為萬元

（6分）（Ⅱ）設年獲利潤為萬元

（7分）則

（8分）

∵在上是增函數(shù)．

（10分）∴當時，有最大值∴年產(chǎn)量為噸時，可以獲得最大利潤萬元．

（12分）

【解析】略21.已知曲線，直線（為參數(shù)）．（1）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（2）過曲線上任意一點作與夾角為30°的直線，交于點，求的最大值與最小值．參考答案：(1)；(2)．

試題解析：（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）直線的普通方程為

5分（2）曲線C上任意一點到的距離為則，其中為銳角，且當時，取得最大值，最大值為當時，取得最小值，最小值為

10分考點：參數(shù)方程化為普通方程；參數(shù)方程的應用．22.若二項式的展開式中的常數(shù)項為第5項.(1)求n的值；(2)求展開式中