2021-2022學年遼寧省鞍山市大營子中學高三數學理下學期期末試題含解析

2021-2022學年遼寧省鞍山市大營子中學高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若復數滿足，其中為虛數單位，則的虛部為（

）A．

B．2

C．

D．參考答案：A考點：復數的應用.2.已知，若將它的圖象向右平移個單位，得到函數g（x）的圖象，則函數g（x）圖象的一條對稱軸的方程為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性，求得函數g（x）圖象的一條對稱軸的方程．【解答】解：已知，若將它的圖象向右平移個單位，得到函數g（x）=2sin（2x﹣+）=2sin（2x﹣）的圖象，令2x﹣=kπ+，可得x=+，k∈Z，故函數g（x）圖象的一條對稱軸的方程為x=，故選：A．【點評】本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．3.函數的定義域為(

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.已知i為虛數單位，則的實部與虛部之積等于（）A． B． C．I

D．i參考答案：A【考點】復數代數形式的乘除運算；復數的基本概念．【分析】先對所給的復數分子分母同乘以1+i，再進行化簡整理出實部和虛部，即求出它們的乘積，【解答】解：∵==，∴所求的實部與虛部之積是．故選A．5.橢圓C：的左、右頂點分別為A1、A2，點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（

）參考答案：B略6.△ABC中，角A，B，C成等差數列是成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．

【專題】簡易邏輯．【分析】根據等差數列和兩角和的正弦公式，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．【解答】解：若A，B，C成等差數列，則A+C=2B，∴B=60°，若，則sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差數列是成立的充分不必要條件．故選：A．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等差數列的性質以及兩角和差的正弦公式是解決本題的關鍵．7.過拋物線y2=4x的焦點作直線l交拋物線于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則|AB|等于（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：D【考點】拋物線的應用；拋物線的定義．【分析】線段AB的中點到準線的距離為4，設A，B兩點到準線的距離分別為d1，d2，由拋物線的定義知|AB|的值．【解答】解：由題設知知線段AB的中點到準線的距離為4，設A，B兩點到準線的距離分別為d1，d2，由拋物線的定義知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故選D．8.在中，，,為邊的兩個三等分點，則A. B. C. D.參考答案：A9.某網店出售一種餅干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四種口味，一位顧客在該店購買了兩袋這種餅干，“口味”選擇“隨機派送”，則這位顧客買到的兩袋餅干是同一種口味的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】利用等可能事件概率計算公式直接求解．【解答】解：某網店出售一種餅干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四種口味，一位顧客在該店購買了兩袋這種餅干，“口味”選擇“隨機派送”，基本事件總數n=4，這位顧客買到的兩袋餅干是同一種口味包含的基本事件個數m=1，∴這位顧客買到的兩袋餅干是同一種口味的概率是p==．故選：B．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．10.設函數f（x），g（x）在[a，b]上均可導，且f′（x）＜g′（x），則當a＜x＜b時，有(

)A．f（x）＞g（x） B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a） C．f（x）＜g（x） D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）參考答案：B【考點】導數的運算．【專題】函數的性質及應用．【分析】構造函數，設F（x）=f（x）﹣g（x），因為函數f（x），g（x）在[a，b]上均可導，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可導，并且F′（x）＜0，得到函數的單調性，利用單調性得到F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），得到選項．【解答】解：設F（x）=f（x）﹣g（x），因為函數f（x），g（x）在[a，b]上均可導，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可導，并且F′（x）＜0，所以F（x）在[a，b]上是減函數，所以F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）；故選B．【點評】本題考查了函數的單調性，關鍵構造函數，利用求導判斷函數的單調性．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.具有性質：的函數，我們稱為滿足“倒負”交換的函數，下列函數：

①②③中滿足“倒負”變換的函數是

.參考答案：①③當時，，所以①滿足“倒負”變換的函數。當時，，所以②不滿足“倒負”變換的函數。當時，當時，，，當時，，，所以③滿足“倒負”變換的函數，所以滿足條件的函數是①③。12.已知函數f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．當2＜a＜3＜b＜4時，函數數f(x)的零點x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝▲.參考答案：2略13.函數的對稱軸的集合為

參考答案：由，得，即對稱軸的集合為。14.函數，則不等式的解集為_______參考答案：略15.農業(yè)技術員進行某種作物的種植密度試驗，把一塊試驗田劃分為8塊面積相等的區(qū)域（除了種植密度，其它影響作物生長的因素都保持一致），種植密度和單株產量統計如下：

根據上表所提供信息，第_____號區(qū)域的總產量最大，該區(qū)域種植密度為_____株/.參考答案：5，3.6

略16.若對滿足條件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，則實數a的取值范圍是

．參考答案：a【考點】函數恒成立問題；基本不等式．【分析】由基本不等式可得，x+y+3=xy≤，從而可求x+y的范圍，然后由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0得a恒成立，則只要a≤即可【解答】解：∵x＞0，y＞0∴x+y+3=xy≤∴x+y≥6由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0可得a恒成立令x+y=t，f（t）=t+在[6，+∞）上單調遞增，則當t=6時f（t）min=f（6）=∴a≤故答案為：a≤17.已知，則=__________參考答案：0略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題13分）如圖，在四棱錐中，平面，，平分，為的中點，（1）證明：平面（2）證明：平面（3）求直線與平面所成角的正切值參考答案：①證明：設AC∩BD=H,連結EH，在△ADC中，因為AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H為AC的中點，又E為P的中點，故EH//PA又EH平面BDEPA平面BDE∴PA//平面BDE②證明：∵PD⊥平面ABCDAC平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD③解由AC⊥平面PBD可知，BH為BC在平面PBD內的射影，所以∠CBH為直線與平面PBD所成的角。由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2可得19.已知數列滿足：，其中為數列的前項和.（1）試求的通項公式；（2）若數列滿足：，試求的前項和公式.參考答案：（1）

（2）（1）

①

②②-①得

又∵時，

（2）

③④③-④得

整理得：20.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，右焦點為F，以原點O為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，過定點P（2，0）的直線l交橢圓C于A，B兩點，連接AF并延長交C于M，求證：∠PFM＝∠PFB．參考答案：（1）（2）證明過程詳見解析【分析】（1）設出圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出b，利用離心率求出a，即可求出橢圓C的標準方程；（2）依題意可知直線斜率存在，設方程，代入整理得，與橢圓有兩個交點，.設，，直線，的斜率分別為，，利用韋達定理證明即可.【詳解】解：（1）依題意可設圓方程為，圓與直線相切，.，由解得，橢圓的方程為.（2）依題意可知直線斜率存在，設方程為，代入整理得，與橢圓有兩個交點，，即.設，，直線，的斜率分別為，則，.，即.【點睛】本題考查橢圓的標準方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，圓的圓心與半徑的求法，考查分析問題解決問題的能力．21.如圖，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD為菱形，平面ABCD，，E，F分別是BC，PC的中點。

（Ⅰ）證明：AEPD；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAD所成角的正弦值為，求二面角E—AF—C的余弦值。

參考答案：22.（16分）已知函數，（為常數）．函數定義為：對每個給定的實數，（1）求對所有實數成立的充分必要條件（用表示）；（2）設是兩個實數，滿足，且．若，求證：函數在區(qū)間上的單調增區(qū)間的長度之和為（閉區(qū)間的長度定義為）參考答案：解析：（1）由的定義可知，（對所有實數）等價于（對所有實數）這又等價于，即對所有實數均成立.

（*）由于的最大值為，故（*）等價于，即，這就是所求的充分必要條件（2）分兩種情形討論

（i）當時，由（1）知（對所有實數）則由及易知，再由的單調性可知，函數在區(qū)間上的單調增區(qū)