2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市龍新中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析_第1頁(yè)
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2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市龍新中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f(x)=sinx+cosx的一條對(duì)稱(chēng)軸是()A.x=B.x=C.x=D.x=參考答案:A考點(diǎn):兩角和與差的正弦函數(shù);正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性.專(zhuān)題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).分析:化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sin(x+),令x+=kπ+,k∈z,求出x即為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸.解答:解:根據(jù)和差公式可得f(x)=sinx+cosx=sin(x+)令x+=kπ+,k∈z,可得x=kπ+,k∈z.故選:A.點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換,正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式為sin(x+),是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.2.已知,是由直線,和曲線圍成的曲邊三角形區(qū)域,若向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn),點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為,則的值是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案:D區(qū)邊三角形的面積為,區(qū)域的面積為1,若向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn),點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率,所以,所以,選D.3.已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)

A.-1-i

B.-1+i

C.1+i

D.1-i參考答案:B4.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S10:S5=1:2,則

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案:B5.滿足,且的集合的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4 參考答案:B略6.已知是定義在上的奇函數(shù),滿足,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A.3

B.5

C.7

D.9參考答案:D7.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且,B=45°,面積S=3,則b的值為()A.6 B.26 C. D.參考答案:D【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用.【分析】利用三角形的面積公式求出邊a;利用三角形的余弦定理求出邊b.【解答】解:在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且,B=45°,面積S=3,∴S=acsinB==3.∴a=6.由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=36+2﹣12×=26.∴b=.故選:D.8.過(guò)橢圓(a>b>0)左焦點(diǎn)F斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),向量與向量a=(3,-l)共線,則該橢圓的離心率為A.

B.

C.

D.參考答案:B9.在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,則A=

(

)A.30°

B.60°

C.120°

D.150°參考答案:A略10.在封閉直三棱柱ABC﹣A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球,若AB⊥BC,AB=15,BC=8,AA1=5,則V的最大值是()A. B. C. D.36π參考答案:B【考點(diǎn)】LG:球的體積和表面積.【分析】要使球的體積V最大,必須使球的半徑R最大.因?yàn)椤鰽BC內(nèi)切圓的半徑為2,所以由題意易知球與直三棱柱的上、下底面都相切時(shí),球的半徑取得最大值,求出三棱柱ABC﹣A1B1C1內(nèi)切球半徑即可【解答】解:要使球的體積V最大,必須使球的半徑R最大.Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=15,BC=8,∴AC=12,△ABC內(nèi)切圓的半徑為r=3,所以由題意易知球與直三棱柱的上、下底面都相切時(shí),球的半徑取得最大值為.此時(shí)球的體積為πR3=,故選:B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數(shù)列{an}中,若a1<0,S9=S12,則當(dāng)n等于________時(shí),Sn取得最小值.

參考答案:10或1112.已知函數(shù),則_____.參考答案:因?yàn)?,所以.故答案為?3.理:已知數(shù)列的通項(xiàng)公式(其中),則該數(shù)列的前項(xiàng)和

.參考答案:;14.一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示,如果左視圖的面積為,則這個(gè)三棱柱的體積為_(kāi)_______.

參考答案:略15.如圖,,且,若,(其中),則終點(diǎn)落在陰影部分(含邊界)時(shí),的取值范圍是

.

參考答案:16.已知函數(shù)f(x)=,若f(a)+f(1)=0,則實(shí)數(shù)a=.參考答案:-3略17..如圖是一個(gè)算法的流程圖,若輸入的值是10,則輸出的值是

.參考答案:

略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(12分)如圖,正方形所在的平面與平面垂直,是和的交點(diǎn),,且.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成的角的大?。?Ⅲ)求二面角的大小.參考答案:解析:解法一:(Ⅰ)∵四邊形是正方形,.

………1分∵平面平面,

又∵,平面.……3分平面,.平面.

………………4分

(Ⅱ)連結(jié),平面,是直線與平面所成的角.……5分設(shè),則,,

……6分,.

即直線與平面所成的角為.

…8分

(Ⅲ)過(guò)作于,連結(jié).

…………9分平面,.平面.是二面角的平面角.…10分∵平面平面,平面..在中,,有.由(Ⅱ)所設(shè)可得,,.………11分..∴二面角等于.

………12分解法二:∵四邊形是正方形,,∵平面平面,平面,

……2分∴可以以點(diǎn)為原點(diǎn),以過(guò)點(diǎn)平行于的直線為軸,分別以直線和為軸和軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn),.……4分

(Ⅰ)

,,,,…………5分平面.

……6分(Ⅱ)平面,為平面的一個(gè)法向量,………7分,.………8分.∴直線與平面所成的角為.……9分

(Ⅲ)設(shè)平面的法向量為,則且,且.

即取,則,則.……10分又∵為平面的一個(gè)法向量,且,,……11分設(shè)二面角的平面角為,則,.∴二面角等于.…………………12分

19.(2016秋?桓臺(tái)縣校級(jí)期末)在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊CD,CB的中點(diǎn),AC∩EF=O,沿EF將△CEF翻折到△PEF,連接PA,PB,PD,得到如圖的五棱錐,且.(1)求證:BD⊥平面POA;(2)求二面角B﹣AP﹣O的余弦值.參考答案:【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法;直線與平面垂直的判定.【分析】(1)推導(dǎo)出BD∥EF,BD⊥AC,EF⊥AC,從而EF⊥AO,EF⊥PO,由此能證明BD⊥平面POA.(2)設(shè)AO∩BD=H,連接BO,以O(shè)為原點(diǎn),OF所在直線為x軸,AO所在直線y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣O的余弦值.【解答】證明:(1)∵點(diǎn)E,F(xiàn)分別為CD,CB的中點(diǎn),∴BD∥EF,∵菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直,∴BD⊥AC,∴EF⊥AC,∴EF⊥AO,EF⊥PO,∵AO?平面POA,PO?平面POA,AO∩PO=O,∴EF⊥平面POA,∴BD⊥平面POA.解:(2)設(shè)AO∩BD=H,連接BO,∵∠DAB=60°,∴△ABD為等邊三角形,∴,在Rt△BHO中,,在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,∴PO⊥BO,∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面BFED,∴PO⊥平面BFED,以O(shè)為原點(diǎn),OF所在直線為x軸,AO所在直線y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,則.∴,設(shè)平面PAB的法向量為=(x,y,z),則,取y=1,得=(﹣),∵BD⊥平面POA,AO∩BD=H,∴平面PAO的一個(gè)法向量為=(﹣2,0,0),設(shè)二面角B﹣AP﹣O的平面角為θ,則cosθ===,∴二面角B﹣AP﹣O的余弦值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).20.已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為105,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)對(duì)任意,將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為.求數(shù)列的前m項(xiàng)和.

參考答案:(I)由已知得:解得,所以通項(xiàng)公式為.……………6分(II)由,得,即.∴是公比為49的等比數(shù)列,……………14分略21.已知橢圓C:,直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))。(1)

試探究:點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值,若是,求出該定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)

求的最小值。(3)

參考答案:(Ⅰ)點(diǎn)到直線的距離是定值.

設(shè),①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),則由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知,,.∵,即,也就是,代入橢圓方程解得:.此時(shí)點(diǎn)到直線的距離.

………2分②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,消去得:,,,

………3分因?yàn)?,所以,所以?/p>

………4分代入得:,整理得,

………5分到直線的距離.綜上所述,點(diǎn)到直線的距離為定值.

………6分(Ⅱ)(法一:參數(shù)法)設(shè),,設(shè)直線的斜率為,則的方程為,的方程為,

解方程組,得,

同理可求得,故……………9分令,則,令,所以,即………………11分當(dāng)時(shí),可求得,故,故的最小值為,最大值為2.……………………13分法二:(均值不等式法)由(Ⅰ)可知,到直線的距離.在中,,故有,即,

………9分而(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))代入上式可得:,即,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

………………11分故的最小值為.

………13分法三:(三角函數(shù)法)由(Ⅰ)可知,如圖,在中,點(diǎn)到直線的距離.

設(shè),則,故,.……9分所以,,…………11分顯然,當(dāng),即時(shí),取得最小值,最小值為.

…………13分22.(本小題16分)已知函數(shù)且

(I)試用含的代數(shù)式表示;

(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅲ)令,設(shè)函數(shù)在處取得極值,記點(diǎn),證明:線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn);參考答案:解法一:依題意,得

,--------------------------------------------------2分故.------------------------------------------------------------------------------------4分

由得,故,令,則或,--------------------------------------------------6分①

當(dāng)時(shí),,當(dāng)變化時(shí),與的變化如下表:(,)(,)(,)+-+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(,)和(,),單調(diào)減區(qū)間為(,).②

當(dāng)時(shí),.此時(shí)恒成立,且僅在處,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.③

當(dāng)時(shí),,同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為.--------------------------------------------------9分綜上:當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(,)和(,),單調(diào)減區(qū)間為(,);當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為.-------------------------------10分(Ⅲ)當(dāng)時(shí),得由,得,.由(Ⅱ)得單調(diào)區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為,所以函數(shù)在,處取得極值;故,.------------------------------------------------------------12分所以直線的方程為,由,得-------------------------------14分令.易得,.而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線,故在內(nèi)存在零點(diǎn),這表明線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn).--------------------------------------------------------------

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