2021-2022學(xué)年湖南省永州市犁頭中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題

2021-2022學(xué)年湖南省永州市犁頭中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知點(diǎn)A（4，4）在拋物線y2=2px（p＞0）上，該拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)A作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為E，則∠EAF的平分線所在的直線方程為（）A．2x+y﹣12=0 B．x+2y﹣12=0 C．2x﹣y﹣4=0 D．x﹣2y+4=0參考答案：D【分析】先求出拋物線方程，再拋物線的定義可得|AF|=|AE|，所以∠EAF的平分線所在直線就是線段EF的垂直平分線，從而可得結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)A（4，4）在拋物線y2=2px（p＞0）上，∴16=8p，∴p=2∴拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1，E（﹣1，4）由拋物線的定義可得|AF|=|AE|，所以∠EAF的平分線所在直線就是線段EF的垂直平分線∵kEF=﹣2，∴∠EAF的平分線所在直線的方程為y﹣4=（x﹣4），即x﹣2y+4=0故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2﹣2x，則函數(shù)g（x）=f（x）+1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)零點(diǎn)的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：若x＜0，﹣x＞0，則f（﹣x）=x2+2x，∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），即f（x）=﹣x2﹣2x，x＜0，當(dāng)x≥0時(shí)，由g（x）=f（x）+1=0得x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，得x=1，當(dāng)x＜0時(shí)，由g（x）=f（x）+1=0得﹣x2﹣2x+1=0，即（x2+2x﹣1=0．即（x﹣1）2=2，得x=1+（舍）或x=1﹣，故函數(shù)g（x）=f（x）+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．自變量取值一定時(shí),因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系B．線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)C．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高D．在回歸分析中，為0.98的模型比為0.80的模型擬合的效果好參考答案：BA，C，D均正確，B錯(cuò)誤，故選擇B。4.已知向量與不平行，且||=||≠0，則下列結(jié)論中正確的是（）A．向量與垂直 B．向量與垂直C．向量與垂直 D．向量與平行參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；平行向量與共線向量．【分析】求出（）?（）=0，從而得到與垂直．【解答】解：∵向量與不平行，且||=||≠0，∴（）?（）==||2﹣||2=0，∴與垂直．故選：A．5.若則“”是“”

A．必要不充分條件

B．充分不必要條件

C．充要條件

D．既不充分與不必要條件參考答案：A略6.拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程是(

)A.4y+1=0

B.4x+1=0

C.2y+1=0

D.2x+1=0參考答案：7.分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，組成一個(gè)樣本的抽樣方法；在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問(wèn)題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢．欲以錢多少衰出之，問(wèn)各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共100錢，要按照各人帶錢多少的比例進(jìn)行交稅，問(wèn)三人各應(yīng)付多少稅？則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．甲應(yīng)付錢 B．乙應(yīng)付錢C．丙應(yīng)付錢 D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少參考答案：B由分層抽樣知識(shí)可知，，則甲應(yīng)付：錢；乙應(yīng)付：錢；丙應(yīng)付：錢.故選：B

8.已知點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且，I為三角形的內(nèi)心，若成立，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.設(shè)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

(

）A．B．C．D．參考答案：C10.在四邊形ABCD中，，，則（

）A．5

B．－5

C．－3

D．3參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直三棱柱ABC－A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，AA1＝2，則球O的表面積為____________．參考答案：1612.若直線y＝kx與圓x2＋y2－4x＋3＝0相切，則k的值是____．參考答案：略13.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則公比q=______參考答案：14.已知，，且，則與夾角的余弦值為___________.參考答案：，，．15.已知sinα?cosα=，且＜α＜，則cosα﹣sinα=

．參考答案：﹣【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)＜α＜時(shí)，則cosα﹣sinα＜0，于是可對(duì)所求關(guān)系式平方后再開方即可．【解答】解：∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，設(shè)cosα﹣sinα=t（t＜0），則t2=1﹣2sinαcosα=1﹣=，∴t=﹣，即cosα﹣sinα=﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，著重考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性，判斷知cosα﹣sinα＜0是關(guān)鍵，考查分析、運(yùn)算能力，屬于中檔題．16.若雙曲線的漸近線方程為y=x，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．參考答案：（）

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意知，m=3．由此可以求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：由題意知，∴m=3．∴c2=4+3=7，∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）．故答案：（）．17.已知在直角三角形中，，，點(diǎn)是斜邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則

．參考答案：4．試題分析：由題意可建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，或，所以可得或，，，所以，所以或．故應(yīng)填4．考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線C1的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=2.正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A、B、C、D以逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，)(Ⅰ)求點(diǎn)A、B、C、D的直角坐標(biāo)；(Ⅱ)設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.參考答案：19.（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函數(shù)f（x）=（+）?﹣2．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，其中A為銳角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面積S．參考答案：【考點(diǎn)】解三角形；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合輔助角公式可得f（x）=sin（2x﹣），利用周期公式可求；（Ⅱ）由結(jié)合可得，，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，從而有，即b2﹣4b+4=0，解方程可得b，代入三角形面積公式可求．【解答】解：（Ⅰ）=（2分）===（4分）因?yàn)棣?2，所以（6分）（Ⅱ）因?yàn)椋?，?分）則a2=b2+c2﹣2bccosA，所以，即b2﹣4b+4=0則b=2（10分）從而（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，輔助角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期公式的應(yīng)用，由三角函數(shù)值求角，及三角形的面積公式．綜合的知識(shí)比較多，但試題的難度不大．20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)(1)若求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)求最值和極值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【試題解析】（1）因?yàn)?/p>

此時(shí)

由

的單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）令，

當(dāng)時(shí)，，

在上是增函數(shù)．

又

關(guān)于x的不等式不能恒成立．

當(dāng)時(shí)

令

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

的最大值為．

令上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，

整數(shù)a的最小值為2．21.已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）+，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求出切點(diǎn)（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲線f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線方程．（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，①a＞﹣1時(shí)，②a≤﹣1時(shí)，分別求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．（Ⅲ）轉(zhuǎn)化已知條件為函數(shù)在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）問(wèn)的結(jié)果，通過(guò)①a≥e﹣1時(shí)，②a≤0時(shí)，③0＜a＜e﹣1時(shí)，分別求解函數(shù)的最小值，推出所求a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切點(diǎn)（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲線f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（Ⅱ），定義域?yàn)椋?，+∞），，①當(dāng)a+1＞0，即a＞﹣1時(shí)，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時(shí)，h′（x）＞0恒成立，綜上：當(dāng)a＞﹣1時(shí)，h（x）在（0，a+1）上單調(diào)遞減，在（a+1，+∞）上單調(diào)遞增．當(dāng)a≤﹣1時(shí)，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

（Ⅲ）由題意可知，在[1，e]上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一點(diǎn)x0，使得h（x0）≤0，即函數(shù)在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）問(wèn)，①當(dāng)a+1≥e，即a≥e﹣1時(shí)，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，∴，∴，∵，∴；

②當(dāng)a+1≤1，即a≤0時(shí)，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③當(dāng)1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1時(shí)，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此時(shí)不存在x0使h（x0）≤0成立．

綜上可得所求a的范圍是：或a≤﹣2．22.（12分）在甲、乙兩個(gè)批次的某產(chǎn)品中，分別抽出3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).已知甲、乙批次每件產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格的概率分別為，假設(shè)每件產(chǎn)品檢驗(yàn)是否合格相互之間沒(méi)有影響.（Ⅰ）求至少有2件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格的概率；

（Ⅱ）求甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格件數(shù)恰好比乙批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格件數(shù)多2件的概率.參考答案：解析：（Ⅰ）解：記“至少有2件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格”為事件A.

----------1分由題意，事件A包括以下兩個(gè)互斥事件：1事件B：有2件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格.由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生k次的概率公式，得；

-------------3分2事件C：3件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)都不合格.由相互獨(dú)立