2022年北京平谷區(qū)第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022年北京平谷區(qū)第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)x，y滿足約束條件

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的最大值為12，則的最小值為(

).A.

B.

C.

D.4參考答案：B2.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C：﹣=1的左右焦點(diǎn)，A為C的左頂點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且PF1⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF1交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E，若直線F2M與y軸交點(diǎn)為N，OE=2ON，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)條件求出直線AE的方程，求出N，E的坐標(biāo)，利用|OE|=2|ON|的關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵PF1⊥x軸，∴設(shè)M（﹣c，t），則A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，則AE的方程為y=（x+a），令x=0，則y=，即E（0，），∵N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即c=2a，則離心率e==2，故選：B3.在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則所取的點(diǎn)恰好落在圓內(nèi)的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.設(shè)函數(shù)，若，且，則mn的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A5.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)橢圓（a>b>0）的焦距為2c，以點(diǎn)O為圓心，a為半徑作圓M，若過(guò)點(diǎn)P（，0）作圓M的兩條切線互相垂直，則該橢圓的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算L4【答案解析】B

∵i（1+i）=i+i2=-1+i，∴i（1+i）即復(fù)數(shù)為-1+i，

∴-1+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（-1，1）位于第二象限．故答案為：B．【思路點(diǎn)撥】由i（1+i）=-1+i，由此能求出復(fù)數(shù)i（1+i）的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限．7.若圓與圓，則（

）

參考答案：C8.已知函數(shù)存在極值，若這些極值的和大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知正項(xiàng)的等比數(shù)列滿足，若存在兩項(xiàng)，，使得，則的最小值為（

）A

B

C

D

2參考答案：C10.已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的圖象與y=﹣1的圖象的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為π，要得到y(tǒng)=f（x）的圖象，只需把y=cos2x的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位參考答案：B【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專(zhuān)題】計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】依題意可知f（x）=sin（ωx+）的周期為π，從而可求得ω，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的圖象與y=﹣1的圖象的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為π，∴f（x）=sin（ωx+）的周期T=π，又ω＞0，T==π，∴ω=2；∴f（x）=sin（2x+）．令g（x）=cos2x=sin（2x+），則g（x）=sin（2x+）g（x﹣）=sin[2（x﹣）+）]=sin（2x+）=f（x），∴要想得到f（x）=sin（2x+）的圖象，只需將y=g（x）=cos2x=sin（2x+）的圖象右平移個(gè)單位即可．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，求得ω的值是關(guān)鍵，考查平移知識(shí)與運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a>0，且a≠1，,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.參考答案：12.已知直線與曲線相切于點(diǎn)，則b的值為

．參考答案：將點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程得，，曲線方程為，對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，依題意得，解得，．13.在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,E、F分別為BC、DC的中

點(diǎn)，則__________.參考答案：略14.不等式的解集是

．參考答案：(-1,1)15.觀察等式

……由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于_____________.參考答案：16.已知a=4，則二項(xiàng)式（x2+）5的

展開(kāi)式中x的系數(shù)為

．參考答案：略17.已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BD＝

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某高中為了推進(jìn)新課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高一年級(jí)開(kāi)始，在每周的周一、周三、周五的課外活動(dòng)期間同時(shí)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門(mén)科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門(mén)科目的輔導(dǎo)講座。（規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時(shí)稱(chēng)為滿座，否則稱(chēng)為不滿座）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座的概率如下表：根據(jù)上表：（1）求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率；

（2）設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。參考答案：解（I）設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座為事件A，則………4分（II）的可能值得為0，1，2，3，4，5……………9分所以隨機(jī)變量的分布列如下：012345故………12分19.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在(0,+∞)上有零點(diǎn)，證明：.參考答案：（1）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）.【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，然后求，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）采用分離參數(shù)法，得，根據(jù)在上存在零點(diǎn)，可知有解，構(gòu)造，求導(dǎo)，知在上存在唯一零點(diǎn)，即零點(diǎn)k滿足，進(jìn)而求得，再根據(jù)有解，得證【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以．所以?dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)．所以在上增函數(shù)，在上是減函數(shù)．（2）證明：由題意可得，當(dāng)時(shí)，有解，即有解．令，則．設(shè)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增．又，所以在上存在唯一的零點(diǎn)．故在上存在唯一的零點(diǎn)．設(shè)此零點(diǎn)為，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上的最小值為．又由，可得，所以，因?yàn)樵谏嫌薪?，所以，即．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，涉及了求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用等知識(shí)；從哪里入手，怎樣構(gòu)造，如何構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵一步.20.選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，直線l過(guò)點(diǎn)P（1，1），且傾斜角α=以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|?|PB|的值．參考答案：【考點(diǎn)】：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【專(zhuān)題】：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】：（Ⅰ）由圓C的極坐標(biāo)ρ=4sinθ根據(jù)x=ρcosθ、y=ρsinθ化為直角坐標(biāo)方程．（Ⅱ）由題意可得直線的方程為，代入曲線方程化簡(jiǎn)求得t1和t2的值，可得|PA|?|PB|=|t1|?|t2|的值．解：（Ⅰ）由圓C的極坐標(biāo)ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程為x2+（y﹣2）2=4，表示以（0，2）為圓心、半徑等于2的圓．（Ⅱ）由直線l過(guò)點(diǎn)P（1，1），且傾斜角α=，可得直線的方程為．把直線方程代入曲線方程化簡(jiǎn)可得+﹣4（1+t），解得t1=，t2=﹣，∴|PA|?|PB|=|t1|?|t2|=2．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．21.學(xué)校要建一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形游泳池，并且在四周要修建出寬為和的小路（如圖所示）。問(wèn)游泳池的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，占地面積最?。坎⑶蟪稣嫉孛娣e的最小值。參考答案：設(shè)游泳池的長(zhǎng)為，則游泳池的寬為,

又設(shè)占地面積為，依題意，得當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取“=”.答：游泳池的長(zhǎng)為,寬為時(shí)，占地面積最小為64822.（13分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)x=1處的切線l不過(guò)第四象限且斜率為3，又坐標(biāo)原點(diǎn)到切線l的距離為，若時(shí)，有極值．(I)求a、b、c的值；(II)求在[-3,1]上的最大值和最小值．參考答案：解析：(I)由，得．……2分當(dāng)x=1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2a+b=0．

①當(dāng)時(shí)，有極值，則，可得4a+3b+4=0．②由①、②解得

a=2,b=-4．……5分設(shè)切線l的方程為

．由原點(diǎn)到切線l的距離為，則．解得m=±1．∵切線l不過(guò)第四象限，∴m=1．……6分由于l切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1，∴．∴1+a+b+c=4．∴c=5