2021-2022年高中數(shù)學(xué)第四章圓的方程1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4作業(yè)含解析新人教版必修220220226198

PAGEPAGE6圓的標(biāo)準(zhǔn)方程A組基礎(chǔ)鞏固1．以兩點(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－2)2＝25解析：圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝eq\r(5－12＋5－22)＝5，故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.答案：D2．方程y＝eq\r(9－x2)表示的曲線是()A．一條射線B．一個(gè)圓C．兩條射線D．半個(gè)圓解析：y＝eq\r(9－x2)可化為x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲線為圓x2＋y2＝9位于x軸及其上方的半個(gè)圓．答案：D3．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，則△ABC的外接圓方程是()A．(x－2)2＋(y－2)2＝20B．(x－2)2＋(y－2)2＝10C．(x－2)2＋(y－2)2＝5D．(x－2)2＋(y－2)2＝eq\r(5)解析：易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圓心是斜邊AC的中點(diǎn)(2,2)，半徑是斜邊長(zhǎng)的一半，即r＝eq\r(5)，所以外接圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.答案：C4．圓心為C(－1,2)，且一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)落在兩坐標(biāo)軸上的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20解析：本題考查確定圓的方法．因?yàn)橹睆降膬蓚€(gè)端點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上，所以該圓一定過(guò)原點(diǎn)，所以半徑r＝eq\r(－1－02＋2－02)＝eq\r(5)，又圓心為C(－1,2)，故圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故選C.答案：C5．設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A．6B．4C．3D．2解析：本題考查圓的性質(zhì)．由題意，知|PQ|的最小值即為圓心到直線x＝－3的距離減去半徑長(zhǎng)，即|PQ|的最小值為6－2＝4，故選B.答案：B6．若直線y＝ax＋b經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則圓(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圓心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：本題考查圓的圓心坐標(biāo)的位置判斷．因?yàn)橹本€y＝ax＋b經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，所以a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，所以圓心(－a，－b)在第四象限，故選D.答案：D7．圓(x＋2)2＋(y＋3)2＝1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程是__________．解析：本題考查圓的性質(zhì)．圓(x＋2)2＋(y＋3)2＝1的圓心坐標(biāo)為(－2，－3)，半徑為1，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的圓心坐標(biāo)為(2,3)，半徑不變，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝1.答案：(x－2)2＋(y－3)2＝18．點(diǎn)(5eq\r(a)＋1，eq\r(a))在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍是__________．解析：由于點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以(5eq\r(a)＋1－1)2＋(eq\r(a))2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.答案：0≤a＜19．圓x2＋y2＝4上的點(diǎn)到點(diǎn)A(3,4)的距離的最大值和最小值分別為_(kāi)_______．解析：∵32＋42＝25>4，∴點(diǎn)A(3,4)在圓外．已知圓的半徑r＝2，|OA|＝eq\r(32＋42)＝5.結(jié)合圖形可知，圓上的點(diǎn)到點(diǎn)A(3,4)的距離的最大值為|OA|＋r＝7，最小值|OA|－r＝3.答案：7和310．已知圓心在x軸上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(1,0)，B(5,0)．(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P(x，y)為圓C上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P(x，y)到直線x－y＋1＝0的距離的最大值和最小值．解析：(1)由題意，結(jié)合圖(1)可知圓心(3,0)，r＝2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4.(2)如圖(2)所示，過(guò)點(diǎn)C作CD垂直于直線x－y＋1＝0，垂足為D.由點(diǎn)到直線的距離公式可得|CD|＝eq\f(|3＋1|,\r(2))＝2eq\r(2).又P(x，y)是圓C上的任意一點(diǎn)，而圓C的半徑為2.結(jié)合圖形易知點(diǎn)P到直線x－y＋1＝0的距離的最大值為2eq\r(2)＋2，最小值為2eq\r(2)－2.圖(1)圖(2)B組能力提升11．已知圓C：x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0和定點(diǎn)A(1,2)，要使過(guò)點(diǎn)A的圓C的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－eq\f(2\r(3),3)，eq\f(2\r(3),3))B．(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3))C．(－∞，＋∞)D．(0，＋∞)解析：本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．通過(guò)配方可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋eq\f(a,2))2＋(y＋1)2＝eq\f(4－3a2,4).由題意知點(diǎn)A(1,2)在圓外，得(1＋eq\f(a,2)2)＋(2＋1)2＞eq\f(4－3a2,4)＞0，解得－eq\f(2\r(3),3)＜a＜eq\f(2\r(3),3)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－eq\f(2\r(3),3)，eq\f(2\r(3),3))．故選A.答案：A12．已知圓M的圓心坐標(biāo)為(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三點(diǎn)一個(gè)在圓M內(nèi)，一個(gè)在圓M上，一個(gè)在圓M外，則圓M的方程為_(kāi)_________．解析：本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．∵|MA|＝eq\r(－1－32＋1－42)＝5，|MB|＝eq\r(1－32＋0－42)＝2eq\r(5)，|MC|＝eq\r(－2－32＋3－42)＝eq\r(26)，∴|MB|＜|MA|＜|MC|，∴點(diǎn)B在圓M內(nèi)，點(diǎn)A在圓M上，點(diǎn)C在圓M外，∴圓的半徑r＝|MA|＝5，∴圓M的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25.答案：(x－3)2＋(y－4)2＝2513．已知圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光線從點(diǎn)A(－1,1)經(jīng)x軸反射到圓周上，求光線的最短路程，并求此時(shí)的反射光線和入射光線的方程．解析：如圖，作點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(－1，－1)，連接A′C，交x軸于點(diǎn)B，連接AB.由平面幾何的知識(shí)可知，光線從點(diǎn)A經(jīng)x軸反射到圓周上的最短路程等于|A′C|－r.圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的圓心為(5,7)，半徑為2.|A′C|＝eq\r(5＋12＋7＋12)＝10，∴該最短距離為10－2＝8.由直線方程的兩點(diǎn)式得，反射光線A′C的方程為eq\f(y＋1,7＋1)＝eq\f(x＋1,5＋1)，即4x－3y＋1＝0.同理，作C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′(5，－7)，連接AC′，AC′即為入射光線，其方程為eq\f(y－1,－7－1)＝eq\f(x＋1,5＋1)，即4x＋3y＋1＝0.14．平面直角坐標(biāo)系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四點(diǎn)，這四點(diǎn)能否在同一個(gè)圓上，為什么？解析：設(shè)過(guò)A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋1－b2＝r2，,2－a2＋1－b2＝r2，,3