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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的).類比“趙爽弦圖”.可類似地構造如下圖所示的圖形,它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大等邊三角形.設,若在大等邊三角形中隨機取一點,則此點取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.2.已知,是雙曲線的兩個焦點,過點且垂直于軸的直線與相交于,兩點,若,則△的內(nèi)切圓的半徑為()A. B. C. D.3.在邊長為的菱形中,,沿對角線折成二面角為的四面體(如圖),則此四面體的外接球表面積為()A. B.C. D.4.為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫之間是否具有線性相關關系,統(tǒng)計該店2017年每周六的銷售量及當天氣溫得到如圖所示的散點圖(軸表示氣溫,軸表示銷售量),由散點圖可知與的相關關系為()A.正相關,相關系數(shù)的值為B.負相關,相關系數(shù)的值為C.負相關,相關系數(shù)的值為D.正相關,相關負數(shù)的值為5.已知的垂心為,且是的中點,則()A.14 B.12 C.10 D.86.等腰直角三角形的斜邊AB為正四面體側(cè)棱,直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn),則在旋轉(zhuǎn)的過程中,有下列說法:(1)四面體EBCD的體積有最大值和最小值;(2)存在某個位置,使得;(3)設二面角的平面角為,則;(4)AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P,則點P的軌跡為橢圓.其中,正確說法的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.47.設a,b,c為正數(shù),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不修要條件8.已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為,則()A.3 B. C. D.9.設點,,不共線,則“”是“”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件10.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.11.已知復數(shù),,則()A. B. C. D.12.如圖是來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.能說明“若對于任意的都成立,則在上是減函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________.14.正四面體的各個點在平面同側(cè),各點到平面的距離分別為1,2,3,4,則正四面體的棱長為__________.15.已知函數(shù),則________;滿足的的取值范圍為________.16.(5分)國家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國青少年毒品預防教育數(shù)字化網(wǎng)絡平臺上開展2019年全國青少年禁毒知識答題活動,活動期間進入答題專區(qū),點擊“開始答題”按鈕后,系統(tǒng)自動生成20道題.已知某校高二年級有甲、乙、丙、丁、戊五位同學在這次活動中答對的題數(shù)分別是,則這五位同學答對題數(shù)的方差是____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)當時,求不等式的解集;(2)當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知橢圓C:()的左、右焦點分別為,,離心率為,且過點.(1)求橢圓C的方程;(2)過左焦點的直線l與橢圓C交于不同的A,B兩點,若,求直線l的斜率k.19.(12分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,四棱錐中,平面,,,.(I)證明:;(Ⅱ)若是中點,與平面所成的角的正弦值為,求的長.21.(12分)已知拋物線的焦點為,點在拋物線上,,直線過點,且與拋物線交于,兩點.(1)求拋物線的方程及點的坐標;(2)求的最大值.22.(10分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷,得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負相關關系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學的計算結(jié)果是正確的.(1)試判斷誰的計算結(jié)果正確?(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個,求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為的概率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)幾何概率計算公式,求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.【詳解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率為.故選A.【點睛】本題考查了幾何概型的概率計算問題,是基礎題.2.B【解析】
設左焦點的坐標,由AB的弦長可得a的值,進而可得雙曲線的方程,及左右焦點的坐標,進而求出三角形ABF2的面積,再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設左焦點,由題意可得,由,可得,所以雙曲線的方程為:所以,所以三角形ABF2的周長為設內(nèi)切圓的半徑為r,所以三角形的面積,所以,解得,故選:B【點睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法,內(nèi)切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應用,屬于中檔題.3.A【解析】
畫圖取的中點M,法一:四邊形的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積;法二:根據(jù),即可求半徑從而求外接球表面積;法三:作出的外接圓直徑,求出和,即可求半徑從而求外接球表面積;【詳解】如圖,取的中點M,和的外接圓半徑為,和的外心,到弦的距離(弦心距)為.法一:四邊形的外接圓直徑,,;法二:,,;法三:作出的外接圓直徑,則,,,,,,,,,.故選:A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積,關鍵點是通過幾何關系求得球心位置和球半徑,方法較多,屬于較易題目.4.C【解析】
根據(jù)正負相關的概念判斷.【詳解】由散點圖知隨著的增大而減小,因此是負相關.相關系數(shù)為負.故選:C.【點睛】本題考查變量的相關關系,考查正相關和負相關的區(qū)別.掌握正負相關的定義是解題基礎.5.A【解析】
由垂心的性質(zhì),得到,可轉(zhuǎn)化,又即得解.【詳解】因為為的垂心,所以,所以,而,所以,因為是的中點,所以.故選:A【點睛】本題考查了利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算率,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.6.C【解析】
解:對于(1),當CD⊥平面ABE,且E在AB的右上方時,E到平面BCD的距離最大,當CD⊥平面ABE,且E在AB的左下方時,E到平面BCD的距離最小,∴四面體E﹣BCD的體積有最大值和最小值,故(1)正確;對于(2),連接DE,若存在某個位置,使得AE⊥BD,又AE⊥BE,則AE⊥平面BDE,可得AE⊥DE,進一步可得AE=DE,此時E﹣ABD為正三棱錐,故(2)正確;對于(3),取AB中點O,連接DO,EO,則∠DOE為二面角D﹣AB﹣E的平面角,為θ,直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn),則在旋轉(zhuǎn)的過程中,θ∈[0,π),∠DAE∈[,π),所以θ≥∠DAE不成立.(3)不正確;對于(4)AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P,P到BC的距離為:dP﹣BC,因為<1,所以點P的軌跡為橢圓.(4)正確.故選:C.點睛:該題考查的是有關多面體和旋轉(zhuǎn)體對應的特征,以幾何體為載體,考查相關的空間關系,在解題的過程中,需要認真分析,得到結(jié)果,注意對知識點的靈活運用.7.B【解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解:,,為正數(shù),當,,時,滿足,但不成立,即充分性不成立,若,則,即,即,即,成立,即必要性成立,則“”是“”的必要不充分條件,故選:.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關鍵.8.D【解析】
由雙曲線方程可得漸近線方程,根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率,由此構造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知:,漸近線方程為:,一條漸近線的傾斜角為,,解得:.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題,關鍵是明確直線傾斜角與斜率的關系;易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.9.C【解析】
利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點,,不共線,則“”;故“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運算,屬于基礎題.10.D【解析】
根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【點睛】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.11.B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時乘以,化簡整理得詳解:,故選B點睛:復數(shù)問題是高考數(shù)學中的??紗栴},屬于得分題,主要考查的方面有:復數(shù)的分類、復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的模、共軛復數(shù)以及復數(shù)的乘除運算,在運算時注意符號的正、負問題.12.D【解析】
由半圓面積之比,可求出兩個直角邊的長度之比,從而可知,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【詳解】解:由題意知,以為直徑的半圓面積,以為直徑的半圓面積,則,即.由,得,所以.故選:D.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關系,考查了二倍角公式.本題的關鍵是由面積比求出角的正切值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.答案不唯一,如【解析】
根據(jù)對基本函數(shù)的理解可得到滿足條件的函數(shù).【詳解】由題意,不妨設,則在都成立,但是在是單調(diào)遞增的,在是單調(diào)遞減的,說明原命題是假命題.所以本題答案為,答案不唯一,符合條件即可.【點睛】本題考查對基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)的理解,關鍵是假設出一個在上不是單調(diào)遞減的函數(shù),再檢驗是否滿足命題中的條件,屬基礎題.14.【解析】
不妨設點A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,平面向下平移兩個單位,與正四面體相交,過點D,與AB,AC分別相交于點E,F(xiàn),根據(jù)題意F為中點,E為AB的三等分點(靠近點A),設棱長為a,求得,再用余弦定理求得:,從而求得,再根據(jù)頂點A到面EDF的距離為,得到,然后利用等體積法求解,【詳解】不妨設點A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,平面向下平移兩個單位,與正四面體相交,過點D,與AB,AC分別相交于點E,F(xiàn),如圖所示:由題意得:F為中點,E為AB的三等分點(靠近點A),設棱長為a,,頂點D到面ABC的距離為所以,由余弦定理得:,所以,所以,又頂點A到面EDF的距離為,所以,因為,所以,解得,故答案為:【點睛】本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象,運算求解的能力,屬于難題,15.【解析】
首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到,分和兩種情況討論可得;【詳解】解:因為,所以,∵,∴當時,滿足題意,∴;當時,由,解得.綜合可知:滿足的的取值范圍為.故答案為:;.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應用,分類討論思想,屬于基礎題.16.2【解析】
由這五位同學答對的題數(shù)分別是,得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù),則方差.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)當時,,當或時,,所以可轉(zhuǎn)化為,解得,所以不等式的解集為.(2)因為,所以,所以,即,即.當時,因為,所以,不符合題意.當時,解可得,因為當時,不等式恒成立,所以,所以,解得,所以實數(shù)的取值范圍為.18.(1)(2)直線l的斜率為或【解析】
(1)根據(jù)已知列出方程組即可解得橢圓方程;(2)設直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,轉(zhuǎn)化為,借助向量的數(shù)量積的坐標表示,及韋達定理即可求得結(jié)果.【詳解】(1)由題意得解得故橢圓C的方程為.(2)直線l的方程為,設,,則由方程組消去y得,,所以,,由,得,所以,又所以,即所以,因此,直線l的斜率為或.【點睛】本題考查橢圓的標準方程,考查直線和橢圓的位置關系,考查學生的計算求解能力,難度一般.19.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)利用零點分段討論法把函數(shù)改寫成分段函數(shù)的形式,分三種情況分別解不等式,然后取并集即可;(Ⅱ)利用絕對值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,結(jié)合題意,只需即可,解不等式即可求解.【詳解】(Ⅰ)當時,,,或,或,或所以不等式的解集為;(Ⅱ)因為,又(當時等號成立),依題意,,,有,則,解之得,故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查由存在性問題求參數(shù)的范圍、零點分段討論法解絕對值不等式、利用絕對值三角不等式和均值不等式求最值;考查運算求解能力、分類討論思想、邏輯推理能力;屬于中檔題.20.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取的中點,連接,由,,得三點共線,且,又,再利用線面垂直的判定定理證明.(Ⅱ)設,則,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,兩式相加求得,再過作,則平面,即點到平面的距離,由是中點,得到到平面的距離,然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】(Ⅰ)取的中點,連接,由,,得三點共線,且,又,,所以平面,所以.(Ⅱ)設,,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,兩式相加得:,所以,,過作,則平面,即點到平面的距離,因為是中點,所以為到平面的距離,因為與平面所成的角的正弦值為,即,解得.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,線面角的應用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運算求解的能力,屬于中檔題.21.(1),;(2)1.【解析】
(1)根據(jù)拋物線上的點到焦點和準線的距離相等,可得p值,即可求拋物線C的方程從而可得解;(2)設直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【詳解】(1)∵點F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,P(2,y0)是拋物線上一點,|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴拋物線C的方程為y2=4x,∵點P(2,n)(n>0)在拋物線C上,∴n2=4×2=8,由n>0,得n=2,∴P(2,2).
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