高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 （新人教A選修22）

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.知識與技能1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極大（小）值以及函數(shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大（?。┲担?．利用導(dǎo)數(shù)求解一些實際問題的最大值和最小值。過程與方法1.通過研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極大（?。┲狄约昂瘮?shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大（?。┲担囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；2.通過求解一些實際問題的最大值和最小值，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，以及數(shù)學(xué)建模能力。情感態(tài)度、價值觀逐步培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法思考問題、解決問題的習(xí)慣.一、知識點1．導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖.重點導(dǎo)析一、曲線的切線及函數(shù)的單調(diào)性

為減函數(shù)。1.設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若，則在該區(qū)間上是增函數(shù)；若，則.2.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：(2)求導(dǎo)數(shù)(3)解不等式;或解不等式.(1)求的定義域D(4)與定義域求交集(5)寫出單調(diào)區(qū)間.題型一：利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率、瞬時速度

解法提示：在某一點切線的斜率或在某一時刻的瞬時速度就是該點或該時刻對應(yīng)的導(dǎo)數(shù).例1求垂直于直線，且與曲線相切的直線方程..題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

分析：確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即在其定義域區(qū)間內(nèi)確定其導(dǎo)數(shù)為正值與負值的區(qū)間.例2試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間..二、可導(dǎo)函數(shù)的極值

1.極值的概念：設(shè)函數(shù)在點附近有定義，且對附近的所有的點都有（或則稱為函數(shù)的一個極大（?。┲?，稱為極大（?。┲迭c。.①求導(dǎo)數(shù)②求方程＝０的根；2.求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：③檢驗在方程＝０如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負，那么函數(shù)的根的左、右的符號，在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極大值..題型三：求函數(shù)的極值與最值分析：此題屬于逆向思維，但仍可根據(jù)求極值的步驟來求.但要注意極值點與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系（極值點為的根）.例3設(shè)函數(shù)在或處有極值且.求并求其極值..三、函數(shù)的最大值與最小值

1.設(shè)是定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，在（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在[a，b]上的最大值與最小值，可分兩步進行：①求在（a，b）內(nèi)的極值；②將在各極值點的極值與比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.2.若函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞增，則為函數(shù)的的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，最小值.為函數(shù)的.例４函數(shù)在[0，3]上的最值.５-155y＋0－Y’3(2,3)2(0,2)0X.題型四：利用求導(dǎo)解應(yīng)用題

例1如圖,有甲、乙兩人，甲位于乙的正東100km處開始騎自行車以每小時20km的速度向正西方向前進，與此同時，乙以每小時10km的速度向正北方向跑步前進，問經(jīng)過多少時間甲、乙相距最近？BA乙甲如圖.例2:如圖,鐵路線上AB段長100km,工廠C到鐵路的距離CA=20km.現(xiàn)在要在AB上某一處D,向C修一條公路.已知鐵路每噸千米與公路每噸千米的運費之比為3:5.為了使原料從供應(yīng)站B運到工廠C的運費最省,D應(yīng)修在何處?BDAC解:設(shè)DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又設(shè)鐵路上每噸千米的運費為3t元,則公路上每噸千米的運費為5t元.這樣,每噸原料從供應(yīng)站B運到工廠C的總運費為.令,在的范圍內(nèi)有唯一解x=15.所以,當x=15(km),即D點選在距A點15千米時,總運費最省.注:可以進一步討論,當AB的距離大于15千米時,要找的最優(yōu)點總在距A點15千米的D點處;當AB之間的距離不超過15千米時,所選D點與B點重合.練習(xí):已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求內(nèi)接于這個圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h.答:設(shè)圓柱底面半徑為r,可得r=R(H-h)/H.易得當h=H/3時,圓柱體的體積最大.2.與數(shù)學(xué)中其它分支的結(jié)合與應(yīng)用..例3:在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋的方底箱子,箱底邊長為多少時,箱子的容積最大?最大容積是多少?解:設(shè)箱底邊長為x,則箱高h=(60-x)/2.箱子容積V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當x過小(接近0)或過大(接近60)時,箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當x=40cm時,箱子容積最大,最大容積是16000cm3..類題:圓柱形金屬飲料罐的容積一定時,它的高與底半徑應(yīng)怎樣選取,才能使所用的材料最省?解:設(shè)圓柱的高為h,底半徑為r,則表面積S=2πrh+2πr2.由V=πr2h,得,則令,解得,從而,即h=2r.由于S(r)只有一個極值,所以它是最小值.答:當罐的高與底半徑相等時,所用的材料最省..xy例4:如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD,求這個矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0<x<2),則A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當時,因此當點B為時,矩形的最大面積是.例5:證明不等式:證:設(shè)則令,結(jié)合x>0得x=1.而0<x<1時,;x>1時,,所以x=1是f(x)的極小值點.所以當x=1時,f(x)取最小值f(1)=1.從而當x>0時,f(x)≥1恒成立,即:

成立..例6:已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2,曲線y=f(x)過點P(-1,2),且在點P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直.(1)求a、b的值；(2)若f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調(diào)遞增,求m的取值范圍.解:(1)由題意得:(2),解得x>0或x<-2.故f(x)的單調(diào)遞增為(-∞,-2]和[0,+∞).即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0..例7.2001—新課程卷—文史類(21):已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在點x=1處有極小值-1,試確定a、b的值,并求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.注:此題為p.252課后強化訓(xùn)練第8題.解:由已知得:由得;由得故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1/3)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-1/3,1)..練習(xí)1:已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a>0)的極大值為6,極小值為2.(1)試確定常數(shù)a、b的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.答案:(1)a=1,b=4.(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞)..練習(xí)2:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3與x=1處都取得極值.(1)求a、b的值;(2)若x∈[-1,2]時,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用f(x)max<c2,解得c<-1或c>2.練習(xí)3:若函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是增函數(shù),而在(0,2)上是減函數(shù),求此函數(shù)在[-1,4]上的值域.答:由已知得可求得c=0,b=-3,從而f(x)=x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函數(shù)f(x)在[-1,4]上的值域是[-4,