數(shù)學(xué)建模投資問題

投資的收益與險問題摘對市場上的多種風(fēng)險資產(chǎn)和一種無風(fēng)險資存銀行進(jìn)組合投資策略的設(shè)計需要考慮兩個目標(biāo)：總體收益盡可能大和總體風(fēng)險盡可能小，而這兩個目標(biāo)在一定意義上是對立的。本文我們建立了投資收益與風(fēng)險的雙目標(biāo)優(yōu)化模型最大化策略風(fēng)險使收益最大將原模型簡化為單目標(biāo)的線性規(guī)劃模型一；在保證一定收益水平下，以風(fēng)險最小為目標(biāo)，將原型簡化為了極小極大規(guī)劃模型二；以及引入收益——險偏好系數(shù)，將兩目標(biāo)加權(quán)，化原模型為目標(biāo)非線性模型模型三后分別用的內(nèi)部函數(shù)linprog對同的風(fēng)險水平，收益水平，以及偏好系數(shù)求解三個模型。關(guān)鍵詞：組合投資，兩目標(biāo)優(yōu)化模型，風(fēng)險偏好

2.題述分3.市場上有種資產(chǎn)（如股票、債券、…）(供投者選擇，某公司有數(shù)額為

的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個時期的投資。公司財務(wù)分析人員對這種產(chǎn)進(jìn)行了評估，估算出在這一時期內(nèi)購買的均收益率為，預(yù)測出購買的險損失率為。慮到投資越分散，總風(fēng)險越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時，總體風(fēng)險可用所投資的中大的一個風(fēng)險來度量。購買要交易費(fèi)，費(fèi)率為，且當(dāng)購買額不超過給定值時，交易費(fèi)按購買計算（不買當(dāng)然無須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是,且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險。（

）1、已知

時的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：資產(chǎn)

收益率(%)

風(fēng)險率

交易費(fèi)(%)

閥值(元)(%)28212325

2.51.55.52.6

124.56.5

1031985240試給該公司設(shè)計一種投資組合方案，即用給定的資金

，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險盡可能小。2、試就一般情況對以上問題進(jìn)討論，并利用以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計算。資產(chǎn)

收益率(%)

風(fēng)險率

交易費(fèi)(%)

閥值(元)(%)9.618.549.423.98.114

425460421.239

2.13.26.01.57.63.4

181407428549270397

i0iiiii0iiii0iiiii0iiii01n31.233.636.811.89359.415

6833.453.340315.5465.323

5.63.12.72.95.15.72.74.57.6

178220475248195320267328131本題需要我們設(shè)計一種投資組合方案，使收益盡可能大，而風(fēng)險盡可能小。并給出對應(yīng)的盈虧據(jù)，以及一般情況的討論。這是一個優(yōu)化問題，要決策的是每種資產(chǎn)的投資額，要達(dá)到目標(biāo)包括兩方面的要凈收益最大和總風(fēng)險最低，即本題是一個雙優(yōu)化的問題，一般情況下，這兩個目標(biāo)是矛盾的，因?yàn)閮羰找嬖酱箫L(fēng)險也會隨著增加，反之也是一樣的，所以，我們很難或者不可能提出同時滿足這兩個目標(biāo)的決方案，我們只能做到的是：在收益一定的情況下，使得風(fēng)險最小的決策，或者在風(fēng)險一定的情況，使得凈收益最大，或者在收益和風(fēng)險按確定好的偏好比例的情況下設(shè)計出最好的決策方案，這的話，我們得到的不再是一個方案，而是一個方案的組合，簡稱組合方案。設(shè)購買（….n;S表存入銀行金為;支付的交易費(fèi)為x)，：c()uiiiixii

xiixii

i

i2,L,n,c(x)0對S投的凈收益:

(xrx)iiiiii

（i＝，1，…，）對S投的風(fēng)險:

xqxiii

i

（＝01，…n=0對投所需資金（即購買金額與需的手續(xù)費(fèi)c(x之）是fxxxiiiii

（i＝0，1…）投資方案用x=，x，…，）表示，那么，凈收益總額為：

x)R(x)iii總風(fēng)險為：Q(x

=

min

ii所需資金為：nF(xf()iii所以，總收益最大，總風(fēng)險最小的雙目標(biāo)優(yōu)化模型表示為：)(xMx0但是像這樣的雙目標(biāo)模型用一般的方法很難求解出來的，所以經(jīng)過分析把次模型轉(zhuǎn)化為三種較單的單目標(biāo)模型。3.設(shè)模假設(shè)該公司在這一時期內(nèi)是一次性投資；除交易費(fèi)和投資費(fèi)用外再無其他的費(fèi)用開支；在這一期市場發(fā)展基本上是穩(wěn)定的；外界因素對投資的資產(chǎn)無較大影響；無其他的人為干預(yù)；社會政策較大變化；公司的經(jīng)濟(jì)發(fā)展對投資無較大影響資產(chǎn)投資是在市場中進(jìn)行的，市場是復(fù)雜多變的，無法用數(shù)量或函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確描述的此以上的假設(shè)是必要的般說來物價變化具有一定的周期性，社會政策也并非天天改變，公司自身的發(fā)展在穩(wěn)定的情況下才會用額外的資金進(jìn)行較大的風(fēng)險投資，市場社會的系統(tǒng)發(fā)展在一個時期內(nèi)是良性的、穩(wěn)定的，以上假設(shè)也是合理的。3.1模型假設(shè)投資的風(fēng)險水平是即要求總風(fēng)險Q（）限制在k內(nèi)Q）RQ,x0s.t

k

，則模型可轉(zhuǎn)化為：

iiiiiiinnniiiiiiinnnni假設(shè)投資的收益水平是，即凈收益總額

()

不少于h

()

≥，則模型可轉(zhuǎn)化為：minQ()s.t

(hF(x)Mx3.3模型假設(shè)投資者對風(fēng)險和收益的相對偏好參數(shù)為0模型可轉(zhuǎn)化為：min

()()s.t.

FM,03.4模求及析由于交易費(fèi)(x)是分段函數(shù)使上述模型中的目標(biāo)函數(shù)或約束條件相對比較復(fù)雜一非線性規(guī)劃問題，難于求但意到總資額M相大，一旦投資資產(chǎn)，其投資額x一都會超過，是交易費(fèi)(x)簡化為線性函數(shù)c(x)piii

i從而，資金約束簡化為F()f(x)xiiiiii凈收益總額簡化為R(x()r()]rpiiiiiiiiiiii在實(shí)際進(jìn)行計算時，可設(shè)M=1，時y

i

=（

1p

）xii

（＝，1…n可視作投資S的比例

nn以下的模型求解都是在上述兩個簡化條件下進(jìn)行討論.1）型a的解nn模型a的束條件(x)k即Q(Q()x)iiii0所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為

≤k，xii這時模型a可簡為如下的線性規(guī)劃問題：

（＝，，…，n）rpiiiix,iL,niii

p)xii具體到n=4的形，按投資的收益和風(fēng)險題中題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：maxx0.19x0.18503

4,0.015xx,0.02614xx1.02x0（i＝0，1…，4）023i利用matlab7.1求模型a輸出結(jié)果是{x0->0.158192,->->0.0909091,x4->0.192308}}這說明投資方案為（0.158192，0.2，0.333333，），以得總體風(fēng)險不超過0.005的最大收益是M當(dāng)k取同的值險收益的關(guān)系圖1.輸出結(jié)果列表如下：表1模1的算結(jié)果風(fēng)險水平

最大收益

00.0010.0020.0030.0040.0050.0070.0080.0090.010.0110.0120.0130.0140.0150.0160.0170.0180.0190.020.0210.0220.0230.0240.025

0.050.07550.10110.12660.15210.17760.20660.21120.21550.2190.22230.22560.22880.23210.23540.23870.24190.24520.24850.25180.2550.25830.26160.26490.2673

10.83160.66330.49490.32660.15820000000000000000000

00.040.080.120.160.20.280.320.360.40.440.480.520.560.60.640.680.720.760.80.840.880.920.960.9901

00.06670.13330.20.26670.33330.46670.53330.60.58430.54470.50510.46550.42590.38630.34670.30710.26750.22780.18820.14860.1090.06940.02980

00.01820.03640.05450.07270.09090.12730.12710.02330000000000000000

00.03850.07690.11540.15380.19230.1016000000000000000000

214ii1nnn214ii1nnnnn50.30.250.2益收0.150.10.05

00.0050.01

0.0150.020.025風(fēng)險a圖1模型1中風(fēng)k與益的關(guān)結(jié)合圖1于險和收益沒有特殊偏好的投資者來說該選擇圖中曲線的拐0.2019這時對的資比例見表1的體所示。從表中計算結(jié)果可以看出，對低風(fēng)險水平，除了存入銀行外，投資首選風(fēng)險率最低的，然后是S和，收益較低；對高風(fēng)險平，總收益較高，投資方向是選擇凈收益率–p）大的S和S．些與人們的經(jīng)驗(yàn)是一的，這里給出了定量的結(jié)果．2）型的解模型本是極小大規(guī)劃：minx)iis.t.

r)iii

≥h

(1p)xii

≥0但是，可以引進(jìn)變量

=

iii0

i，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：min(x)ns.t

xii

i=0,1,2,n

r)xiii

≥h,

(1ii

x≥0i

i具體到n=4的形，按投資的收益和風(fēng)險題中題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：minx

s.t

0.025xxxxxx13540.05x0.27xx0.185x,014

5x1.01x1.021.065xx0234i

（i＝，，…，5利用matlab7.1求模型b，當(dāng)h取同的值（們算最小風(fēng)險和最優(yōu)決策,益水平h取，果如表2所示，風(fēng)險和收益的關(guān)系見圖2.從表2看，對低收益水平，除存入銀行外，投資首選風(fēng)險率最低的資產(chǎn)，后是

和，收益當(dāng)然較低。對高收益水平，總風(fēng)險自然也高，應(yīng)首選凈收益率（

）最大的

和

。這些與人們的經(jīng)驗(yàn)是一致的。表2模2的算結(jié)果風(fēng)險水平

最大收益0.0020.00240.00270.00310.00350.00390.00430.00470.00510.00550.00780.01030.01340.01640.0195

0.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.210.220.230.240.25

0.67020.60430.53830.47240.40640.34050.27450.20860.14260.076700000

0.07830.0940.10970.12540.1410.15670.17240.1880.20370.21940.31140.4120.53410.65630.7784

0.13060.15670.18280.20890.2350.26120.28730.31340.33950.36560.5190.57250.45150.33050.2096

0.03560.04270.04990.0570.06410.07120.07830.08550.09260.09970.05690000

0.07530.09040.10550.12050.13560.15070.16570.18080.19590.21090.09080000

n+1nn+1n0.250.20.150.10.0020.0040.0060.0080.010.012風(fēng)險

0.0140.0160.0180.02圖2模型2中風(fēng)與收益h的關(guān)結(jié)合圖，對于風(fēng)險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇圖中曲線的拐點(diǎn)0.059，0.2這時對的資比例見表2的體所示。3）型求類似模型的解，我們同樣引進(jìn)變量x=

ii0

，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：minρx–（–）

ni

r)iiis.t

qxii

n

i=0，，…，

n

(1p)xii

≥i具體到n=4的形，按投資的收益和風(fēng)險題題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：min

xx0.185x)234s.t

0.025xxxxx5535,4

x1.01x1.02xxx0023i

（i＝，1，…，）利用求解模型c，當(dāng)ρ取不同的值0.75~0.95們算最小風(fēng)險最優(yōu)決策輸出結(jié)果列表如下：

表3模3的算結(jié)果風(fēng)險水平最收益率0.760.77

0.02480.0248

0.26730.2673

00

0.99010.9901

00

00

000.780.79

0.00920.0092

0.21650.2165

00

0.36930.61470.36920.6148

00

000.80.81

0.00790.0092

0.21070.2165

00

0.31510.52180.14310.36870.61540

000.820.830.840.850.860.870.880.890.90.910.920.93

0.00740.00790.0060.0060.00620.00660.00590.0060.0060.00590.00590.0059

0.20840.21060.20170.20160.20260.20450.20170.20170.20180.20170.20160.2016

000000000000

0.29570.49280.13440.05470.31390.52350.142500.23860.39730.10820.2260.23750.39670.10840.22750.24680.41130.07530.23720.26530.44220.00880.25520.23790.39640.10780.22790.2390.39370.10790.22940.23920.3980.10290.22990.2380.39580.10750.22870.23760.39610.1080.22840.23750.39630.1080.22820.940.950.960.97

0.00610.00590.00170.0054

0.18470.1350.24360.33090.11060.15570.201600.23760.3960.1080.22850.09160.72560.06520.10650.03020.06410.18480.1140.21410.35640.09740.192

從圖5可看出，模型3的險收益關(guān)系與模型1和模型的結(jié)幾乎完全一致。0.280.260.240.220.2益收

0.180.160.140.120.10.08

00.0050.01

0.0150.020.025風(fēng)險圖3模型3中風(fēng)險與收益的系0.0250.020.015險風(fēng)0.010.00500.750.80.850.9偏好

0.951圖4模3中險與偏好系數(shù)的系

益收

0.280.260.240.220.20.180.160.140.120.10.080.750.80.850.9偏好

0.951圖5模型3中益與偏好系數(shù)的系四模評價與推廣本文我們建立了投資收益與風(fēng)險的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，通過控制風(fēng)險使收益最大，保證收益使風(fēng)最小，以及引入收益——風(fēng)險偏好系數(shù)，將兩目標(biāo)模型化為了單目標(biāo)模型，并使用matlab7.1求解所得結(jié)果具有一定的指導(dǎo)意義。但是，本文沒有討論收益和風(fēng)險的評估方法，在實(shí)際應(yīng)用中還存在資產(chǎn)相關(guān)的情形，此時，用大風(fēng)險代表組合投資的風(fēng)險未必合理，因此，對不同風(fēng)險度量下的最優(yōu)投資組合進(jìn)行比較研究是一步的改進(jìn)方向。五

總結(jié)歷經(jīng)兩周的時間終于完成了這次課設(shè)，在這次實(shí)踐課程中，我真的遇到了不少的問題，在同學(xué)老師的幫助以及在圖書館和網(wǎng)站搜集資料，解決了所有遇到的問題。尤其在問題分析的過程中是難度最大也是問題最多的環(huán)節(jié)，感覺總是把問題分析的不夠全面透徹，經(jīng)常顧及這個方面而忽了另一方面，最后我請教了同學(xué)，終于完成了問題分析并且建立了模型。在完成這一環(huán)節(jié)后，接來的任務(wù)都是我獨(dú)立完成，也遇到了不少的困難，但都是較易解決的。通過這次實(shí)踐，我確實(shí)學(xué)了不少，學(xué)會了使用，也知道了分析問題的方法。六考文獻(xiàn)[1]MATLAB程設(shè)計與實(shí)例應(yīng)用。張錚等。北京：中國鐵道出版社2003.10運(yùn)籌—方法與應(yīng)用。吳風(fēng)平。南京：河海大學(xué)出版社2000.12《數(shù)學(xué)模型及方法火林主編。江西高校出版社1997.10

數(shù)學(xué)建模教育及競賽。甘筱青主編。南昌：江西高校版社2004.6[5]蕭鐵，面向21世紀(jì)課程教材：大學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)北京：高等教育出版社赫孝良紅等編著建模競賽題簡析與論文點(diǎn)評交通大學(xué)出版社陳叔平，譚永基，一類投資組合問題的建模與分析，學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識）7，1999.七附錄functionresult=qiujie()為表格數(shù)據(jù)1.55.5522.640];42543.2407606.0428421.55498.17.6270685.617833.453.340248311955.7320462.79.45.34.5237.6131];

00增加存銀行r=data(:,1);%%型一求解%result=[];%fora=0:0.01:0.5%result=[result;moxing1(r,q,p,a)];%%result=round(result.*10000)./10000;%%gridon%xlabel('險)%yl