《電磁場與電磁波》第三版 電子課件006

第6章平面電磁波6.1無耗媒質中的均勻平面波6.2導電媒質中的均勻平面波6.3良導體中的均勻平面波、趨膚效應6.4電磁波的極化6.5電磁波的色散與群速6.6均勻平面電磁波對平面邊界的垂直入射6.7均勻平面電磁波對平面邊界的斜入射習題如前所述，時變電磁場以波的形式向前傳播，波動的規(guī)律由波動方程、邊界條件及初始條件來確定。按電磁波的等相位面形狀的不同，可以將其分為平面電磁波、柱面電磁波和球面電磁波。一個點源激勵球面波，一個圓柱源激勵柱面波，一個無限大平面源激勵平面波，因此，理想的平面電磁波是不存在的。但當我們研究的區(qū)域遠離波源時，呈球面的波陣面上的一小部分就可以近似為平面，在此平面內(nèi)的波可以當作平面波來分析。等相位面為平面的電磁波稱為平面電磁波，如果在等相位面內(nèi)電場強度與磁場強度的大小和方向均不變，則稱為均勻平面波。對于均勻平面波，各場分量僅與傳播方向的坐標有關?；蛘哒f均勻平面波的電磁場分量與傳播方向相垂直的坐標無關。本章主要研究平面電磁波在幾種典型媒質中的傳播規(guī)律和不同媒質分界面的反射、透射;介紹諸如行波、駐波和行駐波,TEM波、TE波和TM波,趨膚效應和趨膚深度,極化、色散和群速,全反射和全透射等基本概念。6.1無耗媒質中的均勻平面波我們將波的傳播方向稱為縱向(LongitudinalDirection)，與傳播方向垂直的平面稱為橫向平面(TransversePlane),如圖6-1所示。若在任意固定時間觀察平面波，電磁波在其橫向平面中場分量的大小和方向都不變，則我們稱這種平面波為均勻平面波(UniformPlaneWave)。例如，沿z軸方向傳播的均勻平面波，電場E和磁場H都不是x和y的函數(shù)，而只是z的函數(shù)。現(xiàn)在來討論波動方程在均勻平面波情況下的解。設均勻平面波沿z軸傳播，其電場沿x軸取向，也就是沿y軸和z軸的電場分量為零。因此，有E=axEx(z)(6-1-1)圖6-1平面電磁波于是，式(5-7-5)的電場矢量波動方程簡化為一個標量方程(6-1-2)(6-1-3)這是一個齊次二階常微分方程，其通解為Ex=Emfe-jkz+Embejkz(6-1-4)在時域中能將其寫為Ex(z,t)=|Emf|cos(ωt-kz+φmf)+|Emb|cos(ωt+kz+φmb)(6-1-5)式中，右邊第一項代表沿+z軸方向傳播的均勻平面波，第二項代表沿-z軸方向傳播的均勻平面波，Emf和Emb是由邊界條件決定的常數(shù)。這兩種波除傳播方向相反外，其他性質均相同。如果電介質區(qū)是無限延伸的，則只有一個沿+z軸方向傳播的均勻平面波。此時，電場矢量一般表示為 E=axE0e-jkz (6-1-6)式中E0為一常數(shù)。電場在時域中的表達式為 Ex(z,t)=|E0|cos(ωt-kz+φ0) (6-1-7)

下面，我們對平面波即式(6-1-7)進行較為詳細的分析，從而建立起電磁波的一些重要概念。

1.電磁波的相位式(6-1-7)中的(ωt-kz+φ0)代表了場的波動狀態(tài)，稱為電磁波的相位(Phase)。它由三部分構成。其中，ωt表示隨時間變化部分；-kz表示隨空間距離變化部分；φ0表示場在z=0,t=0時的狀態(tài)，稱為初相位。

2.行波與相速平面波在空間某點z=z0處的Ex與t的關系曲線，如圖6-2所示。由圖可以看出，均勻平面波在空間任意觀察點處，其場強是以角頻率ω隨時間按正弦規(guī)律變化的。當t增加一個周期T，ωT=2π，場強恢復其初始的大小和相位。場強也隨z變化。圖6-3給出的是不同時刻t1和t2(t2>t1)的電場對距離z的關系曲線。由圖可見，在任一固定時刻，場強隨距離z同樣按正弦規(guī)律變化，且隨著時間的推移，函數(shù)的各點沿+z方向向前移動，因此稱之為行波(TravelingWave)?，F(xiàn)把平面波的相位記為φ=(ωt-kz+φ0)，令t=t0，并作出φ與z的關系曲線如圖6-4所示。由圖可見，在傳播方向上，行波的相位隨距離z的增大而連續(xù)滯后。這是行波的一個基本特點。圖6–2電場與時間的關系曲線圖6–3電場與距離z的關系曲線圖6–4相位與距離的關系曲線行波既然是一個行進的波，那么，必然可以找到一個物理量來表示其行進的速度。我們定義平面波的等相位面移動的速度為相速(PhaseVelocity)，所謂等相位面，即滿足下列關系的平面： ωt-kz+φ0=常數(shù)將上式兩邊對時間t微分，整理可得行波的相速為(6-1-8)在自由空間中,其介電常數(shù)和磁導率與真空中的幾乎相同，即，μ=μ0=4π×10-7H/m，代入上式得其傳播相速為vp=3×108

m/s=c(真空中的光速)。因此，電磁波在自由空間中傳播的速度等于光速。相速還可以表示為(6-1-9)式中，(6-1-10)n稱為媒質的折射率(IndexofRefraction)。顯然，相速取決于媒質的介電常數(shù)和磁導率。如果相速與頻率無關，此時的媒質稱之為非色散(Nondispersive)媒質，否則稱之為色散(Dispersive)媒質。上述均勻、線性、各向同性的無耗媒質一定是非色散媒質。

3.波長與相位常數(shù)由于平面波在任意給定的時刻(t=t0)，其波形隨距離z按正弦波變化，如圖6-5所示。因此，任意給定時刻,相位相差2π的兩平面間的距離λ稱為波長(Wavelength)，kλ=2π，寫作(6-1-11)由于k=2π/λ，它表示電磁波單位距離上的相位變化，因此稱k為相位常數(shù)(PhaseConstant)，它又表示2π距離上波的個數(shù)，所以k也稱為波數(shù)。圖6-5電磁波的波長

4.波阻抗與功率流密度由麥克斯韋第二方程得將平面波的電場E=axE0e-jkz代入上式，相應的磁場為(6-1-12)其中，az為平面波的傳播方向，而(6-1-13)由于E的單位是V/m，H的單位是A/m，η的單位是Ω。因此，η稱為本征阻抗(或波阻抗)(IntrinsicorWaveImpedance)，它也等于電場與磁場的振幅之比。在自由空間(或真空)中，無耗媒質中，任意點的平均功率流密度為(6-1-14)

5.沿任意方向傳播的平面波表達式在表達式(6-1-6)中，電磁波的傳播方向為+z軸，波的等相位面是垂直于z軸的平面，或者說是z=常數(shù)的平面，如圖6-1所示。該等相位面上任一點P(x,y,z)的位置矢量為r=axx+ayy+azz，由于r·az=(axx+ayy+azz)·az=z。因此等相位面也可用r·az=常數(shù)來表示。在實際中，電磁波的傳播方向不一定是沿某坐標軸，而可能是沿任意方向。若均勻平面波沿任意單位矢量a的方向傳播，則空間任一點r=axx+ayy+azz處的電場矢量可表示為

E=E0e-jka·r(6-1-15)在無源區(qū)域內(nèi)，由于式中，因此有要使上式成立，必須有E0·a=0，即電場與傳播方向垂直，可見，式(6-1-15)隱含了平面波電場垂直于傳播方向這一條件。相應的磁場矢量為(6-1-16)并且有E·a=0,H·a=0(6-1-17)

式(6-1-17)表明，在無耗媒質中，均勻平面電磁波的電場強度和磁場強度均與波的傳播方向垂直，或者說在傳播方向上既沒有電場分量又沒有磁場分量，故又稱均勻平面波為橫電磁波(TEM波，TransverseElectromagneticＷave)。綜合以上討論，可以歸納出無耗媒質中傳播的均勻電磁波(如圖6-6所示)具有以下特征：

(1)電磁波的電場E與磁場H都與傳播方向垂直，即沿傳播方向的電場和磁場分量等于零，因此稱為橫電磁波(TEM波)；E、H與S三者互相垂直，且成右手螺旋關系。

(2)電場與磁場的振幅之比為一常數(shù)η，故只要求得電場就可由式(6-1-16)求得磁場，即電場和磁場不僅有相同的波形，且在空間同一點具有同樣的相位。

(3)在無耗媒質中電磁波傳播的速度僅取決于媒質參數(shù)本身，而與其他因素無關。因此可以說，無耗媒質是無色散媒質。(4)均勻平面電磁波在無耗媒質中以恒定的速度無衰減地傳播，在自由空間中其行進的速度等于光速。圖6–6無耗媒質中傳播的均勻電磁波及電場E、磁場H與S的關系

【例6-1】設自由空間中均勻平面波的電場強度為E(z,t)=ax60πcos(ωt-6πz)，求：

(1)傳播速度；

(2)波長；

(3)波的頻率；

(4)磁場強度的瞬時表達式；

(5)平均坡印廷矢量。

解

(1)自由空間中，波以光速傳播，所以

vp=3×108

m/s

(2)波長為

(3)波的頻率為

(4)電場的復矢量表達式為

E=ax60πe-j6πz根據(jù)式(6-1-12)得因此，磁場強度的瞬時表達式為H(z,t)=ay0.5cos(18π×108t-6πz)A/m

(5)平均坡印廷矢量6.2導電媒質中的均勻平面波6.2.1復介電常數(shù)在導電媒質中，麥克斯韋第一方程的復數(shù)形式可寫成如下形式:式中，是個復數(shù)，稱為導電媒質的復介電常數(shù)(ComplexPermittivity)。其實部代表位移電流的貢獻，它不引起功率損耗；而其虛部代表傳導電流的貢獻，將引起能量的損耗。因此，我們可以根據(jù)傳導電流與位移電流的比值的大小對媒質進行分類。(6-2-1)若>>1，即傳導電流占優(yōu)勢，稱為導體(Conductor)；若

<<1，則位移電流占優(yōu)勢，稱為絕緣體(Insulator)(亦稱電介質)；若之值介于兩者之間，稱為半導體(Semiconductor)?？梢姡劫|分類沒有絕對的界線。通常，＞100時，可認為是導體；＜0.01時，可認為是電介質；如果0.01≤≤100，則稱為半導體，或半導電媒質。

因此，在時變電磁場中，對材料性質的劃分，不僅要考慮材料本身的電導率σ，還要考慮材料的介電常數(shù)ε以及工作頻率f。例如,某種具有一定電導率的材料，在低頻時為“導體”，在高頻時為“半導體”，而在極高頻時則為“電介質”，這是因為位移電流隨著頻率的升高而不斷增大，使比值不斷變小的緣故。另外，導電媒質的復介電常數(shù)可表示為式中，幅角δ由下式給定：tanδ稱為損耗正切(LossTangent)，是在工程中很有用的一個物理量，它反映了引起能量損耗的傳導電流的相對大小，并用來說明材料的損耗特性。例如，在微波頻率下，作為電介質，其tanδ一般不應大于10-3數(shù)量級。δ稱為損耗正切角。(6-2-2)6.2.2無限大導電媒質中的均勻平面波引入復介電常數(shù)的概念，使導電媒質中的麥克斯韋方程與無耗媒質(電介質)中的麥克斯韋方程形式上完全相同，所不同的是前者為復介電常數(shù)，而后者是實介電常數(shù)ε。因此，只要將無耗媒質場的表達式中的ε用取代即可得導電媒質中場的表達式。在無耗媒質的解中，有兩處出現(xiàn)ε，一個是相位常數(shù)k，另一個是波阻抗η。下面分別討論之。將無耗媒質的相位常數(shù)k及波阻抗η中的ε均以來取代，即得導電媒質中的復相位常數(shù)和復波阻抗。復相位常數(shù)的表達式為(6-2-3)其中，α>0,β>0分別稱為衰減常數(shù)和相位常數(shù)。α、β的表達式分別為(6-2-4)(6-2-5)而復波阻抗的表達式為(6-2-6)將無耗媒質中的電磁場表達式(6-1-6)及式(6-1-12)中的k和η分別代以和，可得有耗媒質中場的表達式

E=axE0e－αze

－

jβz(6-2-7)(6-2-8)(6-2-9)式(6-2-3)～式(6-2-9)表明：

(1)在無限大導電媒質中的波是一個衰減的行波，簡稱衰減波(AttenuatedWave)。衰減是由傳導電流引起的。電場和磁場的振幅隨距離按指數(shù)規(guī)律e-αz衰減，衰減的快慢取決于α，稱α為衰減常數(shù)(AttenuationConstant)，它表示場強在單位距離上的衰減，單位是Np/m(奈貝/米)。

(2)=β-jα中的衰減常數(shù)α表示在傳播過程中衰減的快慢，而β表示在傳播過程中相位的變化，因此，稱β為相位常數(shù)(PhaseConstant)。α、β從不同的側面反映場在傳播過程中的變化，所以，我們稱為傳播常數(shù)(PropagationConstant)。

(3)均勻平面波在導電媒質中傳播時，電場與磁場不同相，彼此間存在一個固定的相位差θ0。

(4)在無限大導電媒質中的均勻平面電磁波仍然是TEM波，即E、H和S三者仍相互垂直并成右手螺旋關系，如圖6-7所示。這一特性與無限大無耗媒質中的電磁波相同。上述分析還表明，在導電媒質中，電磁波的相速不再是個常數(shù)，它不僅取決于媒質參數(shù)，還與信號的頻率有關。我們把電磁波的相速隨著頻率的變化而變化的現(xiàn)象稱為色散。因此，導電媒質為色散媒質(DispersiveMedium)。α、β都隨著頻率的變化而變化，當信號在導電媒質中傳播時，不同頻率的波有不同的衰減和相移。對于模擬信號來說，帶寬為Δω的信號在前進過程中其波形將一直變化，當信號到達目的地時發(fā)生了畸變，這將會引起信號的失真；而對于數(shù)字信號來說，由于頻率越高衰減越大，使到達接收點的數(shù)字信號脈沖展寬，因此，要降低誤碼必然要降低信號的傳輸速率，這必然會影響數(shù)字通信的帶寬和容量。若媒質為弱導電媒質，即<<1，式(6-2-4)和式(6-2-5)可簡化為可見，對于弱導電媒質有β>>α，此時電磁波的衰減很小且與頻率無關，相速也與頻率無關。因此，弱導電媒質也可以看成是非色散媒質。(6-2-10)(6-2-11)圖6–7導電媒質中的均勻平面波及E、H及S的關系

【例6-2】某工作頻率為1.8GHz的均勻平面波在μr=1.6、εr=25和σ=2.5S/m的媒質中傳播。設該區(qū)域中電場強度為E(z,t)=axe-αzcos(ωt-βz)，求：

(1)傳播常數(shù)；

(2)衰減常數(shù)；

(3)波阻抗；

(4)相速；

(5)平均坡印廷矢量。

解

(1)電磁波的角頻率為 ω=2πf=2π×1.8×109=3.6π×109rad/s

復介電常數(shù)可表示為傳播常數(shù)為

(2)衰減常數(shù)為 α=109Np/m(3)波阻抗為

(4)相速為

(5)電場的復矢量表達式為 E=axe－αze

－

jβz故平均坡印廷矢量可見，能量的衰減比信號的衰減更快。6.3導體中的均勻平面波、趨膚效應根據(jù)前面的定義，>>1的導電媒質是導體，因此，電磁波在導體中傳輸可認為是波在導電媒質中傳輸?shù)囊粋€特例。由于>>1，因此，導體材料的復介電常數(shù)為因而，導體材料的傳播常數(shù)為因此，

(6-3-1)

將式(6-3-1)代入式(6-2-7)~式(6-2-9)得在導體中均勻平面電磁波的電磁場及平均坡印廷矢量為

Ex=E0e－αze

－

jβz(6-3-2)(6-3-3)(6-3-4)上述分析表明：當電磁波在電導率σ很大的良導體(GoodConductor)中傳播時，衰減常數(shù)α一般也很大。因此，電磁波在良導體中衰減很快，特別是當頻率很高時，情況更是如此。電磁波進入良導體中很小的距離后，能量幾乎全部被衰減掉。換句話說，高頻電磁波只集中在良導體的表面薄層，而在良導體內(nèi)部則幾乎無高頻電磁波存在，這種現(xiàn)象稱為趨膚效應(SkinEffect)。問題是電磁波的振幅小到?jīng)]有意義之前它能傳多遠？這可用趨膚深度來回答。將導體中電磁波的電場振幅降為導體表面處振幅的1/e時傳播的距離定義為趨膚深度(SkinDepth)，記為δc，即當αδc=1時，電磁波的電場振幅降為1/e，因此(6-3-5)式(6-3-5)表明，導體的導電率越高，工作頻率越高，則趨膚深度越小。實際上波透入5δc的距離后，其振幅降至1%以下，也就認為波在導電媒質中消失了?，F(xiàn)在我們來計算銅在幾個工作頻率時的透入深度，從而了解高頻電磁波對良導體的透入深度的數(shù)量級。現(xiàn)取頻率f=1MHz和f=30GHz，銅的電導率為σ=5.8×107S/m，將其代入式(6-3-5)即得銅的趨膚深度。當f=1MHz時，銅的趨膚深度δc：當f=30GHz時，銅的趨膚深度δc：另外，導體的表面阻抗在工程上也是十分有意義的物理量。所謂導體的表面阻抗就是導體表面的切向電場強度與磁場強度的比值，它等于波阻抗，由式(6-3-2)、式(6-3-3)可得式中，RS和XS分別稱為表面電阻和表面電抗。由表達式(6-3-6)可見，RS∝ω，即導體表面阻抗隨工作頻率的升高而急劇加大。因此，導體在高頻時的電阻遠大于低頻時的電阻，這正是由于趨膚效應造成的。(6-3-6)趨膚效應在工程中是很有意義的。在無線電裝置中，常配置有銅制或鐵制的屏蔽罩，這是利用電磁波不能穿透導體而起屏蔽作用的；在工業(yè)上，利用高頻時金屬導體上的電流將集中在表面，而對材料表面進行加熱淬火；在傳輸高頻信號時，導線上的電流集中在導線的表面，這相當于減小了導線的有效截面積，從而增大了導線電阻，為了減小電阻，只有增大導線的截面，所以人們在高頻時多用多股線或同軸線來代替單根導線；由于趨膚效應，導體表面層的導電性能對電阻的影響最大，為了減小電阻，一些要求高的高頻器件或部件，常在其表面鍍上一層電導率特別高的材料，如金、銀等。6.4電磁波的極化在實際工作中，可觀察到這樣的現(xiàn)象：當金屬導線與傳過來的電磁波的電場方向平行時，電場在導線上感應的電動勢最強，而當金屬導線與傳過來的電磁波的電場方向垂直時，在導線上感應的信號為零，這說明電磁波電場在空間的取向是很重要的一個問題。電磁波電場在空間的取向稱為電磁波的極化，確切地說，傳播方向上任一固定點處的電場矢量端點隨時間變化所描繪的軌跡稱為極化(Polarization)，可分為線極化、圓極化和橢圓極化三種。6.4.1線極化波設有一電磁波沿+z方向傳播，其電場E有兩個正交的分量Ex和Ey(如圖6-8所示)，它們的表達式為(6-4-1)如果在z=0的平面上觀察，且假設這兩個分量之間不存在相位差，即φx=φy=φ，則其合成場大小為(6-4-2)圖6–8線極化波它與x軸所成的夾角θ(見圖6-8)為(6-4-3)由于合成電場強度的方向與x軸所成的夾角θ不隨時間而改變，所以E的矢端軌跡為一直線，因而稱之為線極化波(LinearPolarizedWave)。如果式(6-4-1)中的兩個分量初相位相反，那么在空間固定位置上觀察其合成電場強度E的矢端隨時間變化所描繪的軌跡仍然為一直線。這就是說，具有兩個正交且同相(或反相)的電場分量的電磁波，必定是線極化波；或者說，任意一個線極化波必然可以分解為兩個相互正交的同相(或反相)線極化波。6.4.2圓極化波若沿+z軸傳播的電磁波的電場E是由兩個相互正交、幅度相等且相位相差90°的分量組成，即(6-4-4)其合成電場的大小為(6-4-5)式(6-4-5)表明，其合成電場的大小是個常數(shù)。它與x軸所成的夾角的正切為當我們在傳播方向上任意固定的點，比如在z=0的平面上來觀察電場時，電場強度與x軸所成的夾角為 θ=(ωt+φx)(6-4-6)式(6-4-5)和式(6-4-6)表明，合成電場E的大小不隨時間變化，而其方向與x軸的夾角θ隨時間的變化而變化，即合成電場強度E的矢端軌跡為一個圓，因而稱之為圓極化。當Ex的相位超前Ey的相位90°時，合成電場E的方向與x軸的夾角θ隨時間的增加而增加，對應式(6-4-6)右邊取正號，此時合成電場E的旋轉方向與傳播方向(+z軸)成右手螺旋關系，我們將其稱為右旋圓極化波(RightHandCircularPolarizedWave)。當Ex的相位超前Ey的相位90°，對應式(6-4-6)右邊取負號時，合成電場E的方向與x軸的夾角θ隨時間的增加而減小，則會得到左旋(Lefthand)圓極化波，如圖6-9所示。圖6–9圓極化波6.4.3橢圓極化波若沿z軸傳播的電磁波電場E的兩個正交分量Ex和Ey的振幅和相位關系為一般情況時，合成場E的矢端軌跡將為一個橢圓，如圖6-10所示，這樣的電磁波稱為橢圓(Elliptically)極化波。橢圓極化波與圓極化波一樣也分為右旋橢圓極化波(RighthandEllipticallyPolarizedWave)和左旋(Lefthand)橢圓極化波。當橢圓的長軸與短軸相等時即為圓極化波；當短軸縮短到零時即為線極化波，因此圓極化波與線極化波都是橢圓極化波的特例。線極化、圓極化和橢圓極化示意圖如圖6-11所示。電磁波的極化特性在工程中有重要的意義。當我們考慮自由空間和大地之間的分界面時，如果電場矢量平行于地面稱為水平極化(HorizontalPolarization)，如果電場垂直于大地平面，則稱為垂直極化(VerticalPolarization)。圖6–10橢圓極化波圖6–11線極化、圓極化和橢圓極化旋轉示意圖一個平行于地面放置的線天線所產(chǎn)生的遠區(qū)電場是平行于地面的水平極化波。例如，電視信號的發(fā)射通常采用水平極化方式，因此，電視接收天線應調(diào)整到與地面平行，使其極化狀態(tài)與所接收波的極化狀態(tài)匹配，以獲得最佳接收效果，電視公用天線的架設就應用了這個原理。相反，如果一個線天線與地面垂直，其遠區(qū)輻射電場就是與地面垂直的垂直極化波。例如，調(diào)幅電臺發(fā)射的遠區(qū)電磁波的電場就是與地面垂直的垂直極化波，因此，聽眾要獲得最佳收聽效果，就應將天線調(diào)整到與地面垂直。很多情況下，系統(tǒng)必須采用圓極化才能正常工作。一個線極化可以分解為兩個振幅相等、旋向相反的圓極化波，所以不同取向的線極化波都可由圓極化天線收到，因此，在雷達、導航、制導、通信和電子對抗中廣泛采用圓極化波。

【例6-3】若某區(qū)域內(nèi)的電場強度為 E=(3ax+j4ay)e－j0.5z試確定波的極化。解電場的兩個分量在時域中的表達式分別為

Ex(z,t)=3cos(ωt

－

0.5z)在z=0的平面上， Ex(0,t)=3cosωt

Ey(0,t)=－

4sinωt將兩式平方后相加得這是一個橢圓方程。因此，波為橢圓極化,如圖6-12所示。為了決定旋轉方向，可以選擇ωt=0、ωt=，分別計算它們的電場值。當ωt=0時，Ex(0,0)=3和Ey(0,0)=0，此時電場的端點在+x軸上，當ωt=時，Ex(0,)=0和Ey(0,)=－4，電場的端點在－

y軸上。因此，旋轉方向為順時針，波為左旋橢圓極化波。圖6–12左旋橢圓極化波6.5電磁波的色散與群速我們知道，單頻率的正弦波是不能攜帶任何信息的，也就是說，任何實際的信號總是由許許多多的頻率成分組成的,即占有一定的頻帶寬度。在6.1節(jié)曾經(jīng)指出，無耗媒質是非色散數(shù)和磁導率，而與頻率無關。因此，相速代表電磁波傳播的速度。而導電媒質是色散媒質，不同的頻率有不同的相速，若用相速來衡量一個信號在色散媒質中的傳播速度就會發(fā)生困難。為了解決這個問題，我們引入群速的概念。媒質。非色散媒質中，相速vp=只取決于媒質的介電常設有兩個振幅均為Am、頻率為ω+Δω和ω－Δω的電磁波，沿+z方向傳播，在色散媒質中，它們對應的相位常數(shù)是β+Δβ和β

－

Δβ，其表達式為

ψ1=Am

cos［(ω+Δω)t

－(β+Δβ)z］

ψ2=Am

cos［(ω－Δω)t

－(β－

Δβ)z］它們的合成波為ψ=ψ1+ψ2=2Am

cos(Δωt－Δβz)cos(ωt－βz)上式表明，合成波的振幅是受調(diào)制的，這個按余弦變化的調(diào)制波稱為包絡波，如圖6-13所示。圖6–13群速與相速群速(GroupVelocity)就是包絡波上某一恒定相位點推進的速度，由(Δωt－Δβz)=常數(shù)，得因此，群速與相速的關系為即(6-5-1)顯然，有以下三種可能：

(1)=0,即相速與頻率無關時，群速等于相速，為無色散。

(2)<0,即頻率越高相速越小時，群速小于相速，為正常色散。

(3)>0,即頻率越高相速越大時，群速大于相速，為反常色散。實際上，群速就是電磁波能量傳播的速度，其大小小于或等于光速，至少目前還沒有發(fā)現(xiàn)有超光速的，而相速是電磁波的等相位面前進的速度，其大小在某種條件下可以大于光速，比如當電磁波在金屬波導中傳播時，相速就大于光速而群速小于光速，也就是出現(xiàn)了正常色散現(xiàn)象，電磁波在理想的無耗媒質中傳播時不存在色散，而實際情況下，色散總是存在的，如光纖的色散、波導的色散以及大氣色散等。6.6均勻平面電磁波對平面邊界的垂直入射平面電磁波在均勻、線性、各向同性的無限大媒質中傳輸時，只存在沿一個方向(前向)傳輸?shù)男胁?。而實際中遇到的情況往往是比較復雜的，例如電磁波在傳輸過程中遇到不同媒質的分界面、遇到各種障礙物等。在這種情況下，電磁波既要在邊界面兩側的媒質中滿足麥克斯韋方程，又要滿足分界面上的邊界條件。下面，我們來討論不同媒質分界面為平面時電磁波的運動規(guī)律。假設z=0為兩種媒質的分界面，z<0為媒質1，z>0為媒質2，如圖6-14所示。并假定入射波(IncidentWave)沿+z方向傳播，即垂直入射到兩種媒質的分界面上。在分界面處有一部分波透過邊界并繼續(xù)沿+z方向在媒質2中傳播，這種波稱為透射波(TransmittedWave)。另一部分在分界面處反射并沿-z方向傳播，這種波稱為反射波(ReflectedWave)。在媒質1中，電磁場為入射波與反射波的疊加。而在媒質2中，只有沿+z方向傳播的行波。設入射波的電場為x軸取向的線極化波，在媒質1中的傳播常數(shù)為，則其電場表達式為(6-6-1)圖6–14平面波垂直入射于平面邊界如果媒質1的波阻抗為，則入射波的磁場強度為(6-6-2)反射波的電場與磁場分別為(6-6-3)(6-6-4)如果媒質2的波阻抗為，傳播常數(shù)為，則媒質2中的電場與磁場分別為(6-6-5)(6-6-7)(6-6-6)媒質1中的合成電場、磁場為(6-6-8)應用z=0的邊界條件就能最后確定各媒質中的場?，F(xiàn)在，我們來討論兩種特殊的情況。(6-6-9)(6-6-10)6.6.1理想介質與理想導體的分界面當媒質1為理想介質，媒質2為理想導體時(即σ1=0,σ2=∞)，由于理想導體中不可能有電磁場存在，故Et=0,Ht=0。而媒質1中的電磁場分別為其中，根據(jù)邊界(z=0)上電場切向分量連續(xù)的條件，得 Eim

+Erm=0即 Erm=－Eim(6-6-11)

為了表示分界面處波的反射情況，定義分界面處反射波電場與入射波電場的比值為反射系數(shù)(ReflectionCoefficient)，記為R；而界面處透射波電場與入射波電場之比為透射系數(shù)(TransmissionCoefficient)，記為T。顯然，(6-6-12)上式表明，當電磁波垂直入射到理想導體表面時，電磁波全部被反射，簡稱全反射。(6-6-13)(6-6-14)此時，媒質1中的合成場為分析式(6-6-13)和式(6-6-14)，我們可以得到電磁波經(jīng)理想導體全反射后空間電磁場分布的一些重要特征：

(1)由入射波和反射波合成的電場和磁場在空間仍然相互垂直。

(2)合成場的振幅隨距離z按正弦(余弦)規(guī)律變化。在z=0,等處，電場的幅值為零，我們稱這些點為電場波節(jié)(Node)點；而在z=等處，電場的幅值為最大，我們稱這些點為電場波腹(Loop)點。磁場的波節(jié)點與波腹點正好與電場的相反，即電場波節(jié)點恰是磁場的波腹點，而電場的波腹點正是磁場的波節(jié)點，如圖6-15所示。這種波節(jié)點波腹點位置固定不動的波叫做駐波(StandingWave)。

(3)電場和磁場在時間上有90°的相位差，即電場最大時磁場為零，磁場最大時電場為零，其平均坡印廷矢量等于零。因此駐波只是電磁能量的振蕩，而沒有能量的傳輸。圖6–15電磁場駐波振幅分布6.6.2兩種理想電介質分界面兩種媒質均為理想電介質，即σ1=0,σ2=0。在媒質1中傳播常數(shù)為，波阻抗為，則電磁場的表達式為(6-6-15)(6-6-16)設媒質2的傳播常數(shù)為，波阻抗為，則媒質2中電磁場的表達式為(6-6-17)(6-6-18)在z=0的分界面上，電場和磁場應滿足的邊界條件是切向電場和切向磁場連續(xù)，即(6-6-19)將上式整理得(6-6-20)因此，分界面處的反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為(6-6-21)且反射系數(shù)與透射系數(shù)之間滿足 1+R=T(6-6-22)媒質1中的總場為(6-6-23)(6-6-24)由表達式(6-6-23)和(6-6-24)及表達式(6-6-17)和(6-6-18)可以得到以下結論：

(1)媒質1中存在著入射波和反射波這兩個成分。由于反射系數(shù)的大小始終小于1，入射波的振幅總是大于反射波的振幅。如果將入射波分為兩部分，一部分入射波電場的振幅等于反射波電場的振幅，則兩者疊加形成駐波，而入射波的另一部分仍為行波。所以，媒質1中的波是行波和駐波之和，稱為行駐波。顯然，在行駐波的情況下，電磁場在空間的振幅分布有極大值和極小值，極大值點稱為波腹點，極小值點稱為波節(jié)點。波腹點的值不等于原入射成分的兩倍，波節(jié)點值不為零。電場的波節(jié)點與波腹點的位置仍與磁場的情況相反。

(2)若η2>η1，R為正，說明在分界面上反射波電場與入射波電場同相，則在界面上必定出現(xiàn)電場波腹點；反之，若η2<η1，R為負，說明在分界面上反射波電場與入射波電場反相，則在界面上必定出現(xiàn)電場波節(jié)點。

(3)在媒質2中，只有透射波一種成分，故媒質2中傳輸?shù)娜詾樾胁ā?/p>

【例6-4】平面電磁波在ε1=9ε0的媒質1中沿+z方向傳播，在z=0處垂直入射到ε2=4ε0

的媒質2中。若來波在分界面處最大值為0.1V/m，極化為+x方向，角頻率為300Mrad/s，求:(1)反射系數(shù)；

(2)透射系數(shù)；

(3)寫出媒質1和媒質2中電場的表達式。解媒質1的傳播常數(shù)為波阻抗為媒質2的傳播常數(shù)為波阻抗為

(1)反射系數(shù)為

(2)透射系數(shù)為

(3)媒質1中電場的表達式為 E1=Ei+Er=ax(0.1e-j3z+0.02ej3z) =ax［0.04cos(3z)+0.08e-j3z］媒質2中電場的表達式為 E2=Et=ax0.12e-j2z由表達式可見，媒質1中的合成電磁場為行駐波，或者稱為混合波狀態(tài)，而媒質2中的電磁場為行波狀態(tài)。6.7均勻平面電磁波對平面邊界的斜入射當電磁波以任意角度入射到分界面上時，稱之為斜入射(ObliqueIncidence)。假設z=0為兩種不同媒質的分界面。為了描述入射波的極化，我們定義：入射波射線與分界面的法線所組成的平面為入射平面(PlaneofIncidence)。若電場矢量平行于入射平面，稱為平行極化(ParallelPolarized)；若電場矢量垂直于入射平面，稱為垂直極化(PerpendicularlyPolarized)。6.7.1在介質—理想導體分界面的斜入射設媒質1為線性、各向同性、均勻的理想電介質，媒質2為理想導體。現(xiàn)有一平面波沿ai方向傳播，與分界面的單位法線n的夾角為θi，稱為入射角。由于電磁波不能進入理想導體,因此，不管平面波是平行極化還是垂直極化，當它入射到理想導體表面時都將被全反射，即反射系數(shù)的大小都等于1。設反射波的傳播方向為ar，它與單位法線n的夾角θr稱為反射角，如圖6-16所示。

1.平行極化波利用式(6-1-15)，入射波(IncidenceWave)電場和反射波(ReflectedWave)電場可分別表示為其中，ai=axsinθi+azcosθi(6-7-3)

ar=axsinθr

-az

cosθr(6-7-4)(6-7-1)(6-7-2)圖6–16在介質—理想導體分界面的斜入射(a)平行極化波；(b)垂直極化波媒質1中的總電場為(6-7-5)相應的磁場為(6-7-6)其中,為媒質的波阻抗。根據(jù)理想導體表面切向電場為零的邊界條件，有(6-7-7)要使上式對所有的x成立，只有：(6-7-8)上式表明：入射角等于反射角，這是光學中眾所周知的關系，稱為斯涅爾反射定律(Snell’sLawofReflection)；入射波的電場振幅等于反射波的電場振幅，即反射系數(shù)R∥=1。將式(6-7-8)代入式(6-7-5)和式(6-7-6)得理想介質中(z<0的區(qū)域)任意點處的電場、磁場分量為 Ex(x,z)=-j2E0cosθsin(kz

cosθ)e-jkxsinθ(6-7-9)

Ez(x,z)=-2E0sinθcos(kz

cosθ)e-jkxsinθ(6-7-10)

Hy(x,z)=2E0

cos(kz

cosθ)e-jkx

sinθ(6-7-11)因此，平行極化波斜入射到理想導體表面時有以下結論：(1)在理想導體的表面平行極化波將會全反射，且反射系數(shù)R∥=1；

(2)在垂直于分界面的方向(z軸方向)上，合成波的場量是駐波；

(3)在平行于分界面的方向(x軸方向)上，合成波的場量是行波，它的相速為式中，vp=ω/k

是入射波沿ai方向的相速。(6-7-12)

(4)合成波的等振幅面垂直于z軸，而波的等相位面垂直于x軸，故它是非均勻平面波(NonuniformPlaneWave)。

(5)當sin(kzcosθ)=0即z=-(n=0,1,2,…)時，Ex≡0。因此，若在z=-

處插入一導體板，將不會改變其場分布，這個理想導體板與z=0處的理想導體構成了所謂的平行板波導。(6)由于沿電磁波傳播方向(x軸方向)不存在磁場分量(Hx=0)，因此，稱這種波為橫磁波，簡稱TM(TransverseMagnetic)波。2.垂直極化波如圖6-16(b)所示，入射波電場垂直于入射面，即入射波和反射波電場均只有Ey分量，而磁場有Hx和Hz分量。用類似于平行極化波的分析方法，可得到z<0的媒質1中任意點的電場、磁場分別為(6-7-13)(6-7-14)由理想導體表面切向電場為零的邊界條件，即z=0處Ey=0，得(6-7-15)可見，入射波的電場振幅與反射波的電場振幅等幅反相，即反射系數(shù)R⊥=-1。將式(6-7-15)代入式(6-7-13)和式(6-7-14)得Ey(x,z)=-j2E0sin(kz

cosθ)e-jkxsinθ(6-7-16)

Hx(x,z)=-

cosθcos(kz

cosθ)e-jkxsinθ(6-7-17)

Hz(x,z)=-jsinθsin(kz

cosθ)e-jkxsinθ(6-7-18)從上述分析中，可以得到以下結論：

(1)在理想導體的表面垂直極化波和平行極化波一樣也會產(chǎn)生全反射，且反射系數(shù)R⊥=-1；

(2)在垂直于分界面的方向(z軸方向)上，合成波的場量是駐波；

(3)在平行于分界面的方向(x軸方向)上，合成波的場量是行波，它的相速為

(4)合成波是非均勻平面波。

(5)在z=處插入一導體板，將不會改變其場分布。(6-7-19)

(6)由于沿電磁波傳播方向(x軸方向)不存在電場分量(Ex=0)，所以，稱這種波為橫電波，簡稱TE(TransverseElectronic)波。6.7.2在介質—介質分界面的斜入射設兩種媒質均為理想介質，且媒質1參數(shù)為μ1、ε1,媒質2參數(shù)為μ2、ε2,如圖6-17所示。不論是平行極化波還是垂直極化波，當電磁波沿ai方向從媒質1入射到兩種媒質的分界面時，一部分被反射，反射波沿ar方向傳播，另一部分透射(Transmission)到媒質2中，透射波沿at方向傳播，透射線與反射面法線的夾角θt稱為透射角。圖6–17在介質—介質分界面的斜入射(a)平行極化波；(b)垂直極化波我們先來分析如圖6-17(a)平行極化波的情況。設媒質1中的傳播常數(shù)

，波阻抗，媒質1中的入射波與反射波的合成電場為(6-7-20)相應的磁場為(6-7-21)設媒質2中的傳播常數(shù)

，波阻抗，媒質2中的入射波與反射波的合成電場為(6-7-22)(6-7-23)在z=0的分界面上，電場的切向分量連續(xù)(6-7-24)要使上式對所有的x均成立，必有k1sinθi=k1sinθr=k2

sinθt(6-7-25)因此，可以得到 θi=θr(6-7-26)即入射角等于反射角。由式(6-7-25)還可得到k1sinθi=k2sinθt(6-7-27)這就是斯涅爾折射定律(SnellRefractionLaw)。由于這一原因，透射波又稱為折射波(RefractedWave)。通常情況下，一般介質的磁導率很接近自由空間的磁導率，所以μ1=μ2=μ0，此時有(6-7-28)其中，n1與n2

分別是媒質1和媒質2的折射率。由式(6-7-24)得(6-7-29)根據(jù)在z=0的分界面上，磁場的切向分量連續(xù)的邊界條件，得(6-7-30)聯(lián)立上述兩式即得反射系數(shù)和透射系數(shù)的表達式分別為(6-7-31)(6-7-32)且有

1+R∥=T∥(6-7-33)類似的分析可得到圖6-17(b)垂直極化波的反射系數(shù)和透射系數(shù)公式(6-7-34)(6-7-35)且有 1+R⊥=T⊥(6-7-36)6.7.3全反射和全透射

1.全反射由式(6-7-28)可以看出，當ε1>ε2，必然有θt>θi，且折射角θt隨著入射角θi的增大而增大，因此，總存在一個入射角θi，使θt=。此時，折射波將沿著分界面表面?zhèn)鞑ァＨ羧肷浣铅萯再增大，媒質2中將沒有折射波，或者說入射波全部被反射了。我們將使θt

=時的入射角稱為臨界角(CriticalAngle)，記作θc：(6-7-37)由式(6-7-31)和式(6-7-34)可以看出，當θi=θc時，|R∥|=|R⊥|=1，若θi

>θc時，仍然有|R∥|=|R⊥|=1?？梢姡瑹o論是平行極化波還是垂直極化波，當入射角等于或大于臨界角θc時，都將產(chǎn)生全反射。因此，臨界角也稱為全反射角(AngleofTotalReflection)。此時，媒質2中雖然沒有電磁波傳入，但由于在分界面上要滿足電場、磁場切向分量連續(xù)的條件，所以媒質2中應有場分量存在，這些場量將沿z方向作指數(shù)規(guī)律衰減。由于媒質2中的波在+z方向作衰減而沿平行于分界面方向傳播，因此稱為表面波(SurfaceWave)。全反射是實現(xiàn)表面波傳播的基礎，這也正是光纖的傳輸原理。

2.全透射由式(6-7-31)可知，對于平行極化波，若θi=θB時有η1

cosθi

-η2

cosθt=0，反射系數(shù)等于零，即沒有反射波存在，或者說電磁波發(fā)生了全透射，我們稱θB為布儒斯特角(BrewsterAngle)，其表達式為而對于垂直極化波，反射系數(shù)不可能等于零。所以，當一任意極化的電磁波以布儒斯特角入射時，反射波將只包含垂直極化分量。這表明橢圓極化波或圓極化波經(jīng)過反射后將成為線極化波。因此，布儒斯特角又稱為極化角(PolarizingAngle)。(6-7-38)習題

6.1已知電磁波的電場強度的瞬時表達式為

E=axE0cos(ωt-βz+φ0)問它是否為均勻平面波？其傳播方向和磁場強度分別沿什么方向？

6.2自由空間中一均勻平面波的磁場強度為

H=(ay+az)H0cos(ωt-πx)A/m求：(1)波的傳播方向；

(2)波長和頻率；

(3)電場強度；

(4)瞬時坡印廷矢量。

6.3無耗媒質的相對介電常數(shù)εr=4，相對磁導率μr=1，一平面電磁波沿+z方向傳播，其電場強度的表達式為

E=ayE0cos(6×108t

-βz)求：(1)電磁波的相速；

(2)波阻抗和β；

(3)磁場強度的瞬時表達式；

(4)平均坡印廷矢量。

6.4一均勻平面電磁波從海水表面(x=0)沿+x方向向海水中傳播。在x=0處，電場強度為

E=ay100cos(107πt)V/m若海水的εr=80,μr=1,σ=4S/m。求：

(1)衰減常數(shù)、相位常數(shù)、波阻抗、相位速度、波長、趨膚深度；

(2)寫出海水中的電場強度表達式；

(3)電場強度的振幅衰減到表面值的1%時，波傳播的距離；(4)當x=0.8m時,電場和磁場的表達式。

(5)如果電磁波的頻率變?yōu)閒=50kHz，重復(3)的計算。比較兩個結果會得到什么結論？

6.5判斷下面表示的平面波的極化形式：

(1)E=ax

cos(ωt

-βz)+ay2sin(ωt

-βz)(2)