《電磁場與電磁波》第三版 電子課件008

第8章波導與諧振器8.1矩形波導

8.2圓波導

8.3波導的激勵與耦合

8.4諧振器

習題上一章討論的導波系統(tǒng)都是TEM(或準TEM)傳輸線，事實上還有一類常用的導波系統(tǒng)，它們是由均勻填充介質的金屬波導管組成的，稱為規(guī)則金屬波導。根據(jù)其結構,波導可分為矩形波導(RectangleWaveguide)、圓波導(CircleWaveguide)和脊形波導(RidgeWaveguide)等。由于此時的導波系統(tǒng)中存在縱向場分量，故不能采用上一章等效電路的分析方法，而應采用場分析法。在分析場分布的基礎上，也可以將波導系統(tǒng)等效為傳輸線，進而將兩種傳輸系統(tǒng)的分析統(tǒng)一起來。也就是說，利用等效的概念，第7章講的分析方法，同樣適用于波導系統(tǒng)。本章從場分析出發(fā)對矩形波導的傳輸特性進行分析，對圓波導和脊形波導略作介紹。另外，諧振器是電磁波產(chǎn)生的必要部件，在此也簡要敘述。8.1矩形波導1.矩形波導中的場對于時間因子為ejωt的時諧場，電磁場在波導內滿足無源亥姆霍茲方程(HelmholtzEquation)，即(8-1-1)式中，k2=ω2με。圖8-1矩形波導及其坐標現(xiàn)將電場和磁場分解為橫向分量和縱向分量，即(8-1-2)其中，az為z向單位矢量，t表示橫向坐標，在直角坐標中它代表(x,y)；在圓柱坐標中它代表(ρ,φ)。下面以直角坐標為例討論。將式(8-1-2)代入式(8-1-1)，整理后可得(8-1-3)現(xiàn)以電場為例來討論縱向場應滿足的解的形式。設為二維拉普拉斯算子，則有(8-1-4)利用分離變量法，令

Ez(x,y,z)=Ez(x,y)Z(z)(8-1-5)將其代入式(8-1-3)，并整理得(8-1-6)上式中左邊是橫向坐標(x,y)的函數(shù)，與z無關；而右邊是z

的函數(shù)，與(x,y)無關。顯然，只有二者均為常數(shù)上式才能成立，設該常數(shù)γ2，則有(8-1-7)上式中第二式的形式與傳輸線方程(7-1-5)相同，其通解為

Z(z)=A+e-rz+A-erz(8-1-8)設規(guī)則金屬波導為無限長，故沒有反射波，即A-=0，此時，式(8-1-8)變?yōu)?/p>

Z(z)=A+e-rz(8-1-9)A+為待定常數(shù)。對無耗波導，γ=jβ，β為相移常數(shù)?，F(xiàn)設E0z(x,y)=A+Ez(x,y)，則縱向電場可表達為 Ez(x,y,z)=E0z(x,y)e-jβz(8-1-10a)同理，縱向磁場也可表達為

Hz(x,y,z)=H0z(x,y)e-jβz(8-1-10b)而E0z(x,y)、H0z(x,y)滿足以下方程：(8-1-11)其中，=k2-β2為傳輸系統(tǒng)的本征值。在給定的邊界條件下，應用分離變量法可得式(8-1-11)的解，將其分別代入式(8-1-10a)和(8-1-10b)就可求得縱向電、磁場的表達式。根據(jù)麥克斯韋方程，無源區(qū)電場和磁場應滿足的方程為(8-1-12)將它們用直角坐標展開，并利用式(8-1-10)可得各橫向電、磁場的表達式為(8-1-13)由式(8-1-13)可見，Ez和Hz不能同時為零，否則全部場分量必然全為零，系統(tǒng)將不存在任何場。一般情況下，只要Ez和Hz中有一個不為零即可滿足邊界條件。這時又可分為兩種情形：橫電波(TE波)和橫磁波(TM波).下面分別來討論這兩種情況下場的分布。

1)TE波(TransverseElectricWave)

對TE波，Ez=0，Hz=H0z(x,y)e-jβz≠0，代入式(8-1-11)可得應用分離變量法，令

H0z(x,y)=X(x)Y(y)(8-1-15)代入式(8-1-14)，并除以X(x)Y(y)，得(8-1-14)要使上式成立，上式左邊每項必須均為常數(shù)，設分別為和，則有(8-1-16)于是，H0z(x,y)的通解為

H0z(x,y)=(A1coskxx+A2sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)(8-1-17)其中，A1、A2、B1、B2為待定系數(shù)，由邊界條件確定。Hz應滿足的邊界條件為(8-1-18)于是有(8-1-19)于是矩形波導TE波縱向磁場的基本解為(8-1-20)式中，Hmn為模式振幅常數(shù)，說明既滿足方程又滿足邊界條件的解有很多，我們將一個解稱之為一種傳播模式(PropagationMode)，故Hz(x,y,z)的通解為所有模式之和，即(8-1-21)將式(8-1-21)代入式(8-1-13)得TE波橫向場分量的表達式為(8-1-22)式中，kc=為矩形波導TE波的截止波數(shù)。顯然它與波導尺寸、傳輸波型有關。m和n分別代表TE波沿x方向和y方向分布的半波個數(shù)。一組m、n對應一種TE波，稱做TEmn模，但m和n不能同時為零，否則場分量全部為零，因此矩形波導能夠存在TEm0和TE0n模及TEmn(m,n≠0)模。其中TE10模是最低次模，其余稱為高次模。

2)TM波(TransverseMagneticWave)

對TM波，Hz=0，Ez=E0z(x,y)e-jβz,用與TE波相同的方法可求得TM波的全部場分量：(8-1-23)式中，

TM11模是矩形波導TM波的最低次模，其他均為高次模。總之，矩形波導內存在許多模式的波,TE波是所有TEmn模式場的總和，而TM波是所有TMmn模式場的總和。

1)截止波數(shù)與截止波長在上面推導中，有=k2-β2，其中β為波導中的相移常數(shù)，k=2π/λ為自由空間波數(shù)。顯然,當kc=k時，β=0，此時波不能在波導中傳輸，也稱為截止(Cutoff)，因此kc也稱為截止波數(shù)(CutoffWavenumber)，它僅取決于波導結構尺寸和傳播模式。矩形波導TEmn和TMmn模的截止波數(shù)均為(8-1-24)對應截止波長為(8-1-25)此時，相移常數(shù)為(8-1-26)其中，λ=2π/k為工作波長。可見當工作波長λ小于某個模的截止波長λc時，β2>0，此?？稍诓▽е袀鬏敚史Q為傳導模(PropagationMode)；當工作波長λ大于某個模的截止波長λc時，β2<0，即此模在波導中不能傳輸，稱為截止模(CutoffMode)。一個模能否在波導中傳輸取決于波導結構尺寸和工作頻率(或波長)。對相同的m和n，TEmn和TMmn模具有相同的截止波長，我們將截止波長相同的模式稱為簡并模(DegenerateMode)，它們雖然場分布不同，但具有相同的傳輸特性。圖8-2給出了標準波導BJ-32各模式截止波長分布圖。圖8-2標準波導BJ-32各模式截止波長分布圖

【例8-1】設某矩形波導的尺寸為a=8cm、b=4cm,試求工作頻率在3GHz時該波導能傳輸?shù)哪Ｊ健?/p>

解由f=3GHz得而各模式的截止波長為可見，該波導在工作頻率為3GHz時只能傳輸TE10模。

2)主模TE10

在導行波中截止波長λc最長的導行模稱為該導波系統(tǒng)的主模(PrincipleMode)。如果選擇合適的工作頻率可以實現(xiàn)單模傳輸。矩形波導的主模為TE10模，因為該模式具有場結構簡單、穩(wěn)定、頻帶寬和損耗小等特點，所以工程上幾乎毫無例外地工作在TE10模式。下面我們著重來討論TE10模式的場分布及其工作特性。

(1)TE10模的場分布。將m=1,n=0和kc=π/a代入式(8-1-22)，并考慮時間因子ejωt，可得TE10模各場分量表達式：(8-1-27)而相移常數(shù)為(8-1-28)

(2)波導波長、相速與群速。TE10模的波導波長、相速vp和群速vg分別為式中，c為自由空間光速，可見，TE10是色散波。(8-1-29)(8-1-30)(8-1-31)

(3)波阻抗。波導是非TEM模傳輸線，因此很難唯一地確定其上的電壓和電流。然而此時對電磁波能量傳輸有貢獻的只是橫向磁場和橫向電場。通常將橫向電場Ey和橫向磁場Hx的比值規(guī)定為波阻抗。對于TE10有(8-1-32)式中，有了波阻抗，就可以將波導等效為均勻傳輸線，用式(7-1-21)計算任意點處的輸入阻抗。計算時,波長應該用波導波長λg。同時也可以用傳輸線理論來分析波導的行波、駐波等特性?！纠?-2】矩形波導的截面尺寸為a×b=72mm×30mm，波導內充滿空氣，信號源頻率為3GHz，試求：①波導中可以傳播的模式。②該模式的截止波長λc、相移常數(shù)β、波導波長λg、相速vp、群速和波阻抗。③若該波導終端接有歸一化導納為0.7-j0.1的負載，試求其駐波比和第一個波節(jié)點離負載的距離。

解①由信號源頻率可求得其波長為矩形波導中，TE10、TE20的截止波長為可見，波導中只能傳輸TE10模。②TE10的截止波長為λc=2a=14.4cm截止波數(shù)為自由空間的波數(shù)為因此，相移常數(shù)為此時，相速和群速分別為波導波長為波阻抗為③由負載歸一化導納為0.7-j0.1，可得終端反射系數(shù)為駐波比為第一個波節(jié)點離負載的距離為可見，在定義了波阻抗后也可用前述分析傳輸線的方法分析波導的傳輸、匹配特性。

(4)功率容量。沿傳播方向的平均功率密度就是坡印廷矢量(PoyntingVector)的z方向分量。對矩形波導有可得矩形波導TE10模的傳輸功率為(8-1-33)(8-1-34)其中，E10=是Ey分量在波導寬邊中心處的振幅值。由此可得波導傳輸TE10模時的功率容量為(8-1-35)其中，Ebr為擊穿電場幅值。因空氣的擊穿場強為30kV/cm，故空氣矩形波導的功率容量為可見，波導尺寸越大，頻率越高，則功率容量越大。而當負載不匹配時，由于形成駐波，電場振幅變大，功率容量會變小，因此不匹配時的功率容量和匹配時的功率容量Pbr的關系為(8-1-36)(8-1-37)其中，ρ為駐波系數(shù)。當允許的傳輸功率不能滿足要求時，可采用下述措施：①在不出現(xiàn)高次模的條件下適當加大b；②密閉波導并充壓縮空氣或惰性氣體，以提高介質的擊穿強度；③保持波導內壁清潔和干燥；④提高行波系數(shù)，減小反射。

(5)損耗。當電磁波沿傳輸方向傳播時，波導金屬壁的熱損耗和波導內填充介質的損耗必然會引起能量或功率的遞減。對于空氣波導，由于空氣介質損耗很小，可以忽略不計，而導體損耗是不可忽略的。設導行波沿z方向傳輸時的衰減常數(shù)為α，則沿z向電場、磁場按e-αz規(guī)律變化，所以傳輸功率按以下規(guī)律變化:P=P0e-2αz(8-1-38)單位長波導內傳輸功率的減少等于單位長功率損耗PL，所以有(8-1-39)于是衰減常數(shù)α可按下式計算：(8-1-40)在計算損耗功率時，因不同的導行模有不同的電流分布，損耗也不同，根據(jù)上述分析，可推得矩形波導TE10模的衰減常數(shù)公式：(8-1-41)式中,RS=為導體表面電阻。它取決于導體的磁導率μ、電導率σ和工作頻率f。由此可以看出，增大波導高度b能使衰減變小，但當b>a/2時單模工作頻帶變窄，故衰減與頻帶應綜合考慮。

3.矩形波導尺寸的選擇原則

選擇矩形波導尺寸時，應考慮以下幾個方面的因素：

(1)波導的帶寬問題：保證在給定頻率范圍內的電磁波在波導中都能以單一的TE10模傳播，其他高次模都應截止。為此應滿足：(8-1-42)將TE10模、TE20模和TE01模的截止波長代入上式得或寫作即取b<a/2。

(2)波導的功率容量問題：在傳播所要求的功率時，波導不至于發(fā)生擊穿。由式(8-1-36)可知，適當增加b可增加功率容量，故b應盡可能大一些。

(3)波導的衰減問題：通過波導后的信號功率不要損失太大。由式(8-1-41)知，增大b也可使衰減變小，故b應盡可能大一些。綜合上述因素，矩形波導的尺寸一般選為(8-1-43)通常將b=a/2的波導稱為標準波導。為了提高功率容量，通常選b>a/2的波導,這種波導稱為高波導；為了減小體積，減輕重量，有時也選b<a/2的波導，這種波導稱為扁波導。附錄3給出了標準矩形波導參數(shù)和型號對照表。

4．脊形波導脊形波導是矩形波導的變形，它可分為單脊形和雙脊形波導兩種，其結構圖如圖8-3所示?？梢杂脠龇治龇ǚ治銎鋫鬏斕匦?，但比較復雜，在此從略。這里僅給出其主要特點。脊形波導有以下特點:(1)與矩形波導相比，能在更寬的頻率范圍內工作于TE10波；

(2)具有相同尺寸a的脊形波導，其截止頻率要比普通的矩形波導低得多；

(3)高次模的截止頻率又比矩形波導高；

(4)其衰減比矩形波導大，功率容量比矩形波導小。正是由于脊形波導的寬頻帶特性，使其在信號變換等方面有較多的應用。圖8-3單脊形波導與雙脊形波導的結構圖8.2圓波導規(guī)則金屬波導除了上面介紹的矩形波導外，常用的還有圓波導，下面來討論這種波導的主要特性。若將同軸線的內導體抽走，則在一定條件下，由外導體所包圍的圓形空間也能傳輸電磁能量，這就是圓形波導，簡稱圓波導，如圖8-4所示。圓波導具有加工方便、雙極化、低損耗等優(yōu)點，較為廣泛地應用于遠距離通信、雙極化饋線以及微波圓形諧振器等。與矩形波導一樣，圓波導也只能傳輸TE和TM波型。設圓形波導外導體內徑為a，并建立如圖8-4所示圓柱坐標。圖8-4圓波導及其坐標系

1.TE波對于TE波，Ez=0，Hz=H0z(ρ,φ)e-jβz≠0,利用分離變量法，可求得H0z(ρ,φ)的通解為(8-2-1)其中，Jm(x)為m階貝塞爾函數(shù)。上面的表示形式是考慮到圓波導的軸對稱性，因此場的極化方向具有不確定性，使導行波的場分布在φ方向存在cosmφ和sinmφ兩種可能的分布，它們獨立存在，相互正交，截止波長相同，構成同一導行模的極化簡并模。由邊界條件：，由式(6-2-1)得Jm′(kca)=0。設m階貝塞爾函數(shù)的一階導數(shù)Jm′(x)的第n個根為μmn，則有(8-2-2)于是圓波導TE?？v向磁場Hz基本解為(8-2-3)其中，m=0,1,2,…;n=1,2,…。令模式振幅Hmn=A1B，則Hz(ρ,φ,z)的通解為(8-2-4)可見，圓波導中同樣存在著無窮多種TE模，不同的m和n代表不同的模式，記作TEmn。其中，m表示場沿圓周分布的整波數(shù)，n表示場沿半徑分布的最大值個數(shù)。此時波阻抗為(8-2-5)其中，

2.TM波采用與分析TE波相同的分析方法，可求得TM波縱向電場Ez(ρ,φ,z)通解為(8-2-6)其中，vmn是m階貝塞爾函數(shù)Jm(x)的第n個根且kcTMmn=vmn/a?？梢?，圓波導中存在著無窮多種TM模，波型指數(shù)m和n的意義與TE模的相同。此時TM模的波阻抗為(8-2-7)其中，相移常數(shù)

3.圓波導的傳輸特性與矩形波導不同，圓波導的TE波和TM波的傳輸特性各不相同。

1)截止波長由前面分析可知，圓波導TEmn模、TMmn模的截止波數(shù)分別為(8-2-8)式中，vmn和μmn分別為m階貝塞爾函數(shù)及其一階導數(shù)的第n個根。幾個典型模式的圓波導的截止波長如表8-1所示。圖8-5給出了圓波導中各模式截止波長的分布圖。圓波導中TE11模的截止波長最長，是圓波導中的最低次模，也是主模。它的場結構分布圖如圖8-6所示。由圖可見，圓波導中TE11模的場分布與矩形波導的TE10模的場分布很相似，因此工程上，通過將矩形波導的橫截面逐漸過渡變?yōu)閳A波導，如圖8-7所示，從而構成方圓波導變換器。表8-1圓波導的截止波長表圖8-5圓波導中各模式截止波長的分布圖圖8-6圓波導TE11模的場結構分布圖圖8-7方圓波導變換器

2)簡并模我們將截止波長相同而場分布不同的一對模式稱為簡并模式。在圓波導中有兩種簡并模，它們是E-H簡并和極化簡并。(1)E-H簡并。由于貝塞爾函數(shù)具有J0′(x)=－J1(x)的性質，因此一階貝塞爾函數(shù)的根和零階貝塞爾函數(shù)導數(shù)的根相等，即μ0n=v1n，故有，從而形成了TE0n模和TM1n模的簡并，這種簡并稱為E-H簡并。

(2)極化簡并。圓波導是圓對稱結構。對于m≠0的任意非圓對稱模式，由于場沿φ方向存在sinmφ和cosmφ兩種場分布，兩者的截止波數(shù)相同、傳播特性相同，但極化面互相垂直，稱之為極化簡并(PolarizationDegenerate)。顯然，在圓波導中除TE0n和TM0n外的所有模式均存在極化簡并。圓波導的主模TE11的極化是不穩(wěn)定的。在傳播過程中,圓波導中細微不均勻就可能引起波的極化旋轉，相當于出現(xiàn)了新的簡并模式，因為旋轉后的TE11模，可分解為極化面互相垂直的兩個模，從而導致不能單模傳輸。但也可用此極化簡并現(xiàn)象，制成極化分離器、極化衰減器等。

1.電激勵將同軸線內的導體延伸一小段沿電場方向插入矩形波導內構成探針激勵，由于這種激勵類似于電偶極子的輻射，故稱電激勵。在探針附近，由于電場強度會有Ez分量，電磁場分布與TE10模有所不同，而必然有高次模被激發(fā)。但當波導尺寸只容許主模傳輸時，激勵起的高次模隨著遠離探針位置很快就會衰減，因此高次模不會在波導內傳播。為了提高功率耦合效率，在探針處兩邊，波導與同軸線的阻抗應匹配，為此往往在波導一端接上一個短路活塞，如圖8-8(a)所示。調節(jié)探針插入深度h和短路活塞位置l，可以使同軸線耦合到波導中去的功率達到最大。顯然，短路活塞的作用是提供一個可調電抗以抵消與高次模相對應的探針電抗。8.3波導的激勵與耦合

2.磁激勵將同軸線的內導體延伸一小段后彎成環(huán)形，將其端部焊在外導體上，然后插入波導中所需激勵模式的磁場最強處，并使小環(huán)法線平行于磁力線，如圖8-8(b)所示。由于這種激勵類似于磁偶極子輻射，故稱為磁激勵。同樣，也可連接一短路活塞以提高耦合功率。但由于耦合環(huán)不容易和波導緊耦合，而且匹配困難，頻帶較窄，最大耦合功率也比探針激勵小，故在實際中常用探針激勵。圖8-8電激勵與磁激勵示意圖

3.電流激勵除了上述兩種激勵之外，在波導之間的激勵往往采用小孔或縫激勵，即在兩個波導的公共壁上開孔或縫，使一部分能量輻射到另一波導去，以此建立所要的傳輸模式。由于波導開口處的輻射類似于電流元的輻射故稱為電流激勵。小孔耦合最典型的應用是定向耦合器。它在主波導和耦合波導的公共壁上開小孔以實現(xiàn)主波導向耦合波導傳送能量，如圖8-9所示。另外小孔或縫的激勵方法還可用波導與諧振腔之間的耦合、兩條微帶之間的耦合等。圖8-9波導的小孔耦合8.4諧振器8.4.1微波諧振器的演化過程及其基本參量低頻電路中的LC回路是由平行板電容C和電感L并聯(lián)構成的，如圖8-11(a)所示，它的諧振頻率為(8-4-1)當要求提高諧振頻率時，必須減小L和C。減小電容的措施是增大平行板距離，減小電感的措施是減少電感線圈的匝數(shù)，直到僅有一匝如圖8-11(b)所示；再進一步提高頻率的方法是，將多個單匝線圈并聯(lián)以減小電感L，如圖8-11(c)所示；進一步增加電感數(shù)目，以致相連成片，形成一個封閉的中間凹進去的導體空腔如圖8-11(d)所示，這就成了重入式空腔諧振器；繼續(xù)把構成電容的兩極拉開，則諧振頻率進一步提高，這樣就形成了一個圓盒子和方盒子，如圖8-11(e)所示，這是微波空腔諧振器的常用形式。雖然它們與最初的諧振電路相比已經(jīng)面目全非了，但兩者之間的作用完全一樣，只是適用的頻率不同而已。對于諧振腔而言，已經(jīng)無法分出哪里是電感、哪里是電容，腔體內充滿電磁場，因此只能用場的方法進行分析。圖8-11各種傳輸線型諧振器圖8-11微波諧振器的演化過程集總參數(shù)諧振回路的基本參量是電感L、電容C和電阻R，由此可導出諧振頻率、品質因數(shù)和諧振阻抗或導納。但是在微波諧振器中，集總參數(shù)L、R、C已失去具體意義，所以通常將諧振器頻率f0、品質因數(shù)Q0和等效電導G0作為微波諧振器的三個基本參量。1.諧振頻率

f０諧振頻率f0是微波諧振器最主要的參數(shù)。對于金屬空腔諧振器，可以看做一段金屬波導兩端短路，因此腔中的波不僅在橫向呈駐波分布，而且沿縱向也呈駐波分布。為了滿足金屬波導兩端短路的邊界條件，腔體的長度l和波導波長λg應滿足：(8-4-2)于是有(8-4-3)而得(8-4-4)于是諧振頻率：(8-4-5)由上式可見，諧振頻率由振蕩模式、腔體尺寸以及腔中填充介質(μ,ε)所確定，而且在諧振器尺寸一定的情況下，與振蕩模式相對應有無窮多個諧振頻率。

2.品質因數(shù)Q0

品質因數(shù)Ｑ0是表征諧振器頻率選擇性的重要參量，它的定義為(8-4-6)式中，W為諧振器中的儲能，WT為一個周期內諧振器損耗的能量，Pl為諧振器的損耗功率。諧振器的儲能為(8-4-7)諧振器的平均損耗主要由導體損耗引起，設導體表面電阻為RS，則有(8-4-8)式中，Ht為導體內壁的切向磁場,而JS=n×Ht，n為法向矢量。于是有(8-4-9)式中，δ為導體內壁的趨膚深度。因此只要求得諧振器的內場分布，即可求得品質因數(shù)Q0。為粗略估計諧振器內的Q0值，近似認為|H|=|Ht|，這樣式(8-4-9)可近似為(8-4-10)式中,S、V分別表示諧振器的內表面積和體積。可見，品質因數(shù)Q0∝V/S，應選擇諧振器的形狀使其V/S大；諧振器的線尺寸與工作波長成正比，即V∝，S∝，故有Q0∝λ0/δ，由于δ僅為幾微米，因此對厘米波段，Q0的值將在104～105量級。上述討論品質因數(shù)Q0時，未考慮外接激勵與耦合的情況，因此稱之為無載品質因數(shù)或固有品質因數(shù)。

3.等效電導G0

等效電導G0是表征諧振器功率損耗特性的參量。在諧振器某等效參考面的邊界上取兩點c、d，并已知諧振器的內場分布，則等效電導G0可表示為(8-4-11)可見，等效電導G0具有多值性，與所選擇的點c和d有關。實際上以上討論的三個基本參量的計算公式都是對一定的振蕩模式而言的，振蕩模式不同則所得參量的數(shù)值也不同。因此上述公式僅適用于少數(shù)形狀規(guī)則的諧振器。對復雜的諧振器，只能用等效電路的概念，通過測量來確定λ0、Q0和G0。8.4.2矩形空腔諧振器矩形空腔諧振器是由一段長為l、兩端短路的矩形波導組成的,如圖8-12所示。與矩形波導類似，它也存在兩類振蕩模式,即TE和TM模式。其中主模為TE101模，其場分量表達式為(8-4-12)圖8-12矩形諧振器及其坐標1.諧振頻率f0

對TE101模，λc=2a，由式(8-4-5)得(8-4-13)式中，c為自由空間光速，對應諧振波長為(8-4-14)

2.品質因數(shù)Q0

由TE101模的場表達式可得(8-4-15)而ZTE=kη/β，β=β10=，將其代入上式并整理得(8-4-16)于是品質因數(shù)Q0為(8-4-18)導體損耗功率為(8-4-17)8.4.3微帶諧振器微帶諧振器的形式很多，主要有傳輸線型諧振器,如微帶線節(jié)型諧振器和非傳輸線型諧振器,如圓形、環(huán)形、橢圓形諧振器，這四種微帶諧振器分別如圖8-13(a)、(b)、(c)、(d)所示。下面我們對線節(jié)型諧振器作一簡單分析。設微帶線工作在準TEM模式，對于一段長為l的微帶線，終端開路時，由傳輸線理論，可得其輸入阻抗為

Zin=－jZ0

cotβl

(8-4-19)式中，β=2π/λg，λg為微帶線的帶內波長。圖8-13各種微帶諧振器根據(jù)串聯(lián)諧振條件Zin=0，于是有(8-4-20)式中，λg0為帶內諧振波長。根據(jù)串聯(lián)諧振條件Zin=0，于是有(8-4-21)可見，長度為λg0/2整數(shù)倍的兩端開路的微帶線構成了λg0/2微帶諧振器；長度為λg0/4奇數(shù)倍的一端開路一端短路的微帶線構成了λg0/4微帶諧振器。實際上，微帶諧振器短路比開路難實現(xiàn)，所以一般采用終端開路型微帶諧振器。但終端導帶斷開處的微帶線不是理想的開路，因而計算得到的諧振長度要比實際的長度長，一般有(8-4-22)其中,l1為實際導帶長度，Δl為縮短長度。微帶諧振器的損耗主要有導體損耗、介質損耗和輻射損耗，于是總的品質因數(shù)Q0為式中，Qc、Qd、Qr分別是導體損耗、介質損耗和輻射損耗引起的品質因數(shù)，Qc和Qd可按下式計算：(8-4-23)式中,