中世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)1中世紀(jì)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介,數(shù)學(xué)史,中世紀(jì)數(shù)學(xué),教案,設(shè)計(jì),講義,ppt

第6節(jié)中世紀(jì)中國(guó)的數(shù)學(xué)（2）

（宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)）

主講：康世剛天水師范學(xué)院數(shù)理與信息科學(xué)學(xué)院宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)社會(huì)背景：宋元時(shí)代(960～1368)，手工業(yè)如冶煉、紡織、陶瓷等都已初具規(guī)模，土木工程和水利工程達(dá)到了較高的水平，商業(yè)和外貿(mào)比較興旺，科學(xué)技術(shù)也很繁榮．古代四大發(fā)明中有三項(xiàng)——火藥、指南針和活字印刷術(shù)誕生于這一時(shí)期．生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)提出了新的課題和更高的要求數(shù)學(xué)內(nèi)部：從漢到唐，方程理論有了相當(dāng)大的發(fā)展．二次方程解法早已被人們掌握，唐代又解決了三次方程問(wèn)題．下面自然要考慮四次及更高次方程的解法．所以，增乘開(kāi)方法乃至高次方程數(shù)值解法在宋代的出現(xiàn)是順理成章的．但以前建立方程多用幾何方法，而高于三次的方程是難于找到幾何解釋的．突破幾何思維的束縛，尋找一般的建立方程的方法，就成為大勢(shì)所趨了．天元術(shù)便是在這種情況下產(chǎn)生的，它是一種簡(jiǎn)便的、可以建立任意次方程的一般方法．這時(shí)，由于線性方程組古已有之，便產(chǎn)生了一種把兩者結(jié)合起來(lái)，建立高次方程組的趨勢(shì)，于是迅速產(chǎn)生了二元術(shù)、三元術(shù)和四元術(shù)．正如阮元(1764---1849)所說(shuō)：“四元者，是又寓方程(指線性方程組)于天元一術(shù)焉者也．”北宋的數(shù)學(xué)教育據(jù)史料記載，北宋算學(xué)制度始于元豐七年(1084)，同時(shí)刊刻《算經(jīng)十書》，以作教材．雖由于理學(xué)家李等人的反對(duì)，有過(guò)反復(fù)，但終于在崇寧三年(1104)“將元豐算學(xué)條制，修成敕令”，并于當(dāng)年建起算學(xué)館，“生員以二百一十人為額，許命官及庶人為之．”從此以后，這種官方數(shù)學(xué)教育一直延續(xù)到北宋朝廷南渡，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的普及發(fā)揮了重要作用，而這種普及正是提高的基礎(chǔ)．同時(shí)，民間的數(shù)學(xué)教育也對(duì)培養(yǎng)人才發(fā)揮了一定作用。秦九韶生平及數(shù)學(xué)成就秦九韶(1202～1261)，字道古，自稱魯郡人，實(shí)際生于四川．青少年時(shí)代，因?yàn)楦赣H任南宋臨安府(今杭州)的秘書少監(jiān)，他隨父同行，有機(jī)會(huì)去掌管天文歷法的太史局去學(xué)習(xí)天文和數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)在數(shù)學(xué)上又得到“隱君子”的指點(diǎn)和教誨．后來(lái)，他曾在四川、湖北、安徽、建康(南京)等地為官．其間，他仍堅(jiān)持潛心鉆研數(shù)學(xué)．他總結(jié)了自己長(zhǎng)期研究所積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和創(chuàng)造性的成果，于1247年寫成了傳世名著《數(shù)書九章》時(shí)人稱贊秦九韶“性極機(jī)巧，星象、音律、算術(shù)以及營(yíng)造等事無(wú)不精究．”．?dāng)?shù)學(xué)成就《數(shù)書九章》共18卷約20萬(wàn)字．書中搜集了與當(dāng)時(shí)社會(huì)生活密切相關(guān)的81個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，按性質(zhì)分為9類，每類9題．這9類是：大衍、天時(shí)、田域、測(cè)望、賦役、錢谷、營(yíng)建、軍旅和市易價(jià)值：《數(shù)書九章》繼承了《九章算術(shù)》的體例，采用應(yīng)用題集的形式，但其中問(wèn)題的復(fù)雜程度和解題水平均高于以往的著作，它代表了當(dāng)時(shí)中國(guó)乃至世界中世紀(jì)數(shù)學(xué)的最高成就．美國(guó)哈佛大學(xué)科學(xué)史家薩頓(Sarton)曾作出極高的評(píng)價(jià)：“秦九韶是他那個(gè)民族、他那個(gè)時(shí)代、并且確實(shí)也是所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一．．大衍求一術(shù)

大衍術(shù)又稱大衍法，實(shí)際是一套求解一次同余式組的完整程序．秦九韶很重視自己的這項(xiàng)發(fā)明，強(qiáng)調(diào)說(shuō)：“獨(dú)大衍法不載九章，未有能推之者．”，“求一”，就是求到余數(shù)為1的意思．設(shè)P1，P2，…，Pn互素，M＝P1·P2·…·Pn，則同余式組N≡ri(modPi)(i＝1，2，…，n)的解為3．求奇數(shù)Gi，“諸衍數(shù)，各滿定母，去之．不滿曰奇”．即用Pi

6．求率數(shù)N，秦九韶說(shuō)：“滿衍母去之，不滿為所求率數(shù)．”即比較∑與M的大小，若∑＜M，取∑為N；若∑＞M，則從∑中依次減去M，直到所得正數(shù)不滿M為止，即

N＝∑－AM．

當(dāng)然，N也可看作∑除以M所得余數(shù)．如果同余式組的模數(shù)非兩兩互素，秦九韶便用他創(chuàng)立的方法化其為兩兩互素

影響在西方，直到18世紀(jì)，瑞士的歐拉和法國(guó)的拉格朗日才對(duì)同余式問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)的研究．德國(guó)的高斯于1801年在《算術(shù)探究》一書中提出了解決這類問(wèn)題的方法——剩余定理，并給出了嚴(yán)格的證明．1852年，英國(guó)傳教士偉烈亞力把“物不知其數(shù)”問(wèn)題及解法傳到歐洲，并介紹了秦九韶的大衍求一術(shù)．1876年德國(guó)數(shù)學(xué)史家馬蒂生(L．Matthiessen)指出孫子定理及大衍求一術(shù)與高斯的理論一致．當(dāng)時(shí)德國(guó)的著名數(shù)學(xué)家M．康托爾(M．B．Cantor)高度評(píng)價(jià)了大衍求一術(shù)，并稱秦九韶是“最幸運(yùn)的天才”．此后，孫子定理就被西方人稱為“中國(guó)剩余定理．”三斜求積公式

《數(shù)書九章》卷五第2題題意是：已知三角形地塊的三邊長(zhǎng)分別為13步、14步、15步，求它的面積．把秦九韶的解法用現(xiàn)代的符號(hào)表示，就是：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則面積其它數(shù)學(xué)成就在高次方程的解法方面，秦九韶總結(jié)改進(jìn)了北宋數(shù)學(xué)家劉益和賈憲的解法，創(chuàng)立了正負(fù)開(kāi)方術(shù)，即求高次方程正根的一般方法，并且給出了求方程近似根的方法，這與英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納(W．Horner)1819年創(chuàng)立的霍納法基本上一致．此外，秦九韶改進(jìn)了《九章算術(shù)》中解方程組的“直除法”，提出了“互乘相消法”與“代入消元法”，這與現(xiàn)今解方程組的方法完全相同．秦九韶的這兩項(xiàng)成就在世界上都處于領(lǐng)先地位．楊輝及數(shù)學(xué)成就楊輝，字謙光，南宋末(13世紀(jì))錢塘(杭州)人，生平不詳．楊輝一生著述甚豐，計(jì)有五種21卷，它們是：《詳解九章算法》12卷(1261)、《日用算術(shù)》2卷(1262)、《乘除通變本末》3卷(1274)、《田畝比類乘除捷法》2卷(1275)、《續(xù)古摘奇算法》2卷(1275)．楊輝的著作有兩個(gè)主要特點(diǎn)．其一是深入淺出，文筆流暢，圖文并茂，便于教學(xué)和民間流傳；其二是廣泛征引了前代數(shù)學(xué)典籍精華，以致一些數(shù)學(xué)家的原著雖已失傳，但其主要內(nèi)容通過(guò)楊輝的書得以保存下來(lái)．楊輝最重要的著作是《詳解九章算法》．為了使《九章算術(shù)》便于自學(xué)，楊輝對(duì)該書的246個(gè)問(wèn)題中較難的80題作了詳解，并增添了“圖解、乘除算法和纂類”三卷．“詳解”包括三個(gè)方面：一是“解題”，即解釋題意、名詞術(shù)語(yǔ)，?？蔽淖郑?duì)題目作出評(píng)注；二是“細(xì)草”，即詳細(xì)的解題過(guò)程及必要的圖示；三是“比類”，即增選與原題算法相同或類似的例題進(jìn)行對(duì)照分析．“纂類”是把《九章算術(shù)》中的全部問(wèn)題按解題方法由淺入深的順序重新整理分類．(a+b)0=1(a+b)1＝a＋b(a＋b)2=a2+2ab+b2(a＋b)3=a3+3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b＋10a3b2＋10a2b3+5ab4＋b5(a＋b)6=a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6楊輝三角縱橫圖是按一定規(guī)律排列的數(shù)表，也稱幻方

數(shù)學(xué)教育在《乘除通變本末》中，楊輝總結(jié)了自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)．他首先給出一份相當(dāng)完整的教學(xué)計(jì)劃——“習(xí)算綱目”(卷上《算法通變本末》)，包括各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)方法、時(shí)間及參考書．他主張循序漸進(jìn)，精講多練，特別強(qiáng)調(diào)要明算理，要“討論用法之源”．例如，他講減法時(shí)不只講算法，而且指明：“加法乃生數(shù)也，減法乃去其數(shù)也，有加則有減．凡學(xué)減，必以加法題答考之，庶知其源．”針對(duì)教師和學(xué)生兩種不同的對(duì)象，楊輝又提出“法將提問(wèn)”和“隨題用法”兩條不同原則．教師講授應(yīng)“法