太原理工大學大地測量學基礎-第六章課件

第六章高斯投影及其計算測量工作的主要工作量是測圖和工程測量（含礦山測量），大地坐標、空間直角坐標雖有一個地球一個坐標系的方便之處，但在工程與測圖應用中卻有不方便、不直觀、不適合人類直觀的視覺效果等不足，因而需有另一類坐標系---平面坐標系測量中常用的平面直角系有高斯投影（簇）平面直角坐標系、蘭勃脫投影平面坐標系等，本章主要講授內容投影的意義Significanceofprojection投影方程Equationofprojection投影變形Deformationofprojection地圖投影的分類Classificationofprojection6-1地圖投影概念及正形投影一、投影的意義由人類視覺感受可知,繪制于平面上的圖更便于理解和應用；大地坐標基于曲面，不能直接用來進行平面測圖;空間直角坐標既不能用來平面測圖，甚至連直觀的高程參數也沒有。從計算的復雜性考慮,橢球面上的計算比平面上要復雜的多,平面上的計算簡單且明了;二、投影方程投影方程是建立橢球面上的點與平面上的點一一對應關系的數學表達式

式中：L，B——橢球面上某點的大地坐標

x，y——是該點投影投影面：是可以展成為平面的曲面，如橢圓(或圓)柱面，圓錐面以及平面等投影方程的意義：表達了橢球面上一點同投影面上相應點坐標之間的解析關系，投影方程中的函數F1和F2稱投影函數。三、地圖投影變形（從變形產生的長度比開始）1．長度比定義定義：指投影前后線段長度的比值稱長度比（Lengthratio）長度比性質：一點上的長度比，不僅隨點的位置變化，而且隨線段的方向而發(fā)生變化。不同點上的線段長度比不同同一點上不同方向的長度比也不相同2．投影變形的分類投影變形定義：當橢球面（一個不可展平的曲面）上的元素（如一段距離、一個方向、一個角度、一個圖形等）投影到平面上后，與其原距離、方向、角度及圖形比必產生差異，這個差異稱投影變形。投影變形分類（有四種情況）1.長度變形：長度比與1之差，r可能為正、負或零。2.方向變形：投影前后方向差稱方向變形，3.角度變形：投影前的角度與投影后對應角度之差稱為角度變形,用u表示。4.面積變形：原面上單位圓的面積為，投影后變形橢圓的面積為，則投影的面積比：面積變形為：P-1

變形分析結論：各種研究表明，地圖投影必然產生變形，即變形是不可避免的，但可根據需要來掌握和控制它，達到使某種變形為零，而其他變形最小。3.投影分類按投影面來分，有圓錐投影、圓柱投影、平面投影等按變形性質來分，則有等角（投影前后角度保持不變）、等面積（投影前后面積保持不變）、任意投影等按創(chuàng)立者姓名命名，如蘭勃特、墨卡托、高斯投影等地圖投影之圓柱（或橢圓柱）投影投影方法：取圓柱(或橢圓柱)與橢球赤道相切，將赤道附近區(qū)域投影到圓柱面(或橢圓柱面)上，然后將圓柱或橢圓柱展開成平面。投影后，緯線投影為一組平行線，且對稱于赤道；經線是與緯線垂直的另一組平行線。設中央經線投影為x軸，赤道投影為y軸可形成平面直角坐標系。圓柱（或橢圓柱，或圓錐）投影按投影面和原面的相對位置關系可分類如下：正軸投影：即圓錐軸或圓柱軸與地球自轉軸相重合時的投影，此時稱正軸圓錐投影或正軸圓柱投影斜（側）軸投影：即投影面與原面相切于除極點和赤道以外的某一位置所得的投影橫軸投影：投影面的軸線與地球自轉軸相垂直，且與某一條經線相切所得的投影。比如橫軸橢圓柱投影等。切or割投影為調整變形分布，投影面還可以與地球橢球相切或相割，相割時會有兩條標準線，形成割圓柱（或橢圓柱，或圓錐）投影。我國大地測量中，采用橫軸橢圓柱面等角切投影，即所謂的高斯投影。地圖投影之圓錐投影簡介投影方法：取一圓錐面與橢球某條緯線相切或相割，將緯圈附近的區(qū)域投影于圓錐面上，再將圓錐面沿某條經線剪開成平面。投影后：緯線投影成同心圓，經線是這些圓的半徑，且經線交角與經差成比例方位（平面）投影方法：取一平面與橢球極點相切，將極點附近區(qū)域投影在該平面上。緯線投影后為以極點為圓心的同心圓；經線則為它的向徑，且經線交角不變；地圖投影之方位投影簡介四、橢球面到平面的正形投影(OrthomorphicMapProjection)1.正形投影的特點正形投影條件：長度比與方向無關在投影點上，各方向微分線段的長度比不隨方向而變化，即該點上長度比保持一常數；或者說在該點上，任何兩條微分線段的交角，等于橢球面上相應的角度，也就是說角度沒有變形。正形投影時，橢球面上的角度可不加改正變?yōu)槠矫娼嵌韧队扒埃瑱E球面上的微分弧長投影后，正形投影面上該微分弧長長度比2.正形投影條件—數學條件1)等量坐標概念引入在分帶投影中，點的經度可用等量經度，分析圖中幾何關系可知：為簡化公式，可引入等量緯度(紅圈中部分為其微分量)，即

長度比公式變成2)正形投影條件的公式推導(長度比m與方向無關，從長度比關系式推導投影條件公式)長度比關系式建立：考慮等坐標，下列等價關系成立被稱做等量坐標上兩式完全等價，對等量坐標表達式全微分將上微分結果代入下式并令

式（1）引入長度比與方位角無關的基本條件式（2）由圖示，并顧及有下列關系式存在有下式存在即有關系式：代入式（2）正形投影條件為：長度比與方向無關，即：F=0,E=G

代入式（1）顧及式（1）中各式得：求解式（3）、式（4），舍去不合理結果，可得得正形投影由橢球面至平面投影的柯西-黎曼條件：柯西-黎曼條件是正形投影必須遵循的基本公式柯西-黎曼條件是正形投影的充分必要條件，同理可得平面正投影到橢球上的柯西-黎曼條件在滿足F＝0，E＝G條件下，長度比公式化簡為3.柯西—黎曼條件的幾何意義

橢球面向平面投影隨緯度的增加y減小L=常數B=常數正形投影幾何意義之子午線收斂角點A為橢球面上點在平面上的投影，是L＝常數的子午微分弧段是B＝常數的平行圈微分弧段在平面上的投影

是子午線收斂角，它是直角坐標縱線(x＝常數)及橫線(y＝常數)分別與子午線和平行圈投影間的夾角，從坐標線按反時針量取。

與相似，故有關系式圖中各線段長度因正形投影的長度比m與方向無關，故有

由投影方程：可得下列全微分方程式（1）式中負號意義在于：緯度增加y坐標減小

由以上關系式，也可得到柯西—黎曼條件：等價于將式(2)稍作變化,還可得可得子午線收斂角計算公式及長度比公式6-2高斯投影與國家平面直角坐標系一、高斯投影概念1.高斯—克呂格投影的產生卡爾·弗里德里赫·高斯(1777-1855)，德國數學家、物理學家1820～1830年間，高斯對德國漢諾威三角測量成果進行數據處理時，采用了他本人研究的將一條中央子午線長度投影規(guī)定為固定比例尺度的橢球正形投影，但當時沒有發(fā)表和公布；1866年史賴伯（德）出版的名著《漢諾威大地測量投影方法的理論》首先對高斯投影的有關理論進行了整理和加工，從而使高斯投影的理論得以公布于世；1912年德國測量學家克呂格在他出版的名著《地球橢球向平面的投影》補充和深入闡述了高斯投影理論，從此，人們將這種投影稱之為高斯—克呂格投影。1919年德國學者巴烏蓋爾建議采用3°帶投影，并把坐標縱軸西移500km，在縱坐標前冠以帶號，從完全而形成了現在的高斯投影體系。高斯投影是等角圓柱投影（墨卡托投影，1569）中的一種我國于1952年起正式采用高斯－克呂格投影2.高斯投影的幾何概念（ConceptofGauss-KrugerProjection

）墨卡托投影橫軸墨卡托投影關于墨卡托投影墨卡托投影作為海圖制圖的數學基礎已被世界各國使用了近400年。墨卡托投影仍是當代較大比例尺分幅海圖或赤道附近的航空圖的主要投影方式。墨卡托投影中，緯線投影為平行直線，經線投影為與緯線垂直而且間隔相等的平行直線，兩經線間的距離與相應的經差成正比墨卡托投影之高斯投影及其幾何概念－等角橫切橢圓柱投影NSc中央子午線高斯投影平面赤道中央子午線高斯投影平面中央子午線赤道高斯投影含義高斯投影的條件1）正形條件；2）中央子午線投影為一直線；3）中央子午線投影后長度不變。高斯投影平面赤道中央子午線附：通用橫軸墨卡托投影－等角橫割橢圓柱投影

UniversalTransverseMercator(UTM)

美國軍事測繪局1938年提出，美、德等60多個國家使用，因各國采用的地球橢球體的不同而存在差異，它的投影條件為：1）正形條件；2）中央子午線投影為一直線；3）中央子午線投影后長度比等于0.9996。（1）選擇0.9996長度比可使6°帶的中央經線與邊緣經線的長度變形的絕對值大致相等；（2）兩條無長度變形的線為割線，其位置距中央經線以東以西各180km，相對于中央子午線之經差約±1°40′。UTM投影特點北極點P二、高斯投影的分帶1.分帶原因、原則及實施分帶原因：長度變形離中央子午線越遠變形越大，分帶有效控制長度變形分帶原則：從限制長度變形考慮，帶寬越小越好，分帶越多越好；但為減少換帶計算及換帶計算引起的計算誤差，又要求分帶不宜過多。我國制圖分帶實施情況：統(tǒng)一分帶：國家測圖采用六度帶和三度帶兩種帶寬統(tǒng)一分帶。六度帶用于中小比例尺（1:2.5萬～1:50萬）測圖，三度帶用于大比例尺（1:1萬以上）測圖；任意分帶：各單位（如礦區(qū)、城市）采用3度或1.5度帶寬分帶，也有0.75度帶寬分帶，中央子午線取當地平均經度。注意：聯合國波恩會議1962年建議采用等角圓錐投影作為1:100萬地圖的數學基礎。1978年我國制定的《1:100萬地形圖編繪規(guī)范》規(guī)定我國1:100萬地形圖投影采用邊緯線和中緯線變形絕對值相等的等角割圓錐投影，投影帶的劃分與國際百萬分之一地圖的分幅一致。1949年以后我國出版的一些掛圖和地圖集中常使用等面積割圓柱投影。首子午線第1帶0°12°6°央子中午線赤道NS2.統(tǒng)一分帶方法分帶投影3o帶奇數帶中央子午線與6o帶中央子午線重合3o帶偶數帶中央子午線與6o帶分帶子午線重合統(tǒng)一分帶效果圖3.高斯投影投影帶的重迭分帶坐標系是獨立的，為解決跨帶平差問題，相鄰帶間要有重疊15′和30′分別相當于1:5萬和1:10萬圖幅的經幅；共重疊45′東延30′，西擴15′中國國土南北、東西之經緯度之最新疆帕米爾高原烏茲別里山口附近（73°40′）黑龍江省撫遠縣烏蘇里江匯合處（135°02′30″）黑龍江省漠河鎮(zhèn)以北的黑龍江江心（53°31′10″）南海南沙群島的曾母暗沙（3°52′）61°22′30″我國大陸所處的經度范圍是東經73°27′~東經135°09′統(tǒng)一6°帶投影與統(tǒng)一3°帶投影的帶號范圍分別為13~23，25~45兩種投影帶的帶號不重復，根據y坐標前的帶號可以判斷屬于何種投影帶三、高斯投影直角坐標系分帶投影后坐標系及坐標的形成赤道高斯坐標有自然坐標與通用坐標之分自然坐標—投影形成的坐標通用坐標—帶號+自然坐標+500km統(tǒng)一分帶的相關計算–統(tǒng)一6°帶相關計算已知6°帶帶號N計算中央子午線經度2）已知6°帶中央子午線的經度反算帶號3)計算任意經度所在投影帶的帶號公式統(tǒng)一分帶的相關計算–統(tǒng)一3°帶相關計算1）已知3°帶帶號n計算中央子午線經度2）已知3°中央子午線經度計算帶號3)計算任意經度所在投影帶的帶號公式商有余數時+16-4高斯投影坐標計算（正反算與鄰帶換算）

一、高斯投影正算（DirectSolutionofGaussProjection）高斯坐標與大地坐標有關參數間關系1）坐標

2）方位角

3）距離

4）方向，等角，但仍需顧及弧化弦的方向曲率改正1、高斯投影坐標正算公式高斯投影條件：(1)中央子午線投影后為直線，中央子午線東西兩側的投影必然對稱于中央子午線。(2)中央子午線投影后長度不變；(3)投影具有正形性質，即正形投影條件。根據上述投影條件，對一具體投影帶而言，若在橢球上有以中央子午線對稱的兩點P1和P2，該兩點在帶內的大地坐標可表示為和，投影后的平面坐標一定為(x，-y)和(x，y)，這就要求在待定的投影公式中，當B＝常數，以代換時，x值不變號，而y值則變號，亦即下式中，第一式為的偶函數，第二式為的奇函數式(1)高斯投影正算公式的導出因高斯投影是分帶式投影，每帶內經差不大，因此是一個微小量，所以可將式(1)中的函數展開為經差的冪級數，可寫成如下形式：式(2)(1)

式(2)必滿足柯西黎曼條件之正算條件按上述條件對式(2)求相應導數，有：（還應考慮單位的轉換）上式成立的前提是等式兩邊系數相等,即顯然,求出左列各系數的關鍵是求定m0,進而可依次定出中央子午線的投影就是時的x坐標值,由式(2)第一式可知,,若中央子午弧長為X,則有:(2)

求第一個系數m1根據高斯投影的第二個條件,投影后中央子午線長度不變,滿足此條件就是使投影后的縱坐標x應該等于投影前從赤道量至該點的子午弧長因為：顧及關系式：變換可得：于是有：系數m1也可表示為：式(3)（3）求其它系數式中:系數m2為：同法可求出其它系數（4）將求出的各系數代入式(2)，即下式可得高斯投影正算公式之5次式投影帶寬小于,計算精度要求達0.001m時,使用下列6次式高斯投影正算公式的作用：參考橢球高斯平面二、高斯投影反算公式（InverseSolutionofGaussProjection）1.反算過程(x，y)(B，L)，相應地有如下投影方程2.高斯投影反算條件：(1)x坐標軸投影成中央子午線，是投影的對稱軸；(2)x軸上的長度投影保持不變；(3)正形投影。3.反算公式的導出1)反算條件分析由投影第一條件可知，由于y值比起橢球半徑是一個相對較小的數值，因而可以將大地坐標B及展開成y的冪級數；又由于是對稱投影，在此冪級數中，大地緯度B必是y的偶函數，大地經差必是y的奇函數。式(1)式中：n。，n1,n2,…是待定系數，它們都是縱坐標x的函數。由投影的第三條件可知，反算投影必滿足柯西-黎曼條件：

式(2)注意到等量緯度的定義3)反算公式建立：投影函數式(1)可寫成下面的級數形式：反算投影的柯西-黎曼條件變?yōu)椋簩κ?2)求偏導,代入上述柯西-黎曼方程顯然求出滿足上式的系數是實現反算投影的關鍵2）求系數要使上式成立,必有同階冪系數相等,即求出n1的關鍵是確定nO,由反算投影的第二條件“x軸上的長度投影保持不變”可知:式(3)(1)求在中央子午線上y=0時,x=X,此時對應的F點稱為底點，其緯度稱為底點緯度，用Bf表示，顯然有式Bf已知底點這里的B與原橢球面上P點的緯度B是不相等的no是底點(P點在x軸上的垂足)的緯度Bf，即x＝X時的子午弧長所對應的緯度由于式(3)中所有系數都是x=X的函數,而X=Bf,因此,式(3)中所有系數也都是底點緯度Bf的函數。基于此，若用X代替x，則各階導數值應冠以字f，以標明是用底點緯度Bf計算的導數值。也可理解為:反算后各點的緯度都是

Bf的函數。于是式(3)中的第一式其中：式(4)故式(4)可理解為對式（4）可這樣理解：由于所有系數ni都是Bf的函數,于是有：(2)求（3）其它系數式(5)即有下式存在:由于系數是漸次求定的,即ni+1由ni求出；而式(5)也可寫成再顧及進而求得各階系數根據上述分析，可求得各系數（4）求其它系數求定結果將以上各系數代入式(2)，經整理得

投影帶寬小于時,計算精度可達0.0001秒高斯投影坐標正、反算幾何解釋三、UTM公式高斯正算高斯反算UTM正算UTM反算橢球參數和定位相同四、高斯投影坐標正、反算實用公式(適于電算的公式)1.高斯投影正算公式(適于電算的公式)

經變換可得基于克拉素夫斯基橢球元素的正算公式

式中：基于1975國際橢球參數的正算電算公式：

式中：2.高斯投影反算公式(適于電算的公式)引入符號：

適于克拉索夫斯基橢球基準的反算公式代入克氏參數可得到反算電算公式

基于1975橢球的反算公式代入1975橢球參數可得到反算電算公式

三、高斯坐標的臨帶換算（ZoneConversionintheGaussProjection）

1.三度帶和六度帶的鄰帶換算限制高斯投影長度變形的需要產生了分帶問題，分帶投影形成各帶獨立的平面直角坐標系，這種情況下位于相鄰兩帶邊緣的點就分屬兩個坐標系，實際工作中，需將一個帶的高斯坐標換算為相鄰帶的高斯坐標，這種計算稱為高斯坐標的鄰帶換算。三度帶和六度帶的鄰帶換算方法東帶西帶中央子午線中央子午線3度帶6度帶換帶特例當三度帶的中央子午線與六度帶中央子午線重合時，兩帶坐標完全相同無需任何轉換。5-4第二次歸算—橢球面上的方向、長度歸算至高斯平面本節(jié)內容提要橢球面三角網歸算至高斯平面

ReductionofTriangulationNetworkonEllipsoidtoGaussPlane

方向改正ReductionofDirections平面子午線收斂角

GridConvergence坐標方位角的計算

SolutionofGridAzimuth距離改正ReductionofDistance一、橢球面三角網至高斯平面的歸算內容1.基本概念回顧真北方向坐標北方向真方位角坐標方位角子午線收斂角N'P1'P2'A12T12Nxoy2.歸算內容大地線方向平面弦線方向大地線長平面弦長大地方位角坐標方位角(B,L)(x,y)1）坐標計算：2）方向改正（曲率改正）：將大地線投影曲線方向歸算為它的弦線方向。將橢球面三角形的各內角，歸算為相應直線組成的平面三角形的各內角。3）距離改正：將大地線長歸算為平面弦長所加的改正。4）坐標方位角的計算：將橢球面上的大地方位角，歸算為相應投影邊的平面坐標方位角。二、方向改正1.改正的內涵：將橢球面上兩點間大地線方向歸算至其平面上相應投影點間的弦線方向的改正稱為方向改正，以δij表示2.改正產生原因：由于大地線投影曲線的彎曲而產生的，其大小和曲線曲率有關，也稱曲率改正。3.方向改正的近似公式將橢球近似為球，誤差小于0.1秒令

0km481216202428323640100km0.0″1.02.03.04.05.16.17.18.19.110.12000.0″2.04.16.18.110.112.214.216.218.320.33000.0″3.06.19.112.215.218.221.324.327.430.4方向改正較大,對各等三角測量都不能忽略(與“三差”改正不同)4.方向改正的較精密公式較精密公式推導較復雜,略去推導給出改正誤差小于0〞.01的較精密公式,適用于平均邊長13km，且ym<250km時，一般可用于二等三角網改正計算,推導時仍將橢球近似為球。5.方向改正的精密公式精密公式仍略去推導,改正誤差小于0〞.001的較精密公式,可用于一等三角網改正計算。注意：計算方向改正時,三角網尚未完成平差,因而坐標是未知的,公式中需要的計算用坐標叫資用坐標,可用用迭代的方法計算坐標的較精確值以供使用。三、距離改化公式將橢球面上的大地線化算為高斯平面的直線需經下列兩步:大地線變平面曲線平面曲線化為平面直線這個過程中距離必產生改正,如圖所示1.平面曲線化為平面直線如圖所示根據余弦函函數的冪級數展開式,有結論：此項距離化算所產生的改正數極小,可忽略2.大地線化為平面曲線1）將長度比公式具體化橢球面至高斯平面的距離改化決定于長度比，因此需先討論長度比計算式的具體形式根據長度比定義對高斯投影而言,m恒大于1，長度變形(m-1)恒為正

（1）先導出用大地坐標求m的公式根據前面導出的正形投影長度比公式（2）再導出用高斯投影平面坐標求m的公式根據正算公式的y坐標計算式,在僅考慮主項時有:由高斯投影正算公式,可得代入長度比公式可得用大地坐標求長度比的公式式（1）代入式（1），有2）導出距離改化公式對長度比公式（2）稍作變化即可得距離改正公式式（2）一般計算中取下式做距離改化公式3）長度比的變化規(guī)律高斯投影長度變形的規(guī)律：

(1)長度比m只與點的位置(B,l)或(x,y)有關，即m只是點位坐標的函數，只隨點的位置不同而變化，在一點上與方向無關。這同正形投影一般條件是一致的。

(2)當y＝0(或l＝0)時，亦即在縱坐標軸(或中央子午線)上，各點的長度比m都等于l，也就是說，中央子午線投影后長度不變。

(3)當時，不管為正還是為負，即不管該點在縱坐標軸之東還是之西，由于m是y(或l)的偶函數，故m恒大于1。這就是說，不在中央子午線上的點，投影后都變長了。(4)長度變形(m-1)與成比例地增大對于在橢球面上等長的子午線來說，離開中央子午線愈遠的那條，其長度變形愈大而對某一條子午線來說，在赤道處有最大的變形。四、平面子午線收斂角公式

將橢球面大地方位角A改化成平面坐標方位角，必須知道平面子午線收斂角和方向改化角。

1．平面子午線收斂角的定義

在橢球面上的子午線與平行圈線是一對正交法/斜截線，正形投影后,它們的投影線也正交，于是子午線收斂角即為圖示的角。注：子午線與卯酉線是正交法截線L=常數B=常數子午線投影平行圈線投影定義2.子午線收斂角的計算1）由大地坐標計算子午線收斂角的公式已知點的大地坐標(B,L),求在平行圈上，B＝常數，即dB＝0，于是對于及可有根據高斯投影正算公式可得

式（1）由公式

可將上式第二式可表示為

代入式（1）可得令tan＝x，根據反正切函數的冪級數展開公式，有

顧及式(2)經整理得由大地坐標L，B計算平面子午線收斂角的公式

式(2)式(3)子午線收斂角與大地坐標關系(1)為的奇函數，而且愈大，也愈大；(2)有正負，的符號與相同；(3)當不變時，隨緯度增加而增大。

2）由高斯平面坐標（x，y）計算子午線收斂角的公式由大地坐標計算子午線收斂角公式可知，欲求需先用高斯坐標求定和sinB,cosB(1)已由高斯投影反算公式給出(2)用高斯坐標表示大地緯度的正弦、余弦分析：當已知一點的高斯坐標(x,y)時,即有下列等式存在：

x=X=Bf（還應考慮單位的轉換）即已知(x,y)相當于已知Bf，因而Bf是已知條件，求定用高斯坐標表示的sinB、cosB，即是求定用Bf表示的sinB和cosB則有：根據正弦函數的冪級數展開公式:考慮緯度反算公式,即下式：有再求仿求的過程,可得根據余弦函數的冪級數展開公式展開后,有代入已求定的(3)用高斯坐標求子午線收斂角將上述表達式及代入子午線收斂角計算式(3)可得由平面坐標計算子午線收斂角的公式:3)適合于電算的公式對克拉索夫斯基橢球有下列計算子午線收斂角的實用公式對1975國際橢球有下列計算子午線收斂角的實用公式五、坐標方位角的計算如圖示，坐標方位角和大地方位角的關系為：注意，大地線在彎曲方向是變化的高斯投影后，中央子午線、赤道投影為直線，分別成為高斯坐標的縱、橫軸在的子午線上，所有線段投影后均為曲線，緯度越大，x越大，y越小，投影曲線以x軸對稱，且彎向x軸。投影后經、