第一章數(shù)學(xué)的萌芽

數(shù)學(xué)史主講人張躍輝1.源自河谷的古老文明

——數(shù)學(xué)的萌芽

數(shù)學(xué)也和其他人類文明一樣，最早出現(xiàn)于尼羅河中下游的古埃及、幼發(fā)拉底河與底格里斯河兩河流域的古巴比倫、黃河流域的中國和恒河流域的印度就國外數(shù)學(xué)發(fā)展的源頭而言，一般還應(yīng)首推古埃及與古巴比倫河谷文明與早期數(shù)學(xué)古代埃及古巴比倫古代中國1.1古埃及的數(shù)學(xué)

埃及文明上溯到距今6000年左右，從公元前3500年左右開始出現(xiàn)一些小國家，公元前3000年左右開始出現(xiàn)初步統(tǒng)一的國家。1、古王國時期：前2686－前2181年。埃及進(jìn)入統(tǒng)一時代，開始建造金字塔，是第一個繁榮而偉大的時代。2、新王國時期：前1567－前1086年。埃及進(jìn)入極盛時期，建立了地跨亞非兩洲的大帝國。直到公元前332年亞歷山大大帝征服埃及為止。

埃及人創(chuàng)造了連續(xù)3000多年的輝煌歷史，發(fā)明了銅器、創(chuàng)造了文字、掌握了較高的天文學(xué)和幾何學(xué)知識，建造了巍峨宏偉的神廟和金字塔。

古代埃及簡況古代埃及獅身人面像胡夫金字塔胡夫金字塔結(jié)構(gòu)透視圖

A、入口B、梯型走廊C、地下室D、維護(hù)通道E、上升通道

F、王后墓室G、通氣孔H、大長廊I、接待室J、國王墓室

K、重力緩解室

胡夫金字塔建于埃及第四王朝第二位法老胡夫統(tǒng)治時期（約公元前２６７０年），被認(rèn)為是胡夫為自己修建的陵墓。在古埃及，每位法老從登基之日起，即著手為自己修筑陵墓，以求死后超度為神。胡夫大金字塔的４個斜面正對東、南、西、北四方，誤差不超過圓弧的３分，底邊原長２３０．５米，傾角為５１度５２分。塔高１４６．６米（現(xiàn)高約１３７米），塔底面呈正方形，占地５．２９萬平方米。

胡夫金字塔的塔身由大小不一的２３０萬塊巨石組成，每塊重量在３噸至３０噸，石塊間合縫嚴(yán)密，不用任何粘合物。這座金字塔的入口在北側(cè)面離地１８米高處，經(jīng)入口的一段甬道下行通往深邃的地下室，上行則抵達(dá)國王殯室。殯室長１０．４３米、寬５．２１米、高５．８２米，與地面的垂直距離為４２．２８米，室內(nèi)僅一紅色花崗巖石棺，別無他物。另外塔內(nèi)已知還有王后殯室和地下墓室。

權(quán)威考古學(xué)家的最新發(fā)現(xiàn)顯示，金字塔是由勞工建造的，而建成一座金字塔的工程至少要花費３０多年的時間?？脊湃藛T還在金字塔附近地區(qū)發(fā)現(xiàn)了勞工們的集體宿舍等生活設(shè)施的遺跡和勞工墓地，并在死者隨葬品中發(fā)現(xiàn)了大量測量、計算和加工石器的工具。木乃伊

古埃及人都相信人是有靈魂的，要保持肉身的存在才可以復(fù)生。富人建陵墓。窮人把尸體埋入沙堆，國王則建金字塔。奴隸把收割的小麥抬走去集市賣牛采摘葡萄在為奴隸主釀酒反映了古代埃及農(nóng)業(yè)比較發(fā)達(dá)，物產(chǎn)豐富，埃及氣候炎熱，奴隸們都不穿上衣，也幾乎沒衣服可穿。農(nóng)業(yè)方面成就種植大麥、小麥和亞麻手工業(yè)方面成就冶煉制造手工業(yè)方面成就紡織鐵匠木匠理發(fā)師

古代埃及文字象形文字古埃及象形文字表示的日歷古代埃及的一年由360天組成，被分成3個季節(jié)（洪水季、冬季、夏季），每個季節(jié)由4個月組成，每個月30天。在年末，有5天組成了"epagomenal"節(jié)（相當(dāng)于春節(jié)），因此，一年總共為365日。年份是由現(xiàn)任法老開始掌權(quán)的第一年算起，因此，2年是指他掌權(quán)后的第二年（其實，就是像我國古代各朝的紀(jì)年方法，如貞觀元年）。每個季節(jié)的4個月份都以1至4命名。蘭德紙草書莫斯科紙草書公元前3000年起，古埃及人就已經(jīng)有了象形文字，其中最具代表性的是伴侶們使用的伴侶文（又稱祭祀文），寫在紙草上保存下來1.1古埃及的數(shù)學(xué)蘭德紙草書埃及的數(shù)學(xué)原典就是由象形文字書寫而成，其中，對考察古埃及數(shù)學(xué)有重要價值的是“蘭德紙草書”，這部紙草書是在埃及古都---底比斯(Thebes)的廢墟中發(fā)現(xiàn)的．1858年由蘭德(A．H．Rhind)購買，爾后，遺贈給倫敦大英博物館．因此，叫做蘭德紙草書．這種紙草書長約550厘米、寬33厘米，摹本出版于1898年．

這部紙草書是根據(jù)底比斯人統(tǒng)治埃及時(約公元前1800年以后)寫成的，著者阿梅斯(Ahmes)曾寫道，此書是根據(jù)埃及王國時代(公元前2000---前1800)的材料寫成的．

蘭德紙草書用很大的篇幅來記載2/N(N從5到101)型的分?jǐn)?shù)分解成單位分?jǐn)?shù)的結(jié)果。為什么要這樣分解以及用什么方法去分解，到現(xiàn)在還是一個謎。這種繁雜的分?jǐn)?shù)算法實際上阻礙了算術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。這部紙草書的出現(xiàn)，對埃及的文化產(chǎn)生了重要影響，對數(shù)學(xué)的發(fā)展和傳播起到了一定的作用．傳授“數(shù)”的秘密和分?jǐn)?shù)計算．

全書分成三部分，一是算術(shù)；二是幾何；三是雜題．共有85題．記載著埃及人在生產(chǎn)、生活中遇到的實際問題．例如，對勞動者酬金的分配；面積和體積的計算；不同谷物量的換算等等．其中，也含有純數(shù)學(xué)知識問題．例如，分?jǐn)?shù)的難題計算等等．莫斯科紙草書

由俄羅斯收藏者于1893年獲得的．約20年后，即1912年轉(zhuǎn)藏于莫斯科圖書館．這部紙草書長約550厘米、寬8厘米，共記載著25個問題．由于卷首遺失，書名無法考證．

埃及很早就用十進(jìn)記數(shù)法，但卻不知道位值制，每一個較高的單位是用特殊的符號來表示的。例如111，象形文字寫成三個不同的字符，而不是將1重復(fù)三次。埃及算術(shù)主要是加法，而乘法是加法的重復(fù)。

他們能解決一些一元一次方程的問題，并有等差、等比數(shù)列的初步知識。占特別重要地位的是分?jǐn)?shù)算法，即把所有分?jǐn)?shù)都化成單位分?jǐn)?shù)(即分子是1的分?jǐn)?shù))的和。紙草書還給出圓面積的計算方法：將直徑減去它的1/9之后再平方。計算的結(jié)果相當(dāng)于用3.1605作為圓周率，不過他們并沒有圓周率這個概念。根據(jù)莫斯科紙草書，推測他們也許知道正四棱臺體積的計算方法?？傊糯＜叭朔e累了一定的實踐經(jīng)驗，但還沒有上升為系統(tǒng)的理論。在埃及數(shù)字中沒有5及其倍數(shù)的表示方式（如5，50，500等），而且也沒有數(shù)字間的減法。左欄的最后一個符號通常是指“很多”的意思。但是，當(dāng)它和其它數(shù)字符號在一起使用時，是指“1000000”

這些符號就像羅馬字母一樣組成各種數(shù)字,如1996應(yīng)表示為：古埃及人是用象形文字來表示數(shù)的

1.1.1古埃及的記數(shù)制與算術(shù)十進(jìn)位制，但不知道位值制古埃及人所創(chuàng)建的數(shù)系與羅馬數(shù)系有很多相似之處，具有簡單而又純樸的風(fēng)格，并且使用了十進(jìn)位制，但是不知道位值制(記數(shù)系統(tǒng)是疊加制)．根據(jù)史料記載，上述象形文字似乎只限于表示107以前數(shù)．由于是用象形文字表示數(shù)，進(jìn)行相加運算是很麻煩的，必須要數(shù)“個位數(shù)”、“十位數(shù)”、“百位數(shù)”的個數(shù)．但在計算乘法時，埃及人采取了逐次擴大2倍(duplication)的方法，運算過程比較簡便．

乘法：古埃及人采用反復(fù)擴大倍數(shù)的方法，然后將對應(yīng)結(jié)果相加．例如蘭德紙草書(希特版)第32頁，記載著12×12的計算方法，是從右往左讀的．右邊用現(xiàn)代數(shù)字表示，這就是倍增法(duplatio)．由下表可知，計算的方法是把12依次擴大2倍，那么12×12為12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的數(shù)在右側(cè)(現(xiàn)代阿拉伯?dāng)?shù)字在左側(cè))標(biāo)記斜線，算得結(jié)果144．/116/10160/580合計256在更早的時期，埃及人也曾采用“減半法”來計算乘法．首先是將一乘數(shù)擴大10倍，然后再計算10倍的一半．例如紙草書(卡芬版)第6頁，計算16×16，是按如下方法計算的，即減半法(mediatio)．

180/108002160/4320合計1120除法：埃及人很早就認(rèn)識到除法是乘法的逆運算，并蘊含在實際計算之中．例如，計算1120÷80(見蘭德紙草書第69頁)．求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14個80．

分?jǐn)?shù)：古埃及人對分?jǐn)?shù)的記法和計算都比現(xiàn)在復(fù)雜得多．例如，他們把2/3理解為“二個部分”，并且能使“二個部分”變成整體的部分叫做“第三部分”．例如“二個部分”即2/3,——“第三部分”即1/3“三個部分”即3/4,——“第四部分”即1/4這樣，通過二個部分與第三部分；三個部分與第四部分的結(jié)合來表示出一個整體．現(xiàn)在的西歐，有時也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等語言來表達(dá)三分之一、四分之一這類分?jǐn)?shù)的含義．按此規(guī)律理解，五分之一可認(rèn)為與四個部分結(jié)合成一個整體的第五部分．從語言的角度，五分之二(twofifths)就無法表達(dá)了．

隨著分?jǐn)?shù)范圍的不斷擴大，計算方法的不斷改進(jìn)，埃及人用“單位分?jǐn)?shù)”(分子是1的分?jǐn)?shù))來表示分?jǐn)?shù)對一般分?jǐn)?shù)則拆成“單位分?jǐn)?shù)”表示．例如，(用現(xiàn)代符號表示)這種求解方法也稱“暫定前提”(falseassumption)法，即：首先，根據(jù)所求的量而選擇一個數(shù)．在蘭德紙草書第26題中，選擇了4．因為4的1/4是容易計算的…在用“阿哈算法”求解的問題中，也含有求平方根的問題在蘭德紙草書中，因為求含一個未知量的方程解法在埃及語中發(fā)“哈喔”(hau)音，故稱其為“阿哈算法”．“阿哈算法”實際上是求解一元一次方程式的方法．蘭德紙草書第26題則是簡單一例．用現(xiàn)代語言表達(dá)為：一個量與其1/4相加之和是15,求這個量

古埃及人是按照如下方法計算的：把4加上它的1/4得5,然后將15除以5得3,最后，將4乘以3得12,則12即是所求的量.1.1.2古埃及的代數(shù)埃及人對“級數(shù)”也有簡單的認(rèn)識在紙草書中，用象形文字寫出一列數(shù)7，49，343，2401，16807，并與之對應(yīng)一列詞：“房子”，“貓”，“老鼠”，“大麥”，“俄斗”，最后，給出和數(shù)為19607．實際上，這是公比為7的等比數(shù)列．對此，有的數(shù)學(xué)史家解釋為：“有7個人，每人有7只貓，每只貓能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麥，每穗大麥種植后可以長出7俄斗大麥．”從這個題目中，可以寫出怎樣的一列數(shù)，它們的和是多少？這種題目就涉及到求數(shù)列和的問題．埃及人曾采用s＝(8d/9)2(其中s是圓的面積、d是圓的直徑)來計算圓的面積．由此得到：能把π值精確到小數(shù)點后一位，在那個時代，應(yīng)該說是一件了不起的事，巴比倫人在數(shù)學(xué)高度發(fā)展時期，還常常取π＝3．

埃及人能應(yīng)用正確的公式來計算三角形、長方形、梯形的面積．把三角形底邊二等分，乘以高；同樣，把梯形兩平行邊之和二等分，乘以高分別作為三角形和梯形的面積．另外，埃及人還能對不同的面積單位進(jìn)行互相換算．在埃及埃特夫街的赫爾斯神殿的文書中，記載著很多關(guān)于三角形和四邊形面積計算問題．1.1.3古埃及的幾何學(xué)在計算體積方面，經(jīng)考察蘭德等紙草書發(fā)現(xiàn)，埃及人已經(jīng)知道立方體、柱體等一些簡單圖形體積的計算方法，并指出立方體、直棱柱、圓柱的體積公式為“底面積乘以高”．有材料證實，在埃及幾何中，最突出的一項工作是發(fā)現(xiàn)截棱錐體的體積公式，(錐體的底是正方形)，此公式若用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號表示為：其中h是高，a和b是下、上底的邊長．著名數(shù)學(xué)史家貝爾(E.T.Bell,1883-1960)形象地將這古埃及數(shù)學(xué)杰作稱為“最偉大的埃及金字塔”.

假定一個棱垂直于底面，把正棱臺分成4個部分，即1個長方體、2個棱柱、1個棱錐．兩個棱柱分別變?yōu)楦呤窃瓉淼?/3.可得公式按如上方法推導(dǎo)公式(1)，是沒有超越埃及當(dāng)時的數(shù)學(xué)水平的，但是，也沒有充分的依據(jù)來斷定埃及人就使用了這種方法．埃及人對數(shù)學(xué)的應(yīng)用

埃及人把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到管理國家和教會的事物中，譬如，確定付給勞役者的報酬，求谷倉的容積和田地的面積，征收按土地面積估出的地稅，計算修造房屋和防御工程所需的磚數(shù)．

把數(shù)學(xué)應(yīng)用于釀酒等方面的計算．他們利用術(shù)語“比數(shù)”(pesu)，即一個單位谷物生產(chǎn)出酒的量或面包的個數(shù)，按下面方法計算：

谷物的量×比數(shù)=酒量(或面包的個數(shù))．在這些簡單的計算中，常常需要進(jìn)行單位的換算．

把數(shù)學(xué)應(yīng)用到天文的計算中．從第一朝代開始，尼羅河就是埃及人的生命源泉，他們?nèi)粘龆?，日落而息，必須掌握四季氣候變遷的規(guī)律，力求準(zhǔn)確預(yù)報洪水到來的日期，進(jìn)行大量的計算．他們還把幾何知識與天文知識結(jié)合起來，用于建造神廟，使一年里某些天的陽光能以特定方式照射到廟宇里．金字塔的方位也朝向天上特定的方向，而斯芬克斯(即獅面人身像)的面則是朝東的．金字塔代表了埃及人對幾何的另一種用法，竭力使金字塔的底為有規(guī)則的形狀，底和高的尺寸之比也是有特殊意義的．埃及人對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)

埃及人沒有把零散的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化，使之成為一門獨立學(xué)科，只是做為一種工具，把形式上沒有聯(lián)系的簡單法則，用于解決人們在日常生活中所碰到的問題．使用了十進(jìn)位制，但是不知道位值制(記數(shù)系統(tǒng)是疊加制而不是位值制)．埃及人對數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)簡略地歸納：(1)基本完成了特定方式的四則運算，并且把它們推廣到分?jǐn)?shù)上，已經(jīng)有了求近似平方根的方法．(2)他們能夠用算術(shù)方法處理一次方程和某些類型的二次方程問題．(3)他們已經(jīng)有了算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù)的知識．(4)在幾何方面，得到了某些平面圖形和立體圖形的求積方法．(5)得到較好的圓周率值(在那個時期)，正確認(rèn)識了把圓分為若干相等部分的問題．(6)他們已經(jīng)熟悉了比例的基本原理，某些數(shù)學(xué)史家還認(rèn)為埃及數(shù)學(xué)有三角函數(shù)的萌芽．1.2古巴比倫的數(shù)學(xué)兩河流域（美索不達(dá)米亞）文明上溯到距今6000年之前，幾乎和埃及人同時發(fā)明了文字－“楔形文字”。古巴比倫王國：前1894－前729年。漢穆拉比（在位前1792－前1750）統(tǒng)一了兩河流域，建成了一個強盛的中央集權(quán)帝國，頒布了著名的《漢穆拉比法典》。亞述帝國：前8世紀(jì)－前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩蘇爾市）。新巴比倫王國：前612－前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604－前562年）統(tǒng)治時期達(dá)到極盛，先后兩次攻陷耶路撒冷，建成巴比倫“空中花園”。公元前6世紀(jì)中葉，波斯國家逐漸興起，并于公元前538年滅亡了新巴比倫王國。古巴比倫簡況

巴比倫的含意是古代閃族語的“神之門”。約三千八百年前巴比倫帝國公元1901年曾在伊朗古部蘇薩城發(fā)掘出一支2.23米高的黑色玄武巖圓柱，即世界第一部成文法律

漢謨拉比（前1948－前1905）法典第215條：如果醫(yī)生做一項較大的手術(shù)或治療眼病時，他應(yīng)能收到10枚銀幣。如果病人是一個自由人，他應(yīng)付5枚銀幣，如果是個奴隸，他的主人應(yīng)代付2枚銀幣。如果病人因為手術(shù)死亡或失明，那么醫(yī)生的雙手就會被砍掉。巴比倫古城遺址在伊拉克首都巴格達(dá)以南90公里1978年，伊拉克政府曾開始古城重建工程古巴比倫人知道了很多疾病，如不同種類的發(fā)熱、中風(fēng)和瘟疫；一些泥板書上還描述了眼、耳、皮膚和心臟的疾病，以及風(fēng)濕和性病。古巴比倫醫(yī)學(xué)是宗教巫師的特權(quán)，他們向天神負(fù)責(zé)；普通醫(yī)生對他們所做的手術(shù)成功與否負(fù)責(zé)。古巴比倫的醫(yī)學(xué)巴比倫外科手術(shù)工具，約制于公元前2300年。

巴比倫空中花園，1886年由一名法國雕版畫家制成（前605年，巴比倫）。聞名世界的巴格達(dá)喀西門大清真寺古巴比倫的楔形文字一百多年前，人們發(fā)現(xiàn)巴比倫人是用楔形文字(Cuneiform)來記數(shù)的．他們是用頭部呈三角形的木筆把字刻寫在軟泥板上，然后，用火燒或曬干使它堅如石，以便保存下來進(jìn)行數(shù)學(xué)知識交流．由于字的形狀象楔子，所以人們稱為楔形文字．

現(xiàn)存的巴比倫楔形泥版文書：大都是關(guān)于經(jīng)濟(jì)問題的，涉及錢幣兌換、商品交換、利稅計算、糧食分配、遺產(chǎn)劃分，等等。古巴比倫楔形文字表示的數(shù)字他們用垂直的楔形來表示1，如．用末端二個橫向楔形表示10，如．用記號表示35．用記號表示9，后來簡化為1/2、1/3等分?jǐn)?shù)有專門的記法。楔形數(shù)字的記法巴比倫人已經(jīng)有了位值制的觀念，通常為60進(jìn)制．這種認(rèn)識的主要根據(jù)是地質(zhì)學(xué)家勞夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森開萊(現(xiàn)在的拉山或拉莎)發(fā)掘出漢穆拉比時代的泥板書，上面記載著一串?dāng)?shù)字，前7個是1，4，9，16，25，36，49，之后中斷，而在應(yīng)該是64的地方，看到的卻是1·4，其后接著寫出1·21，再后是2·24，直到最后寫的是58·1．這個數(shù)列只有假定其為60進(jìn)位時，才能很自然接續(xù)，即：1·4＝60＋4＝64=8，1·21=60＋21＝81＝9，……58·1=58×60＋1＝3481＝59．22古巴比倫的60進(jìn)位法之產(chǎn)生年代是相當(dāng)久遠(yuǎn)的．但據(jù)有的材料記載，早期的蘇默人是不知道60進(jìn)位制的．從他們所用的數(shù)學(xué)符號中可以看出，大約在公元前3000年以前，是用以下記號來記數(shù)的：1，10，60的記號是用頭部是圓形的木筆刻成，而1和60的記號都是半圓形，只是大小不一樣，10的記號是圓形，600的記號是10和60的組合.1.2.1古巴比倫的計數(shù)制與算術(shù)

到了公元前2000年左右，開始使用楔形文字，以此又建立一套數(shù)的記號，不妨做如下比較：通過如上二種數(shù)碼的表示法之比較，不難看出，巴比倫采用60進(jìn)制是很自然的．應(yīng)該指出，巴比倫人的位值制有時也不甚明確；因為完整的位值制記數(shù)法，必須有表示零的記號，但在早期的泥板書上尚沒有發(fā)現(xiàn)零號．古巴比倫的算術(shù)

由于巴比倫從1到59的數(shù)碼都是以1和10或更多一些數(shù)的記號為基本記號結(jié)合而成的，因此，在此范圍內(nèi)的加減法不過是加上或去掉某種記號罷了．

巴比倫人對整數(shù)的乘法，采取了“分乘相加”的方法．例如，某數(shù)乘以27，他們先乘20，再乘7，然后把結(jié)果相加，最后得出結(jié)果．他們還造出了一些乘法表．

巴比倫人在做整數(shù)除以整數(shù)時，采用了乘以倒數(shù)的方法，并且還造出了倒數(shù)表．

巴比倫人研究了數(shù)的平方和開平方、立方和開立方的問題．當(dāng)方根是整數(shù)時，給出了準(zhǔn)確的值．對于其它方根，由于采用60進(jìn)位制，只能是近似值．并造出了簡單的平方、平方根、立方、立方根表．巴比倫人也曾給出了求a2＋b型的方根近似公式：到了希臘時期，著名數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes)、海倫(Heron)創(chuàng)造出了平方后比原數(shù)小的近似公式．1.2.2古巴比倫的代數(shù)

在巴比倫人利用楔形文字撰寫的原典中，也有解一元二次方程的例子．例如：由兩正方形并組成一個面積為1000，一正方形邊為另一正方形邊的減10，兩個正方形的連長各是多少？巴比倫人是按如下方法求解的：(用現(xiàn)代符號表示)設(shè)兩個正方形邊長分別為x，y．

得到一個正整數(shù)解為：x＝30．說明巴比倫人在漢穆拉比時代已經(jīng)掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算術(shù)方法求解．巴比倫人對簡單的三次和四次方程也求解過．

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