數(shù)值分析線性多步法

第五節(jié)線性多步法

龍格-庫(kù)塔方法是一類重要算法，但這類算法在每一步都需要先預(yù)報(bào)幾個(gè)點(diǎn)上的斜率值，計(jì)算量比較大?？紤]到計(jì)算yi+1之前已得出一系列節(jié)點(diǎn)上的斜率值，能否利用這些已知值來減少計(jì)算量呢？這就是線性多步法的設(shè)計(jì)思想。

構(gòu)造線性多步法有多種途徑，這里介紹兩種：

基于數(shù)值積分的構(gòu)造方法；

基于Taylor展開的構(gòu)造方法。)...(...110111101rnrnnnrnrnnnffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa線性多步法的通式可寫為：當(dāng)10時(shí)，為隱式公式;1=0則為顯式公式。5.5.1基于數(shù)值積分的構(gòu)造法將在上積分，得到只要近似地算出右邊的積分，則可通過近似y(xk+1)。而選用不同近似式I，可得到不同的計(jì)算公式。例如利用左矩形積分公式得到歐拉公式；梯形積分公式得到梯形公式。一般地，利用插值原理所建立的一系列數(shù)值積分方法也可以導(dǎo)出解微分方程的一系列計(jì)算公式。運(yùn)用插值方法的關(guān)鍵在于選取合適的插值節(jié)點(diǎn)。假設(shè)已構(gòu)造出f(x,y(x))的插值多項(xiàng)式Pr(x),則5.5.2亞當(dāng)姆斯顯式公式利用r+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的被積函數(shù)值構(gòu)造r階牛頓后插多項(xiàng)式,有Newton插值余項(xiàng)Adams顯式公式j(luò)j0111/225/1233/8實(shí)際計(jì)算時(shí)，將差分展開

局部截?cái)嗾`差為：例：常用的是r=3的4階亞當(dāng)姆斯顯式公式Adams顯式公式用作為插值節(jié)點(diǎn)，在求積區(qū)間[xn,xn+1]上用插值函數(shù)Nr(x)近似f(x,y(x))，而xn+1不在插值節(jié)點(diǎn)內(nèi)，因此是一個(gè)外推的過程。雖然公式是顯式的，便于計(jì)算，但效果并不理想，比如穩(wěn)定性較差等。因此改用通過r+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式Nr(x)近似f(x,y(x))，由于xn+1是其中一個(gè)插值點(diǎn)，因此是內(nèi)插多項(xiàng)式，但導(dǎo)出的公式是隱式的。5.5.3亞當(dāng)姆斯隱式公式利用r+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的被積函數(shù)值fn+1

,fn,…,fnr+1

構(gòu)造r階牛頓前插多項(xiàng)式。與顯式多項(xiàng)式完全類似地可得到一系列隱式公式。j011-1/22-1/123-1/24局部截?cái)嗾`差為：常用的是k=3的4階亞當(dāng)姆斯隱式公式較同階顯式穩(wěn)定例：5.5.4亞當(dāng)姆斯預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)Step1:用Runge-Kutta法計(jì)算前i

個(gè)初值；Step2:用Adams顯式計(jì)算預(yù)測(cè)值；Step3:用同階Adams隱式計(jì)算校正值。注意：三步所用公式的精度必須相同。通常用經(jīng)典Runge-Kutta法配合4階Adams公式。4階Adams隱式公式的截?cái)嗾`差為4階Adams顯式公式的截?cái)嗾`差為預(yù)測(cè)值與校正值的事后誤差估計(jì)Adams顯隱預(yù)測(cè)-校正-改進(jìn)系統(tǒng)5.5.5基于泰勒展開的構(gòu)造法)...(...110111101rnrnnnrnrnnnffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa

將通式中的右端各項(xiàng)yn1,…,ynk;fn+1,fn1,…,fnk(y’n+1,…,y’nk)分別在

xn點(diǎn)作泰勒展開，與精確解y(xn+1)在xn點(diǎn)的泰勒展開作比較。通過令同類項(xiàng)系數(shù)相等，得到足以確定待定系數(shù)0,…,r;

1,0,…,r

的等式，則可構(gòu)造出線性多步法的公式。當(dāng)10時(shí)，為隱式公式;1=0則為顯式公式。4階Adams顯式公式4階Adams隱式公式5.5.6Milne（米爾尼）格式可導(dǎo)出另一類四階方法，包含著名的米爾尼格式：4階Adams隱式公式Simpson格式用Simpson格式與米爾尼格式匹配，構(gòu)成預(yù)估校正系統(tǒng)：Milne-Simpson系統(tǒng)的缺點(diǎn)是穩(wěn)定性差，為改善穩(wěn)定性，考慮另一種隱式校正公式：要求公式具有4階精度。通過泰勒展開，可得到個(gè)等式，從中解出個(gè)未知數(shù)，則有個(gè)自由度。561取1=1得Simpson公式哈明