中考總復(fù)習(xí)：分式與二次根式-知識(shí)講解(提高)與例題講解

中考總習(xí)分式與次式—知講解（高）【考綱求了解分式的概念，會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會(huì)進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算；能夠根據(jù)具體問(wèn)題數(shù)量關(guān)系列出簡(jiǎn)單的分式方程，會(huì)解簡(jiǎn)單的可化為一元一次方程的分式方程；利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算．【知識(shí)絡(luò)【考點(diǎn)理考點(diǎn)一分的有關(guān)念性質(zhì)1分式設(shè)、B示兩個(gè)整式．如果B中有字母，式子就叫做分式．注意分母值不能為零，否則分式?jīng)]有意義2.分式的本性質(zhì)（M不等于零的整式）.3最簡(jiǎn)式分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn)要點(diǎn)詮：分式的概念需注意的問(wèn)題：(1)分式是兩個(gè)整式相除的商其中分母是除式分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號(hào)，還含有括號(hào)的作用；分式中，A和均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B必須含有字母且不為0；判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷．分式有無(wú)意義的條件：在分式中，當(dāng)B≠時(shí)，分式有意義；當(dāng)分式有意義時(shí)B≠0．當(dāng)=0，分式無(wú)意義；當(dāng)分式無(wú)意義時(shí)=0．③當(dāng)≠0=0時(shí)，分式的值為零．考點(diǎn)二分的運(yùn)算1基本算則分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下:（1加減運(yùn)算

錯(cuò)誤！找引用源誤！未到引用。=錯(cuò)！未找引源。同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算（2）乘法運(yùn)算兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母（3）除法運(yùn)算兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.（4）乘方運(yùn)算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方．．零指．負(fù)整指

.4分式混運(yùn)算順先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的．5約分把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．約分需明確的問(wèn)題：對(duì)于一個(gè)分式來(lái)說(shuō)約分就是要把分子與分母都除以同一個(gè)因式，使約分前后分式的值相等；約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式其思考過(guò)程與分解因式中提取公因式時(shí)確定公因式的思考過(guò)程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積．6通分根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過(guò)程稱為分式的通分．通分注意事項(xiàng)：通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母簡(jiǎn)公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積．不要把通分與去分母混淆是通分成了去分母，把分式中的分母丟掉．確定最簡(jiǎn)公分母的方法：最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡(jiǎn)公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.要點(diǎn)詮釋：分式運(yùn)算的常用技巧（順序可加法：有些異分母式可,簡(jiǎn)公分母很復(fù)雜果采用先通分再可加的方法很繁.果先把兩個(gè)分式相加,把所得結(jié)果與第三個(gè)分式可加減,順序運(yùn)算下,為簡(jiǎn)便.整體通分法：當(dāng)整式與分式相加減時(shí),般情況下常常把分母為1的整式看做一個(gè)整體進(jìn)行通,此方法計(jì)算,運(yùn)算簡(jiǎn)便.巧用裂項(xiàng)法對(duì)于分子相同分母是相鄰兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積的分式相加減，分式的項(xiàng)數(shù)是比較多的，無(wú)法進(jìn)行通分，因此，常用分式

11n(nn

進(jìn)行裂項(xiàng).分組運(yùn)算法:當(dāng)有三個(gè)以上的異分母分式相加減時(shí)可考慮分組則是使各組運(yùn)算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)且值相同或?yàn)楸稊?shù)關(guān)系這樣才能使運(yùn)算簡(jiǎn)便.化簡(jiǎn)分式法有些分式的分子分母都異常時(shí)如果先通分，運(yùn)算量很大應(yīng)先把每一個(gè)分別化簡(jiǎn)，再相加減（6）倒數(shù)法求值（取倒數(shù)法）（7）活用分式變形求值.(8)設(shè)

求值法參數(shù)法)(9)整體代換法.(10)消元代入法.考點(diǎn)三分方程及應(yīng)1分式程概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2分式程解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．3分式程增根問(wèn)增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為，那么就會(huì)出現(xiàn)不適合原方程的根--增根；驗(yàn)根因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根所以解分式方程必須驗(yàn)根驗(yàn)根方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為，如果為0，即為增根，不0，就是原方程的解．4分式程應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些．解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解．另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問(wèn)題，注意檢驗(yàn)、解釋結(jié)果的合理性．要點(diǎn)詮：解分式方程注意事項(xiàng)：（1）去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；（2）解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否0，如果為，即為增根，不為，就是原方程的解．列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：審——仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；解——解出方程；驗(yàn)——檢驗(yàn)增根；答——答題．考點(diǎn)四二根式的要質(zhì)1.

a0(

；a(a0)

；3.

|

(a0)(

；4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：

abab(

；5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：

(a，

.6.若

a0

，則

ab

.要點(diǎn)詮：與

的異同點(diǎn)：（1）不同點(diǎn)：

與

表示的意義是不同的，

表示一個(gè)正數(shù)算術(shù)平方根的平方，而

表示一個(gè)實(shí)數(shù)平方的算術(shù)平方根；在

中，而

中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)．但

與

都是非負(fù)數(shù)，即

，

．因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，

，而（2同點(diǎn)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)

時(shí)，=；時(shí)，而

無(wú)意義，.考點(diǎn)五二根式的算1二次式乘除運(yùn)(1)運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求：①應(yīng)為最簡(jiǎn)二次根式或有理式；②分母中不含根號(hào)注意知道每一步運(yùn)算的算理；乘法公式的推廣：aaa(aa，a13n23n2二次式加減運(yùn)先化為最簡(jiǎn)二次根式類比整式加減運(yùn)算明確二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)；3二次式混合運(yùn)對(duì)二次根式的混合運(yùn)算首先要明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開(kāi)方，再乘除，最后算加減，如有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的；二次根式的混合運(yùn)算與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之處，整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用要點(diǎn)詮：怎樣快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；在二次根式的混合運(yùn)算中原學(xué)過(guò)的運(yùn)算律運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；在二次根式的混合運(yùn)算中如結(jié)合題目特點(diǎn)靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半2627273232a與（2）2627273232a與（2）功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運(yùn)算，可分解為兩個(gè)步驟完成，一是進(jìn)行乘法運(yùn)算，二是進(jìn)行加法運(yùn)算，使難點(diǎn)分散，易于理解和掌握.在運(yùn)算過(guò)程中對(duì)于各個(gè)根式不一定要先化簡(jiǎn)可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，但最后結(jié)果一定要化簡(jiǎn).例如8，沒(méi)有必要先對(duì)

進(jìn)行化簡(jiǎn)，使計(jì)算繁瑣，可以先根據(jù)乘分配律行乘法運(yùn)算，

8327

，通過(guò)約分達(dá)到化簡(jiǎn)目的；(2)多項(xiàng)式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中同樣適用.如

32

，利用了平方差公式所以在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)借助乘法公式會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.4分母理把分母中的根號(hào)化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘若它們的積不含二次根，則這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式常用的二次根式的有理化因式：（1）互為有理化因式；與b

互為有理化因式一般地

b與b

互為有理化因式；（3）

ab與

互為有理化因式；一般地

a與c2xx222xx22互為有理化因式.【典型題類型一分的意義1．若分式的為

0，則的值等于．【答案】1；【解析】由分式的值為零的條件得﹣1=0，+1≠0，由﹣1=0，得x﹣1x=1，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴=1，故答案為．【總結(jié)升華若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件分子為）分母不為．這兩個(gè)條件缺一不可．舉一反：【變式

1如果分3的值為

0則值應(yīng)為.【答案】由分式的值為零的條件得3x-27=0且x-3≠0，由3x

2

-27=0，得3（x+3）=0，∴x=-3x=3，由x-3≠0得x．綜上得

x=-3分x27值為

0故答案為-3．,即或,即或【分式與二次根式：例】【變式2】若分式

不論

x取何實(shí)數(shù)總有意義，則m的x

取值范圍是．【答案若分式

x2

不論x取何實(shí)數(shù)總有意義，則分母x

x

≠0，設(shè)

yx

，當(dāng)eq\o\ac(△,＜)eq\o\ac(△,)0可，

＜0,m

.答案＞類型二分的性質(zhì)2．已知

bca求abc

的值.【答案與解析】設(shè)

baa

,所以所以所以

ak,cabk2()),()(a)當(dāng),所求代數(shù)式

abc13

,當(dāng)

a

,所求代數(shù)式.即所求代數(shù)式等或.8【總結(jié)升華當(dāng)已知條件以此等式出現(xiàn)時(shí)可用設(shè)法求解舉一反：,,a且,,a且【變式已知【答案】

11111,,ac9ac

1求abc的值15ab因?yàn)?/p>

11111,ab6b9ac15

,各式可加1115所以所以

11131，a180)1bc()abc)11cb類型三分的運(yùn)算3．已知

x

,求

x2y2z2yxy

的值.【答案與解析】因?yàn)?/p>

y0

,所以原等式兩邊同時(shí)乘以

x

,得:x(y)yxy(x)yzxy

xy.即

x(2z)z2z(x)xyyzzx所以所以

yz2x)z22zz【總結(jié)升華】條件分式的求值如需把已知條件或所示條件分式變形，必須依據(jù)題目自身的特點(diǎn)，這樣才能到事半功倍abc,,2abc,,2的效果，條件分式的求值問(wèn)題體現(xiàn)了整體的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.舉一反：【式1】知

z,x

且,

abcab

的值.【答案】由已知a所以1yxyaxaxxx

,所以

aaxy

,同理所以

bz,bxyxyabczxabxyyxy

.【分式與二次根式例2【變式已知x＋－4，－12，求

x

的值．【答案】原式

(x(

2

=

2

2y

(x))y)將x＋y＝－4＝－12入上式，∴原式

(

23415,得當(dāng)時(shí),,即或2,得當(dāng)時(shí),,即或2a2x類型四分方程及用4．a(chǎn)何值時(shí),關(guān)于

的方程

2ax3x

會(huì)產(chǎn)生增根【答案與解析】方程兩邊都乘以

(x2)(xx整理得

(x

.當(dāng)=時(shí),方程無(wú)解.a

10a

.如果方程有增根,那么(x2)(x2)2當(dāng)時(shí),,所以;a當(dāng)時(shí),10,所以a=6.a所以當(dāng)或=方程會(huì)產(chǎn)生增根.【總結(jié)升華】因?yàn)樗o方程的增根只能是或

.

，所以應(yīng)先解所給的關(guān)于的式方程，求出其根，然后求的值.5甲．乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實(shí)驗(yàn)器材．若甲單獨(dú)整理需要分鐘工：若甲．乙共整理鐘后，乙需再單獨(dú)整理20分鐘才能完工．問(wèn)乙單獨(dú)整理多少分鐘完工？若乙因工作需要，他的整理時(shí)間不超過(guò)30鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？【答案與解析】（1）設(shè)乙單獨(dú)整理x鐘完工，根據(jù)題意得：202040x解得＝80，經(jīng)檢驗(yàn)＝80是原分式方程的解．答：乙單獨(dú)整理鐘完工．（2）設(shè)甲整理y鐘完工，根據(jù)題意，得30y8040解得：y≥25答：甲至少整理鐘完工．【總結(jié)升華分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．此題等量關(guān)系比較多，主要用到公式：工作總量＝工作效率×工作時(shí)間．將總的工作量看作單位1，根據(jù)本工作分兩段時(shí)間完成列出分式方程解之即可；設(shè)甲整理y鐘完工，根據(jù)整理時(shí)間不超過(guò)30分鐘，列出一次不等式解之即可．舉