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選修2-3第二章第四節(jié)二項(xiàng)分布授課:王春杰1、相互獨(dú)立事件:
事件A是否發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒(méi)有影響,這時(shí)我們稱(chēng)兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立,并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。2、相互獨(dú)立事件的概率公式:
P(AB)=P(A)P(B)還記得嗎?溫故夯基引例1、投擲一枚相同的硬幣5次,每次正面向上的概率為0.5.2、某同學(xué)玩射擊氣球游戲,每次射擊擊破氣球的概率為0.7,現(xiàn)有氣球10個(gè).3、拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子n次,每一次拋擲可能出現(xiàn)“5”,也可能不出現(xiàn)“5”,而且每次拋擲出“5”的概率p都是4、種植n粒棉花種子,每一粒種子可能出苗,也可能不出苗,其出苗率是67%.問(wèn)題上面這些試驗(yàn)有什么共同的特點(diǎn)?提示:從下面幾個(gè)方面探究:(1)實(shí)驗(yàn)的條件;(2)每次實(shí)驗(yàn)間的關(guān)系;(3)每次試驗(yàn)可能的結(jié)果;(4)每次試驗(yàn)的概率;(5)每個(gè)試驗(yàn)事件發(fā)生的次數(shù)1).每次試驗(yàn)是在同樣的條件下進(jìn)行的,即包含了n個(gè)相同的試驗(yàn);2).各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的;3).每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果:發(fā)生與不發(fā)
生;4).每次試驗(yàn),某事件發(fā)生的概率是相同的;5).每次試驗(yàn),某事件發(fā)生的次數(shù)是可以列舉的。即試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)離散型隨機(jī)變量.
善于總結(jié)問(wèn)題上面這些試驗(yàn)有什么共同的特點(diǎn)?n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義:一般地,由相同條件下的n次試驗(yàn)構(gòu)成,且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立完成,每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對(duì)立的狀態(tài),即A與ā,每次試驗(yàn)中P(A)=p>0。我們將這樣的試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),也稱(chēng)伯努利試驗(yàn)(Bernoullitrials)
③每一次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率均相等。說(shuō)明:①相同條件下各次試驗(yàn)之間相互獨(dú)立;
②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果:“成功”或“失敗”,每次試驗(yàn)“成功”的概率為p,“失敗”的概率為1-p.知新益能瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利
(JacobBernoulli)簡(jiǎn)介雅各布·伯努利1654年12月27生于巴塞爾,1705年8月16日卒于同地.1676年,他到荷蘭、英國(guó)、德國(guó)、法國(guó)等地旅行,結(jié)識(shí)了萊布尼茨、惠更斯等著名科學(xué)家,從此與萊布尼茨一直保持經(jīng)常的通訊聯(lián)系,互相探討微積分的有關(guān)問(wèn)題.伯努利在概率論、微分方程、解析幾何等方面均有很大建樹(shù).許多數(shù)學(xué)成果與伯努利的名字相聯(lián)系.例如“伯努利雙紐線”(1694年),“伯努利微分方程”(1695年),“伯努利數(shù)”、“伯努利大數(shù)定理”等.伯努利對(duì)數(shù)學(xué)最重大的貢獻(xiàn)是概率論.他從1685年起發(fā)表關(guān)于賭博游戲中輸贏次數(shù)問(wèn)題的論文,后來(lái)寫(xiě)成巨著《猜度術(shù)》.n次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)就是由他首先研究的,故又稱(chēng)伯努利概型。由于伯努利杰出的科學(xué)成就,1699年,伯努利當(dāng)選為巴黎科學(xué)院外籍院士.判斷下列試驗(yàn)是不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn):
1).依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣,3次正面向上;(NO)請(qǐng)舉出生活中碰到的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的例子。2).某人射擊,擊中目標(biāo)的概率P是穩(wěn)定的,他連續(xù)射擊了10次,其中6次擊中;(YES)3).口袋裝有5個(gè)白球,3個(gè)紅球,2個(gè)黑球,從中依次抽取5個(gè)球,恰好抽出4個(gè)白球;(NO)4).口袋裝有5個(gè)白球,3個(gè)紅球,2個(gè)黑球,從中有放回的抽取5個(gè)球,恰好抽出4個(gè)白球.(YES)
思考:在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率均為p,那么,在這n次試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生K次的概率是多少?問(wèn)題探究Ohhhh,進(jìn)球拉?。?!我要努力!情境創(chuàng)設(shè)
我們先來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題:姚明作為中鋒,他職業(yè)生涯的罰球命中率若為0.8,假設(shè)他每次命中率相同,請(qǐng)問(wèn)他3投2中的概率是多少?答案:0.384創(chuàng)設(shè)情景分析1這是一個(gè)3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),設(shè)“射中目標(biāo)”為事件A,則P(A)=p,P()=1-p(記為q),見(jiàn)課本P63面2-4-1的樹(shù)形圖來(lái)表示該試驗(yàn)的過(guò)程和結(jié)果。由樹(shù)形圖可見(jiàn),隨機(jī)變量的概率分布如下表所示。情境創(chuàng)設(shè)我們?cè)賮?lái)研究下面的問(wèn)題:姚明投籃3次,每次命中的概率都為p>0。設(shè)隨機(jī)變量是命中的次數(shù)X,求隨機(jī)變量X的概率分布。X0123P分析2在X=k時(shí),根據(jù)試驗(yàn)的獨(dú)立性,事件A在某指定的k次發(fā)生時(shí),其余的3-k次則不發(fā)生,其概率為
,而3次試驗(yàn)中發(fā)生k次A的方式有
種,故有
。
因此,概率分布可以表示為下表一般地,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)A事件發(fā)生的概率均為P(0<P<1),即
。由于試驗(yàn)的獨(dú)立性,n次試驗(yàn)中,事件A在某指定的K次發(fā)生,而在其余n-k次不發(fā)生的概率為
。又由于在n次試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生K次的方式有種,事件A恰好發(fā)生K次的概率為
。它恰好是
的二項(xiàng)展開(kāi)式中的第n項(xiàng)。意義建構(gòu)).,2,1,0()1()(nkPPCkPknkknnL=-=-
一般地,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,如果事件A在其中1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P(0<P<1),那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是:B(n,p)形成概念說(shuō)明:P(X=k)就是的展開(kāi)式中的第k+1項(xiàng),故此公式稱(chēng)為二項(xiàng)分布公式。1).公式適用的條件2).公式的結(jié)構(gòu)特征(其中k=0,1,2,···,n)實(shí)驗(yàn)總次數(shù)事件A發(fā)生的次數(shù)事件A發(fā)生的概率意義理解課本例1:求隨機(jī)拋擲100次均勻硬幣,正好出現(xiàn)50次正面的概率。變式思考1:隨機(jī)拋擲100次均勻硬幣正好出現(xiàn)50次反面的概率為多少?分析將一枚均勻硬幣隨機(jī)拋擲100次,相當(dāng)于做了100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),每次試驗(yàn)有兩個(gè)可能結(jié)果,即出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面,且P(A)=0.5。解:設(shè)X為拋擲100次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),依題意,隨機(jī)變量X~B(100,0.5),答隨機(jī)拋擲100次均勻硬幣,正好出現(xiàn)次正面的概率約為。數(shù)學(xué)運(yùn)用舉例課本例2:設(shè)某保險(xiǎn)公司吸收10000人參加人身意外保險(xiǎn),該公司規(guī)定:每人每年付公司120元,若意外死亡,公司將賠償10000元。如果已知每人每年意外死亡的概率為0.006,那么公司會(huì)賠本嗎?解設(shè)這10000人中意外死亡的人數(shù)為X,根據(jù)題意,X~B(10000,0.006):,死亡人數(shù)為X人時(shí),公司要賠償X萬(wàn)元,此時(shí)公司的利潤(rùn)為(120-X)萬(wàn)元。由上述分布,公司賠本的概率為這說(shuō)明,公司幾乎不會(huì)賠本。答:公司幾乎不會(huì)賠本。變式思考2:該公司賠本及贏利額在400000元以上的概率分別是多少?數(shù)學(xué)運(yùn)用舉例
解:利潤(rùn)不少于400000元的概率為:
,即公司約有99.4%的概率能賺到400000元以上。變式訓(xùn)練1在人壽保險(xiǎn)事業(yè)中,很重視某一年齡的投保人的死亡率,假如每個(gè)投保人能活到65歲的概率約為0.6,試問(wèn)3個(gè)投保人中,(1)全部活到65歲的概率;(2)
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