數(shù)據(jù)、模型與決策3

Data,ModelandDecisions數(shù)據(jù)、模型與決策Session3LinearProgrammingFormulationandApplications線性規(guī)劃的建模與應(yīng)用KeyCategoriesofLPProblems線性規(guī)劃問題主要類型資源分配問題（resource-allocation）

成本收益平衡問題（cost-benefit-trade-off）

網(wǎng)絡(luò)配送問題（distribution-network）

混合問題（mixedProblem）3.1資源分配問題資源分配問題是將有限的資源分配到各種活動（決策）中去的線性規(guī)劃問題。這一類問題的共性是在線性規(guī)劃模型中每一個函數(shù)約束均為資源約束,并且每一種資源都可以表現(xiàn)為如下的形式：使用的資源數(shù)量可用的資源數(shù)量對任何資源分配問題，有三種數(shù)據(jù)必須收集：（1）每種資源的可供量；（2）每一種活動所需要的各種資源的數(shù)量,對于每一種資源與活動的組合,單位活動所消耗的資源量必須首先估計出來；（3）每一種活動對總的績效測度（如總利潤）的單位貢獻(xiàn)（如單位利潤）。3.1資源分配問題例3.1某公司是商務(wù)房地產(chǎn)開發(fā)項目的主要投資商。目前，該公司有機(jī)會在三個建設(shè)項目中投資： 項目1：建造高層辦公樓； 項目2：建造賓館； 項目3：建造購物中心。每個項目都要求投資者在四個不同的時期投資：在當(dāng)前預(yù)付定金，以及一年、二年、三年后分別追加投資。表3-1顯示了四個時期每個項目所需資金（百萬元）。投資者可以按一定的比例進(jìn)行投資和獲得相應(yīng)比例的收益。年份辦公樓項目賓館項目購物中心項目0（現(xiàn)在）408090160805029080203107060凈現(xiàn)值457050公司目前有2500萬元資金可供投資，預(yù)計一年后，又可獲得2000萬元，兩年后獲得另外的2000萬元，三年后還有1500萬元以供投資。那么，該公司要在每個項目中投資多少比例，才能使其投資組合獲得最大的總凈現(xiàn)值？3.1資源分配問題解：這是一個資源分配問題。(1)決策變量設(shè)：x1，x2，x3分別為在辦公樓項目、賓館項目、購物中心項目中的投資比例(2)目標(biāo)函數(shù)本問題的目標(biāo)是總凈現(xiàn)值最大3.1資源分配問題(3)約束條件本題的約束條件是公司在各期可獲得的資金限制（資源約束）。但要注意的是：前一期尚未使用的資金，可以在下一期使用（為了簡化問題，不考慮資金可獲得的利息）。因此，每一時點的資金限制就表現(xiàn)為累計的資金。表3-2顯示了累計的資金數(shù)據(jù)。年份辦公樓項目賓館項目購物中心項目可用資金0（現(xiàn)在）40809025110016014045219024016065320031022080凈現(xiàn)值4570503.1資源分配問題數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃模型）3.1資源分配問題電子表格模型3.2成本收益平衡問題成本收益平衡問題與資源分配問題的形式完全不同，這種差異主要是因為兩種問題的管理目標(biāo)不同而造成的。在資源分配問題中，各種資源是受限制的因素（包括財務(wù)資源），問題的目標(biāo)是最有效地利用各種資源，使獲利最大。而對于成本收益平衡問題，管理層采取更為主動的姿態(tài)，他們指明哪些收益必須實現(xiàn)（不管如何使用資源），并且要以最低的成本實現(xiàn)所指明的收益。這樣，通過指明每種收益的最低可接受水平，以及實現(xiàn)這些收益的最小成本，管理層期望獲得成本和收益之間的適度平衡。因此，成本收益平衡問題是一類線性規(guī)劃問題，這類問題中，通過選擇各種活動水平的組合，從而以最小的成本來實現(xiàn)最低可接受的各種收益水平。3.2成本收益平衡問題成本收益平衡問題的共性是，所有的函數(shù)約束均為收益約束，并具有如下的形式：

完成的水平最低可接受的水平如果將收益的含義擴(kuò)大，所有以“”表示的函數(shù)約束均為收益約束。成本收益平衡問題需要的三種數(shù)據(jù)：（1）每種收益的最低可接受水平（管理決策）；（2）每一種活動對每一種收益的貢獻(xiàn)（單位活動的貢獻(xiàn)）；（3）每種活動的單位成本。3.2成本收益平衡問題排班問題是成本收益平衡問題研究的最重要的應(yīng)用領(lǐng)域之一。在這一領(lǐng)域中，管理層意識到在向顧客提供令人滿意的服務(wù)水平的同時必須進(jìn)行成本控制，因此，必須尋找成本和收益之間的平衡。于是，研究如何規(guī)劃每個輪班人員才能以最小的成本提供令人滿意的服務(wù)。例3.2某航空公司正準(zhǔn)備增加其中心機(jī)場的往來航班，因此需要雇傭更多的服務(wù)人員。不同時段有最少需要服務(wù)人員數(shù)，有5種排班方式，每8小時為一班。3.2成本收益平衡問題例3.2（續(xù)）5種排班方式排班1：6AM～2PM，即早上6點上班；排班2：8AM～4PM，即早上8點上班；排班3：中午～8PM，即中午12點上班；排班4：4PM～午夜，即下午4點上班；排班5：10PM～6M，即晚上10點上班。時段排班1排班2排班3排班4排班5最少需要人數(shù)6AM～8AM√488AM～10AM√√7910AM～中午√√65中午～2PM√√√872PM～4PM√√644PM～6PM√√736PM～8PM√√828PM～10PM√4310PM～午夜√√52午夜～6PM√15每人每天工資(元)1701601751801953.2成本收益平衡問題解:這是一個純成本收益平衡問題。（1）決策變量本問題的決策是不同排班的人數(shù)。設(shè)：xi為排班i的人數(shù)(i＝1,2,,5)（2）目標(biāo)函數(shù)本問題的目標(biāo)是人員總費用（工資）最少，即3.2成本收益平衡問題（3）約束條件

①每個時段的在崗人數(shù)必須不少于最低可接受水平（最少需要人數(shù)）②非負(fù)3.2成本收益平衡問題數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃模型）3.2成本收益平衡問題電子表格模型3.3網(wǎng)絡(luò)配送問題通過配送網(wǎng)絡(luò)能以最小的成本完成貨物的配送，所以稱之為網(wǎng)絡(luò)配送問題。與確定資源和收益一樣，在網(wǎng)絡(luò)配送問題中，必須確定需求以及相應(yīng)地確定需求的約束條件。確定需求約束的形式如下：提供的數(shù)量＝需求的數(shù)量3.3網(wǎng)絡(luò)配送問題例3.3某公司網(wǎng)絡(luò)配送問題。某公司在兩個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品。現(xiàn)在收到三個顧客的下個月定單要購買這種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品會被單獨運送，表3-4顯示了從每個工廠到每個顧客的運送一個產(chǎn)品的成本。該表同樣表明了每個顧客的訂貨量和每個工廠的生產(chǎn)量?，F(xiàn)在公司的物流經(jīng)理要決定從每個工廠運送多少個產(chǎn)品到每個顧客那里才能使總成本最小？

單位運輸成本（元/個）產(chǎn)量（個）顧客1顧客2顧客3工廠170090080012工廠280090070015訂貨量(個)108927(產(chǎn)銷平衡)3.3網(wǎng)絡(luò)配送問題解:由于“總產(chǎn)量（27）＝總訂貨量（27）”，所以本問題是一個平衡運輸問題。（1）決策變量本問題的決策為從每個工廠運送多少個產(chǎn)品到每個顧客那里。設(shè)：xi-j為從工廠i運輸?shù)筋櫩蚸的產(chǎn)品數(shù)量（i＝F1,F2;j=C1,C2,C3)（2）目標(biāo)函數(shù)本問題的目標(biāo)是使得公司總運輸成本最低3.3網(wǎng)絡(luò)配送問題（3）約束條件①從工廠運送出去的產(chǎn)品數(shù)量等于其產(chǎn)量②顧客收到的產(chǎn)品數(shù)量等于其訂貨量③非負(fù)3.3網(wǎng)絡(luò)配送問題數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃模型）3.3網(wǎng)絡(luò)配送問題電子表格模型3.4混合問題前面討論了線性規(guī)劃問題的三種類型：資源分配問題、成本收益平衡問題以及網(wǎng)絡(luò)配送問題。每一類問題都是以一類約束條件為特色的。實際上，純資源分配問題的共性是它所有的函數(shù)約束均為資源約束（≤）而成本收益平衡問題的共性是它所有的函數(shù)約束均為收益約束（）網(wǎng)絡(luò)配送問題中，主要的函數(shù)約束為一特定類型的確定需求約束（＝）3.4混合問題但許多線性規(guī)劃問題并不能直接歸入三類中的某一類，一些問題勉強(qiáng)可以歸入一類，因其主要的函數(shù)約束與表3-5的相應(yīng)函數(shù)約束大致相同。另一些問題卻沒有一類占主導(dǎo)地位的函數(shù)約束，不能歸入前三類中的某一類。因此，混合問題是第四類線性規(guī)劃問題，這一類型將包括所有未歸入前述三類中的線性規(guī)劃問題。一些混合問題僅包含兩類函數(shù)約束，而更多的是包含三類函數(shù)約束。3.4混合問題表3-5各類函數(shù)約束類型形式*解釋主要用于資源約束LHSRHS對于特定的資源使用的數(shù)量

可獲得的數(shù)量資源分配問題混合問題收益約束LHSRHS對于特定的收益到達(dá)的水平

最低可接受水平成本收益平衡問題混合問題確定需求約束LHS=RHS對于一些數(shù)量提供的數(shù)量=需求的數(shù)量網(wǎng)絡(luò)配送問題混合問題*LHS=左式（一個SUMPRODUCT函數(shù)）RHS=右式（一般為常數(shù)）3.4混合問題配料問題。這類問題的一般提法是：由多種原料制成含有m種成分的產(chǎn)品，已知產(chǎn)品中所含各種成分的比例要求、各種原料的單位價格以及各原料所含成分的數(shù)量?？紤]的問題是：應(yīng)如何配料，可使產(chǎn)品的總成本最低。例3.4配料問題。某公司計劃要用Ａ、Ｂ、C三種原料混合調(diào)制出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，產(chǎn)品的規(guī)格要求和單價、原料的供應(yīng)量和單價等數(shù)據(jù)如表3-6所示。問：該公司應(yīng)如何安排生產(chǎn)，可使總利潤最大？3.4混合問題表3-6混合配料數(shù)據(jù)表ABC產(chǎn)品單價（元/千克）甲50%35%不限90乙40%45%不限85丙30%50%20%65原料供應(yīng)量（千克）200150100原料單價（元/千克）6035303.4混合問題解：（1）決策變量本問題的難點在于給出的數(shù)據(jù)是非確定數(shù)值，而且各產(chǎn)品與原料的關(guān)系較為復(fù)雜。為了方便，設(shè)xij表示原料i（i=A，B，C）用于產(chǎn)品j（j=1為甲，j=2為乙，j=3為丙）的數(shù)量。（2）目標(biāo)函數(shù) 本問題的目標(biāo)是使總利潤最大總利潤＝產(chǎn)品收入－原料支出3.4混合問題（3）約束條件本題的約束條件：原料供應(yīng)量限制3個、規(guī)格要求7個和決策變量非負(fù)。在例3.4中，有9個決策變量和10個函數(shù)約束條件，包括5個資源約束、2個收益約束和3個確定需求約束。3.4混合問題電子表格模型3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用前面按照函數(shù)約束的分類，介紹了四種線性規(guī)劃問題：資源分配問題（,資源約束）成本收益平衡問題（，收益約束）網(wǎng)絡(luò)配送問題（=，確定需求約束）混合問題（包含兩種或三種類型的約束函數(shù)）本節(jié)按照應(yīng)用方面介紹線性規(guī)劃在生產(chǎn)計劃問題、資金管理問題、市場調(diào)查問題和混合配料問題等方面的應(yīng)用3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用建立線性規(guī)劃模型的過程可以分為四個步驟：設(shè)立決策變量；用決策變量的線性函數(shù)表示目標(biāo)，并確定是求最大（Max）還是最?。∕in）；明確約束條件并用決策變量的線性等式或不等式表示；根據(jù)決策變量的物理性質(zhì)研究變量是否有非負(fù)性。3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用生產(chǎn)計劃問題是企業(yè)生產(chǎn)過程中常常遇到的問題，其中最簡單的一種形式可以描述如下（資源分配問題）：用若干種原材料（資源）生產(chǎn)某幾種產(chǎn)品，原材料（或某種資源）供應(yīng)量有一定的限制，要求制定一個產(chǎn)品生產(chǎn)計劃，使其在給定的資源限制條件下能得到最大收益。3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用例3.5某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都要經(jīng)過鑄造、機(jī)加工和裝配三個車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，也可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。有關(guān)情況的數(shù)據(jù)如表3-9所示。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應(yīng)多少件？3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用表3-9自行生產(chǎn)或外包的有關(guān)數(shù)據(jù)產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品丙工時限制單件鑄造工時（小時）51078000單件機(jī)加工工時（小時）64812000單件裝配工時（小時）32210000自產(chǎn)鑄件成本（元/件）354外協(xié)鑄件成本（元/件）56－機(jī)加工成本（元/件）213裝配成本（元/件）322產(chǎn)品售價（元/件）2318163.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用解：（1）決策變量此問題的難度是由于產(chǎn)品甲和乙的鑄件既可以外包協(xié)作，也可以自行生產(chǎn)，從而使問題復(fù)雜化。如果只設(shè)甲、乙、丙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2、x3，則由于產(chǎn)品甲和乙的鑄件來源不同造成單位利潤不同，因此目標(biāo)函數(shù)中x1和x2的系數(shù)不是常數(shù)，目標(biāo)函數(shù)成為非線性函數(shù)，但是如果把它們區(qū)分開來，另設(shè)兩個變量，則可以較容易地建立問題的線性規(guī)劃模型。設(shè)x1、x2、x3分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)；x4、x5分別為由外協(xié)鑄造再由本公司機(jī)加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)。3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用（2）目標(biāo)函數(shù)本問題的目標(biāo)是使得公司獲得的總利潤最大。為了建立目標(biāo)函數(shù)，首先計算各決策變量的單位利潤：單位利潤＝售價-成本（鑄造、機(jī)加工、裝配）3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用（3）約束條件（3個資源約束、非負(fù)約束） ①鑄造工時限制 ②機(jī)加工工時限制 ③裝配工時限制 ④非負(fù)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃模型）3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用電子表格模型3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用例3.7某公司根據(jù)訂單進(jìn)行生產(chǎn)。已知半年內(nèi)對某產(chǎn)品的需求量、單位生產(chǎn)費用和單位存儲費用,還已知公司每月的生產(chǎn)能力為100，每月倉庫容量為50。問：如何確定產(chǎn)品未