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文檔簡介

Ch3連續(xù)型隨機(jī)變量引子

前面我們學(xué)習(xí)過離散隨機(jī)變量的分布率,離散隨機(jī)變量的取值有有限個或者可列個,但實(shí)際問題很多情況并不能用離散隨機(jī)變量描述,比如幾何概型問題,如何刻畫它的概率規(guī)律呢?區(qū)間描述方法一、分布函數(shù)定義設(shè)X隨機(jī)變量,對任意實(shí)數(shù)x,事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。記為F(x),即F(x)=P{Xx}。易知,對任意實(shí)數(shù)a,b(a<b)有:

P{a<Xb}=P{Xb}-P{Xa}=F(b)-F(a)。把隨機(jī)變量X的值看成數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo),那么X表示數(shù)軸上的一個隨機(jī)點(diǎn),分布F(x)表示隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間

上的概率例設(shè)隨機(jī)變量X具分布律

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。例設(shè)陀螺頂面圓周長為單位,現(xiàn)在其上從0~1均勻刻度,若讓X表示陀螺靜止時其頂面圓周與地面的接觸點(diǎn),則X是隨機(jī)變量,求X的分布函數(shù)

分布函數(shù)的性質(zhì)1.單調(diào)不減性:若x1<x2,則F(x1)F(x2);2.非負(fù)規(guī)范性:對任意實(shí)數(shù)x,0F(x)1,且01

3.

右連續(xù)性:對任意實(shí)數(shù)x0,反之,具有上述三個性質(zhì)的實(shí)函數(shù),必是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。一般的,對離散型隨機(jī)變量

X~P{X=xk

}=pk,k=1,2,…其分布函數(shù)為二、一維連續(xù)性隨機(jī)變量及其分布1、密度函數(shù)(1)定義

對于隨機(jī)變量X,若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),(-<x<+),使對任意實(shí)數(shù)x,都有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,簡稱概率密度或密度函數(shù)。

f(x)為X的概率密度函數(shù),記為

X~f(x),(-<x<+)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)為連續(xù)函數(shù)。(2).密度函數(shù)的性質(zhì)(1)

f(x)0,(-<x<);(2)性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì);(3)若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn),f(x)0x1

(4)例

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為例已知r.v.X的分布函數(shù)為:注:對bR,若X~f(x),(-<x<),則P{X=b}=0。即:連續(xù)型隨機(jī)變量取單點(diǎn)值的概率為零。例已知r.v.X的密度函數(shù)為:求

r.v.X的分布函數(shù)2、幾個常用的連續(xù)型分布(1)均勻分布若X~f(x)=則稱X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布。記為X~U(a,b)相應(yīng)地還有:U[a,b],U[a,b),U(a,b]U(a

,b)(2).

指數(shù)分布若X~則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。指數(shù)分布常用來作為各種“壽命”分布的近似。指數(shù)分布的性質(zhì):(i)無記憶性s>0,t>0:(ii)與泊松分布關(guān)系(3).

正態(tài)分布(高斯(Gauss)分布)若正態(tài)分布有三個特性:(i)單峰對稱記為N,可表為X~N其中>0,為實(shí)數(shù),則稱X服從參數(shù)為(

,)的正態(tài)分布,其圖形關(guān)于直線x=

對稱;f()=maxf(x)=(ii)的大小直接影響概率的分布越小,曲線越陡峻,概率分布越集中,曲線又高又瘦。越大,曲線越平坦,概率分布越分散,曲線又矮又胖;xf(x)o(iii)有兩個拐點(diǎn)(4).

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可表為N(0,1)。為了區(qū)別于一般的正態(tài)分布,其密度函數(shù)表示為分布函數(shù)表示為參數(shù)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,N(0,1)的性質(zhì):(1)

(x)=1(x);N(0,1)。F(x)=P{Xx}=P{a<Xb}=P{aXb}=P{a<X<b}=P{Xb}P{Xa}書后附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供查閱(x)的值。(2)

若X~N(),則若X~N(),則例一般地對于X~N(0,1),如z

滿足:P{X>z

}=,0<<1則稱z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。z

P{X

z

}=1,第二節(jié)二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1.

聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,(x,y)R2,則稱F(x

,y)=P{Xx,Yy}為(X,Y)的分布函數(shù),或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。對于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2,y1<y2),則P{x1<X

x2,

y1<Yy2}=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)F(x1,y1).一、聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)幾何意義:聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質(zhì):(1)非負(fù)規(guī)范對任意(x,y)R2,0F(x,y)1,且F(+,+)=1;F(-,-)=0,F(x,-)=0,F(-,y)=0。(2)單調(diào)不減對任意yR,當(dāng)x1<x2時,F(xiàn)(x1,y)F(x2,y);

對任意xR,當(dāng)y1<y2時,F(xiàn)(x,y1)F(x,y2).(3)右連續(xù)對任意yR,對任意xR,(4)矩形不等式對于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2,

y1<y2),F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)0.反之,任一滿足上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)。2.

邊緣分布FX(x)=F(x,+)==P{Xx}=P{Xx,Y<

+

}稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù);FY(y)=F(+,y)==P{Yy}=P{X<

+

,Yy}稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).邊緣分布仍是一個分布函數(shù)二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)對于二維隨機(jī)變量(X,Y),若存在一個非負(fù)可積函數(shù)f(x,y),使對(x,y)R2,其分布函數(shù)可以寫成則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,

f(x,y)稱為(X,Y)的密度函數(shù)(概率密度),或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù),可記為

(X,Y)~f(x,y),(x,y)R2聯(lián)合密度f(x,y)的性質(zhì)(1)非負(fù)性:

f(x,y)0,(x,y)R2;(2)完備性:反之,具有以上兩個性質(zhì)的二元函數(shù)f(x,y),必是某個二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。此外,f(x,y)還有下述性質(zhì)(3)若f(x,y)在(x,y)R2處連續(xù),則有(4)對于任意平面區(qū)域GR2,P{(X,Y)G}=例注意:將二重積分化成累次積分x

+

y

=

1x=1y=2例兩個常用的二維連續(xù)型分布(1)二維均勻分布若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱(X,Y)在區(qū)域G上(內(nèi))服從均勻分布。若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為(2)二維正態(tài)分布N(X,Y)~N()其中,、為實(shí)數(shù),>0、

>0、||<1,則稱(X,Y)服從參數(shù)為

,,,,的二維正態(tài)分布,可記為三邊緣密度函數(shù)設(shè)(X,Y)~f(x,y),(x,y)R2,則稱為(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù);同理,稱為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。定義例(注意觀察計算結(jié)果)故二維正態(tài)分布的邊緣分布也是正態(tài)分布。例已知二元r.v.(X,Y)~N(

)求邊緣概率密度函數(shù)。即若(X,Y)~N(

),則X~N(),Y~N(

)。四條件密度函數(shù)定義例五隨機(jī)變量的獨(dú)立性1.隨機(jī)變量相互獨(dú)立的一般定義設(shè)X1,X2,…,Xn為n

個隨機(jī)變量,若對任意(x1,x2,…,xn

)Rn,有P{X1x1,…,Xn

xn

}=P{X1x1}…P{Xn

xn

}即F(x1,x2,…,xn)=FX1(x1)FX2(x2)…FXn(xn

),則稱X1,X2,…,Xn

相互獨(dú)立。2.隨機(jī)變量相互獨(dú)立的等價定義定理一設(shè)(X,Y)~f(x,y),(x,y)R2,fX(x),fY(y)分別為X與Y的邊緣密度,則X與Y相互獨(dú)立等價于

f(x,y)=fX(x)fY(y),對任意(x,y)R2幾乎處處成立。例例

證明下述的定理:上述可以推廣到n維連續(xù)型隨機(jī)變量的情形:設(shè)X1,X2,…,Xn為n個連續(xù)型隨機(jī)變量,若對任意的(x1,x2,…,xn

)Rn,

f(x1,x2,…,xn

)=fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn

)幾乎處處成立,則稱X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立。定理二設(shè)(X1,,X2,…,Xn

)與(Y1,Y2,…,Yn

)相互獨(dú)立,則Xi

(i=1,2,…,m)與Yj

(j=1,2,…,n)相互獨(dú)立;又若h,g是連續(xù)函數(shù),則h(X1,,X2,…,Xn

)與g(Y1,Y2,…,Yn

)相互獨(dú)立。六連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)1.一維變量的情形(1)一般方法若X~f(x),-<x<+,Y=g(X)為隨機(jī)變量X的函數(shù),則可先求Y的分布函數(shù):FY

(y)

=P{Yy}=P{g(X)y}=然后再求Y的密度函數(shù):

fY

(y)=此法也叫“分布函數(shù)法”。(2)公式法若X~f(x),xR,y=g(x)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),則Y=g(X)~fY(y)=其中h(y)為y=g(x)的反函數(shù),=min{g(-),g(+)},=max{g(-),g(+)}.Notes:只有當(dāng)Y是X的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時,才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)。例設(shè)r.v.X的密度函數(shù)為f(x),求Y=a+bX的密度函數(shù)。例2.

多個隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)分布函數(shù)法若(X1,X2,…,Xn

)~f(x1,x2,…,xn

),(x1,x2,…,xn

)Rn,Y=g(X1,X2,…,Xn

),則可先求Y的分布函數(shù):然后再求出Y的密度函數(shù):(2)幾個常用函數(shù)的密度函數(shù)a.和的分布已知(X,Y)~f(x,y),(x,y)R2,求Z=X+Y的密度。若X與Y相互獨(dú)立,則Z=X+Y的密度函數(shù)上式稱為連續(xù)型隨機(jī)變量的卷積公式。例另一種解法見黑板例解:結(jié)論b.極大(小)統(tǒng)計量的分布設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,其分布函數(shù)分別為F1(x1),F2(x2

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