數(shù)控編程中的數(shù)學(xué)處理

3數(shù)控編程中的數(shù)學(xué)處理學(xué)習(xí)目標(biāo)了解數(shù)控編程前數(shù)學(xué)處理的主要內(nèi)容和基本的方法掌握利用三角函數(shù)計(jì)算基點(diǎn)坐標(biāo)的方法了解非圓曲線節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的概念掌握輔助坐標(biāo)點(diǎn)的計(jì)算方法3.1編程中數(shù)學(xué)處理的主要內(nèi)容在加工零件圖形之前，我們必須要先編程，但是在編程的過(guò)程中我們通常會(huì)遇到某些坐標(biāo)點(diǎn)的值在圖形中是沒(méi)有計(jì)算出來(lái)的，這時(shí)候我們就要涉及到數(shù)值處理。數(shù)學(xué)處理的主要任務(wù)就是根據(jù)圖紙數(shù)據(jù)求出編程所需的數(shù)據(jù)。另外，一般數(shù)控系統(tǒng)只能加工直線和圓弧，當(dāng)工件表面是由其它復(fù)雜曲線或曲面構(gòu)成時(shí)，首先要用直線和圓弧去擬合工件輪廓，這也是數(shù)學(xué)處理的任務(wù)之一。數(shù)值處理主要包括以下內(nèi)容：1.基點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算2.刀位點(diǎn)軌跡的計(jì)算3.輔助計(jì)算基點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算零件的輪廓是由許多不同的幾何元素組成。如直線、圓弧、二次曲線及列表點(diǎn)曲線等。各幾何元素間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)稱為基點(diǎn)，如兩直線的交點(diǎn)，直線和圓弧或圓弧和圓弧之間的交點(diǎn)與切點(diǎn)，顯然，相鄰基點(diǎn)間只能是一個(gè)幾何元素?；c(diǎn)例：圖所示零件中，A、B、C、D、E為基點(diǎn)。A、B、D、E的坐標(biāo)值從圖中很容易找出,C點(diǎn)是直線與圓弧切點(diǎn)，要聯(lián)立方程求解。以B點(diǎn)為計(jì)算坐標(biāo)系原點(diǎn)，聯(lián)立下列方程：

可求得（64.2786，39.5507），換算到以A點(diǎn)為原點(diǎn)的編程坐標(biāo)系中，C點(diǎn)坐標(biāo)為（64.2786，51.5507）。對(duì)于由直線與直線或直線與圓弧構(gòu)成的平面輪廓零件，由于目前一般機(jī)床都有直線、圓弧插補(bǔ)的功能，數(shù)值計(jì)算較為簡(jiǎn)單。當(dāng)零件的形狀是由直線段或圓弧之外的其他曲線構(gòu)成，而數(shù)控裝置又不具備該曲線的插補(bǔ)功能時(shí)，其數(shù)值計(jì)算就比較復(fù)雜。將組成零件輪廓曲線，按數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)功能的要求，在滿足允許的編程誤差的條件下，用若干直線段或圓弧來(lái)逼近給定的曲線，逼近線段的交點(diǎn)或切點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。

對(duì)非圓曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，實(shí)質(zhì)就是計(jì)算各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。如圖所示的曲線用直線逼近時(shí)，其交點(diǎn)A、B、C、D、E、F等即為節(jié)點(diǎn)。

編寫程序時(shí)，應(yīng)按節(jié)點(diǎn)劃分程序段。逼近線段的近似區(qū)間愈大，則節(jié)點(diǎn)數(shù)目愈少，相應(yīng)地程序段數(shù)目也會(huì)減少，但逼近線段的誤差d應(yīng)小于或等于編程允許誤差d允，即d≤d允?？紤]到工藝系統(tǒng)及計(jì)算誤差的影響，d允一般取零件公差的1/5～1/10。（2）刀位點(diǎn)軌跡的計(jì)算

刀位點(diǎn)是指在加工程序編制中，用以表示刀具特征的點(diǎn)，也是對(duì)刀和加工的基準(zhǔn)點(diǎn)。對(duì)于車刀，各類車刀的刀位點(diǎn)。

刀位點(diǎn)是標(biāo)志刀具所處不同位置的坐標(biāo)點(diǎn)，不同類型刀具的刀位點(diǎn)不同。對(duì)于具有刀具半徑補(bǔ)償功能的數(shù)控機(jī)床，只要在編寫程序時(shí)，在程序的適當(dāng)位置寫入建立刀具補(bǔ)償?shù)挠嘘P(guān)指令，就可以保證在加工過(guò)程中，使刀位點(diǎn)按一定的規(guī)則自動(dòng)偏離編程軌跡，達(dá)到正確加工的目的。這時(shí)可直接按零件輪廓形狀，計(jì)算各基點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，并作為編程時(shí)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)。當(dāng)機(jī)床所采用的數(shù)控系統(tǒng)不具備刀具半徑補(bǔ)償功能時(shí)，編程時(shí)，需對(duì)刀具的刀位點(diǎn)軌跡進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，按零件輪廓的等距線編程。例如簡(jiǎn)單的數(shù)控車床，編程時(shí)就需要做某些偏置計(jì)算。（3）輔助計(jì)算輔助計(jì)算包括增量計(jì)算及輔助程序段的數(shù)值計(jì)算

輔助程序段是指刀具從對(duì)刀點(diǎn)到切人點(diǎn)或從切出點(diǎn)返回到對(duì)刀點(diǎn)而特意安排的程序段。切入點(diǎn)位置的選擇應(yīng)依據(jù)零件加工余量而定，適當(dāng)離開(kāi)零件一段距離。切出點(diǎn)位置的選擇，應(yīng)避免刀具在快速返回時(shí)發(fā)生撞刀。使用刀具補(bǔ)償功能時(shí)，建立刀補(bǔ)的程序段應(yīng)在加工零件之前寫入，加工完成后應(yīng)取消刀具補(bǔ)償。某些零件的加工，要求刀具“切向”切入和“切向”切出。以上程序段的安排，在繪制走刀路線時(shí)，即應(yīng)明確地表達(dá)出來(lái)。數(shù)值計(jì)算時(shí)，按照走刀路線的安排，計(jì)算出各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。2、基點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算

零件輪廓或刀位點(diǎn)軌跡的基點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算，一般采用代數(shù)法或幾何法。代數(shù)法是通過(guò)列方程組的方法求解基點(diǎn)坐標(biāo)，這種方法雖然已根據(jù)輪廓形狀，將直線和圓弧的關(guān)系歸納成若干種方式，并變成標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算形式，方便了計(jì)算機(jī)求解，但手工編程時(shí)采用代數(shù)法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算還是比較繁瑣。根據(jù)圖形間的幾何關(guān)系利用三角函數(shù)法求解基點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算比較簡(jiǎn)單、方便，與列方程組解法比較，工作量明顯減少。要求重點(diǎn)掌握三角函數(shù)法求解基點(diǎn)坐標(biāo)。對(duì)于由直線和圓弧組成的零件輪廓，采用手工編程時(shí)，常利用直角三角形的幾何關(guān)系進(jìn)行基點(diǎn)坐標(biāo)的數(shù)值計(jì)算，圖3-1為直角三角形的幾何關(guān)系，三角函數(shù)計(jì)算公式列于表3-1。圖3-1直角三角形的幾何關(guān)系

表3-1直角三角形中的幾何關(guān)系3、非圓曲線節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算（1）非圓曲線節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算的主要步驟數(shù)控加工中把除直線與圓弧之外可以用數(shù)學(xué)方程式表達(dá)的平面輪廓曲線，稱為非圓曲線。其數(shù)學(xué)表達(dá)式可以直角坐標(biāo)的形式給出，也可以是以極坐標(biāo)形式給出，還可以是以參數(shù)方程的形式給出。通過(guò)坐標(biāo)變換，后面兩種形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可以轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)表達(dá)式。非圓曲線類零件包括平面凸輪類、樣板曲線、圓柱凸輪以及數(shù)控車床上加工的各種以非圓曲線為母線的回轉(zhuǎn)體零件等等。其數(shù)值計(jì)算過(guò)程，一般可按以下步驟進(jìn)行。①選擇插補(bǔ)方式。即應(yīng)首先決定是采用直線段逼近非圓曲線，還是采用圓弧段或拋物線等二次曲線逼近非圓曲線。②確定編程允許誤差，即應(yīng)使d≤d允。③選擇數(shù)學(xué)模型，確定計(jì)算方法。在決定采取什么算法時(shí)，主要應(yīng)考慮的因素有兩條，其一是盡可能按等誤差的條件，確定節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)位置，以便最大程度地減少程序段的數(shù)目；其二是盡可能尋找一種簡(jiǎn)便的算法，簡(jiǎn)化計(jì)算機(jī)編程，省時(shí)快捷。④根據(jù)算法，畫出計(jì)算機(jī)處理流程圖。⑤用高級(jí)語(yǔ)言編寫程序，上機(jī)調(diào)試程序，并獲得節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)。（2）常用的算法用直線段逼近非圓曲線，目前常用的節(jié)點(diǎn)計(jì)算方法有等間距法、等程序段法、等誤差法和伸縮步長(zhǎng)法；用圓弧段逼近非圓曲線，常用的節(jié)點(diǎn)計(jì)算方法有曲率圓法、三點(diǎn)圓法、相切圓法和雙圓弧法。用直線段逼近非圓曲線時(shí)節(jié)點(diǎn)的計(jì)算

割線逼近弦線逼近切線逼近第5章數(shù)控加工程序編制基礎(chǔ)CNC5.4數(shù)控編程中的數(shù)學(xué)處理①等間距直線段逼近法——等間距法就是將某一坐標(biāo)軸劃分成相等的間距。如圖3-2所示。圖3-2等間距法直線段逼近②等程序段法直線逼近的節(jié)點(diǎn)計(jì)算——等程序段法就是使每個(gè)程序段的線段長(zhǎng)度相等。如圖3-3所示。

圖3-3等程序段法直線段逼近③等誤差法直線段逼近得節(jié)點(diǎn)計(jì)算——任意相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的逼近誤差為等誤差。各程序段誤差d均相等,程序段數(shù)目最少。但計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，必須由計(jì)算機(jī)輔助才能完成計(jì)算。在采用直線段逼近非圓曲線的擬合方法中，是一種較好的擬合方法。圖3-4等誤差法直線段逼近④曲率圓法圓弧逼近的節(jié)點(diǎn)計(jì)算——曲率圓法是用彼此相交的圓弧逼近非圓曲線。其基本原理是從曲線的起點(diǎn)開(kāi)始，作與曲線內(nèi)切的曲率圓，求出曲率圓的中心。如圖3-5所示。圖3-5曲率圓法圓弧段逼近⑤三點(diǎn)圓法圓弧逼近的節(jié)點(diǎn)計(jì)算——三點(diǎn)圓法是在等誤差直線段逼近求出各節(jié)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)連續(xù)三點(diǎn)作圓弧，并求出圓心點(diǎn)的坐標(biāo)或圓的半徑，如圖3-6所示。⑥相切圓法圓弧逼近的節(jié)點(diǎn)計(jì)算——如圖3-7所示。采用相切圓法，每次可求得兩個(gè)彼此相切的圓弧，由于在前一個(gè)圓弧的起點(diǎn)處與后一個(gè)終點(diǎn)處均可保證與輪廓曲線相切，因此，整個(gè)曲線是由一系列彼此相切的圓弧逼近實(shí)現(xiàn)的。可簡(jiǎn)化編程，但計(jì)算過(guò)程繁瑣。

4、列表曲線型值點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算

實(shí)際零件的輪廓形狀，除了可以用直線、圓弧或其他非圓曲線組成之外，有些零件圖的輪廓形狀是通過(guò)實(shí)驗(yàn)或測(cè)量的方法得到的。零件的輪廓數(shù)據(jù)在圖樣上是以坐標(biāo)點(diǎn)的表格形式給出，這種由列表點(diǎn)（又稱為型值點(diǎn)）給出的輪廓曲線稱為列表曲線。在列表曲線的數(shù)學(xué)處理方面，常用的方法有牛頓插值法、三次樣條曲線擬合、圓弧樣條擬合與雙圓弧樣條擬合等。由于以上各種擬合方法在使用時(shí)，往往存在著某種局限性，目前處理列表曲線的方法通常是采用二次擬合法。為了在給定的列表點(diǎn)之間得到一條光滑的曲線，對(duì)列表曲線逼近一般有以下要求：①方程式表示的零件輪廓必須通過(guò)列表點(diǎn)。②方程式給出的零件輪廓與列表點(diǎn)表示的輪廓凹凸性應(yīng)一致，即不應(yīng)在列表點(diǎn)的凹凸性之外再增加新的拐點(diǎn)。③光滑性。為使數(shù)學(xué)描述不過(guò)于復(fù)雜，通常一個(gè)列表曲線要用許多參數(shù)不同的同樣方程式來(lái)描述，希望在方程式的兩兩連接處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)，若不能保證一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則希望連接處兩邊一階導(dǎo)數(shù)的差值應(yīng)盡量小。5、數(shù)控車床使用假想刀尖點(diǎn)時(shí)偏置計(jì)算在數(shù)控車削加工種，為了對(duì)刀的方便，總是以“假想刀尖”點(diǎn)來(lái)對(duì)刀。所謂假想刀尖點(diǎn)，是指圖3-8a中M點(diǎn)的位置。由于刀尖圓弧的影響，僅僅使用刀具長(zhǎng)度補(bǔ)償，而不對(duì)刀尖圓弧半徑進(jìn)行補(bǔ)償，在車削錐面或圓弧面時(shí)，會(huì)產(chǎn)生欠切的情況，如圖3-9所示。圖3-8假想刀尖點(diǎn)編程時(shí)的補(bǔ)償計(jì)算

圖3-9欠切與過(guò)切現(xiàn)象

6、簡(jiǎn)單立體型面零件的數(shù)值計(jì)算用球頭刀或圓弧盤銑刀加工立體型面零件，刀痕在行間構(gòu)成了被稱為切殘量