第一講數(shù)學(xué)建模

第一講什么是數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1

從現(xiàn)實(shí)對象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模1.2

數(shù)學(xué)建模的重要意義

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；

數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼女孩子都愛美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起來最美嗎？1.3.1

高跟鞋問題1.3

數(shù)學(xué)建模示例穿高跟鞋是為了身高在視覺上得到增加，但是身高越高看起來越美嗎？理解問題合理化假設(shè)由黃金分割原理，我們不妨假定，當(dāng)人的下肢和身高的比為0.618時(shí)，看起來最美。設(shè)某人身高為h厘米，下肢長l厘米，高跟鞋的鞋跟為x厘米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題穿上高跟鞋后，身高為h+x厘米，下肢長l+x厘米。得到一個(gè)關(guān)于x的一次方程：問題的求解解該一次方程，得：問題的檢驗(yàn)以身高168CM，下肢長為102CM的人為例，其所穿鞋的鞋跟高度與好看程度的關(guān)系可由下表說明：原比(l/h)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值０.６０７１０.６０７１０.６０７１０.６０７１１６８１６８１６８１６８２.５３.５５４.５４.７７４８０.６１２９０.６１５１０.６１７３０.６１８問題的檢驗(yàn)又如，按照上述模型，身高153CM，下肢長為92CM的女士，應(yīng)穿鞋跟高為6.6CM的高跟鞋顯得比較美。評價(jià)和應(yīng)用由此看來，女孩們愛穿高跟鞋是有科學(xué)依據(jù)的，也使人聯(lián)想到為什么人們觀看芭蕾舞的時(shí)候有一種美的感受，可當(dāng)你看踩高翹表演時(shí)就沒有這種感覺。這下女生知道應(yīng)該如何選擇合適的高跟鞋了吧！1.3.2

烏鴉能喝到水嗎？小學(xué)課文：一只烏鴉口渴了，到處找水喝。烏鴉看見一個(gè)瓶子，瓶子里有水。可是瓶子里水不多，瓶口又小，烏鴉喝不著水，怎么辦呢？烏鴉看見旁邊有許多小石子，想出辦法來了。烏鴉把小石子一個(gè)一個(gè)地放進(jìn)瓶子里。瓶子里的水漸漸升高，烏鴉就喝著水了?？墒牵瑸貘f真的能喝到水嗎？理解問題不難想象，當(dāng)烏鴉把各種各樣的小石子扔到瓶子里時(shí)，石子之間是不可能沒有空隙的。如果石子之間的空隙較大，而瓶子里的水又較少，那么烏鴉即使將瓶子填滿也無法喝到水。那么瓶子里到底應(yīng)當(dāng)有多少水，烏鴉才能喝到水呢？顯然水的體積大于空隙的體積，烏鴉才能喝到水。因此我們可以從幾何體積計(jì)算的角度，重新認(rèn)識(shí)烏鴉喝水問題。合理化假設(shè)

顯然該問題與瓶子和石子的形狀及其排列方式有關(guān)，為簡單起見我們假設(shè)：瓶子是正方體的且不考慮瓶口的體積。烏鴉投進(jìn)的石子是大小相同的球體。瓶子中擺放的方法如圖1所示圖1瓶子的邊長是石子直徑的整數(shù)倍，不妨設(shè)為n倍（顯然，如果不是整數(shù)倍的話，那石子間的空隙會(huì)更大，不利于烏鴉喝到水）石頭內(nèi)部滲進(jìn)的水忽略不計(jì)。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題一個(gè)邊長為n*a的正方體中放入n3個(gè)邊長為a的球，求其空隙部分的體積占總體積的比例。問題的求解下面我們首先證明球體的大小與球體占據(jù)正方體空間的總和無關(guān)，為此我們設(shè)瓶中僅放入一個(gè)最大的球體（假如能放入的話）如圖2所示。

圖2由于圖1中有n3個(gè)小正方體，而每個(gè)小正方體與圖2的情況相同，每個(gè)小球都內(nèi)切于一個(gè)小正方體。

設(shè)大立方體的體積為V，其內(nèi)切球體積為V球，小立方體的體積為Vi，小球的體積為Vi球，顯然：

由等比定理得：

由此可知球的大小與所占空間總和無關(guān)，于是容易計(jì)算出球體所占空間體積與瓶子體積比為：即空隙部分的體積與瓶子體積比約為48%。這表明，按上述條件，當(dāng)瓶中的水不足瓶子容積的48%時(shí)，烏鴉將難以喝到水。評價(jià)和應(yīng)用假如烏鴉聰明得很，能使石子彼此之間挨得更緊密些，那么空隙部分也得占瓶子1/3左右（只是計(jì)算麻煩些，讀者可舉一實(shí)例驗(yàn)證之）上述計(jì)算僅對特殊情況的一種粗略計(jì)算，但這也實(shí)在難為烏鴉了，不過這不能不使我們考慮這樣一個(gè)事實(shí)，在日常生活中，應(yīng)當(dāng)怎樣地充分利用空間，減少浪費(fèi)，獲得更高的效益，這正是數(shù)學(xué)所需要解決的問題。

數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)1.4

數(shù)學(xué)建模的方法和步驟

數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問題’模型假設(shè)針對問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具

數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對象用現(xiàn)實(shí)對象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐1.5

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力

學(xué)習(xí)、分析、評價(jià)、改進(jìn)別人作過的模型

親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模

1985年美國出現(xiàn)了一種叫MCM(MathematicalContestinModeling)的一年一度的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽?？碱}由工業(yè)或政府部門工作的數(shù)學(xué)家提出，從中選擇沒有固定范圍的實(shí)際問題。比賽時(shí)間3天，要求在3天的持續(xù)時(shí)間內(nèi)參賽隊(duì)要以有清楚定義的格式寫出解法論文。參賽隊(duì)可以使用包括計(jì)算機(jī)、軟件包、書、雜志等一切外部資源。我國大學(xué)生1989年開始參加美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽；我校2011年開始參加美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。1.7

大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽競賽每年九月舉行，在指定網(wǎng)站公布競賽題，參賽選手屆時(shí)通過網(wǎng)絡(luò)下載并完成題目。三人一組報(bào)名參加，72小時(shí)合作完成一個(gè)題目。共四題，本科A、B中選1題，?？艭,D中選1題。解答過程寫成論文提交。一般要用計(jì)算機(jī)軟件編寫程序計(jì)算出結(jié)果?？梢圆殚唸D書及網(wǎng)絡(luò)等資料，但要保證自己的獨(dú)創(chuàng)性，不能與他人雷同。

我國高校于1990年在上海舉辦上海市大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競賽；西安1992年4月舉辦西安市第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽；1992年11月舉行全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽；以后每年舉辦一次。我校從1994年開始參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。

這三人中必須一人數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好；一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件（如Matlab,londo,maple等）和編程（如C，Matlab等）的能力較強(qiáng)；一個(gè)科技論文寫作的水平較好；科技論文的寫作要求整篇論文的結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，語言要有邏輯性，用詞要準(zhǔn)確；三人之間要能夠配合默契。三人之間配合不好，會(huì)降低效率，導(dǎo)致整個(gè)建模的失敗。根據(jù)數(shù)學(xué)建模競賽章程，三人組成一隊(duì)1.摘要2.問題的敘述，問題的分析，背景的分析等，

3.模型的假設(shè)，符號(hào)說明（表）4.模型的建立（問題分析，公式推導(dǎo)，基本模型，最終或簡化模型

等）

5.模型的求解6.模型檢驗(yàn):結(jié)果表示、分析與檢驗(yàn)，誤差分析，……7.模型評價(jià):特點(diǎn)，優(yōu)缺點(diǎn)，改進(jìn)方法，推廣…….8.參考文獻(xiàn)9.附錄：計(jì)算框圖、詳細(xì)圖表……1.8撰寫數(shù)學(xué)建模論文1、某甲早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一路徑上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿。次日早8時(shí)沿同一路徑下山，下午5時(shí)回到旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過路徑中的同一地點(diǎn)，為什么？看誰答得快2、某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6時(shí)抵