多項式因式分解

因式分解因式分解第3章因式分解3.1多項式因式分解返回教學(xué)目標(biāo)：

了解因式分解的意義，知道因式分解與整式乘法之間的聯(lián)系與區(qū)別，會判斷一個變形是否是因式分解。動腦筋21

等于3

乘哪個整數(shù)？21＝3×7x2-1等于x+1乘哪個多項式？

對于整數(shù)21與3，有整數(shù)7使得21＝3×7，我們把3叫作21的一個因數(shù).同理，7也是21的一個因數(shù).對于多項式x2-1與x+1，有x-1使得 ，我們把x+1叫作x2-1的一個因式，同理x-1也是x2-1的一個因式．探究

一般地，對于兩個多項f與g，如果有多項式h使得f=gh

，那么我們把g叫作f的一個因式，此時，h也是

f

的一個因式．把x2-1寫成的形式，叫作把x2-1

因式分解．

結(jié)論一般地，把一個含字母的多項式表示成若干個多項式的乘積的形式，稱為把這個多項式因式分解．可以看出，因式分解與整式乘法其實是兩種互逆的變形.即x2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法說一說為什么要把一個多項式因式分解呢？萬里長城是由磚砌成的.不少房子也是用磚砌成的.因此，磚是基本建筑塊之一.小知識類似地，在數(shù)學(xué)中也經(jīng)常要尋找那些“基本建筑塊”.例如，在正整數(shù)集中，像2，3，5，7，11，13，17，…這些大于1的數(shù)，它的因數(shù)只有1和它自身，稱這樣的正整數(shù)為質(zhì)數(shù)或素數(shù).小知識素數(shù)就是正整數(shù)集中的“基本建筑塊”：每一個大于1的正整數(shù)都能表示成若干個素數(shù)的乘積的形式.例如12=2×2×3，①

30=2×3×5

②小知識有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因數(shù)為2×3=6，進而很容易把分?jǐn)?shù)約分：分子與分母同除以6，得小知識同樣地，在系數(shù)為有理數(shù)(或系數(shù)為實數(shù))的多項式組成的集合中，也有一些多項式起著“基本建筑塊”的作用：每一個多項式可以表示成若干個最基本的多項式的乘積的形式，從而為許多問題的解決架起了橋梁.

小知識例如，以后我們要學(xué)習(xí)的分式的約分，解一元二次方程，常常需要把多項式因式分解.因式分解還可以在許多實際問題中簡化計算.小知識例1

下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？（1）（2）舉例解（1）是.

因為從左邊到右邊是把多項式a

2+2ab+b

2表示成了多項式a+b與a+b的積的形式.（2）不是.

因為(m+3)(m-2)+2不是幾個多項式乘積的形式.例2

檢驗下列因式分解是否正確.（1）（2）（3）分析檢驗因式分解是否正確，只要看等式右邊的幾個多項式的乘積與左邊的多項式是否相等．舉例解

(1)因為x(x+y)=x2+xy，所以因式分解x2+xy=x(x+y)正確.(2)因為(a-2)(a-3)=a2-5a+6，所以因式分解a2-5a+6=(a-2)(a-3)正確.(3)因為(2m-n)(2m+n)=4m2-n2≠2m2-n2，所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正確.練習(xí)1.

求4，6，14

的最大公因數(shù).

答：最大公因數(shù)是2.練習(xí)2.

下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？（1）（2）（3）（4）解（1）不是.因為從左邊到右邊是整式乘法的過程而不是把多項式表示成幾個多項式的積的形式.（2）是.因為從左邊到右邊是把多項式2x2y+4xy2

表示成了多項式2xy與x+2y的積的形式.

（3）不是.因為從左邊到右邊是整式乘法的過程而不是把多項式表示成幾個多項式的積的形式.（4）是.因為從左邊到右邊是把多項式4a2-4a+1表示成了多項式2a-1的平方的形式.

3.檢驗下列因式分解是否正確。(1)

(2)(3)，所以不正確。(1)

(2)(3)因為因為，所以不正確。因為，所以正確。小結(jié)與復(fù)習(xí)一般地，對于兩個多項f

與g，如果有多項式h

使