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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問(wèn)題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問(wèn)水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類(lèi)似蘆葦?shù)闹参?,露出水面兩尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問(wèn)水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為()A. B. C. D.2.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.3.向量,,且,則()A. B. C. D.4.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”,其中只有2張“刮刮卡”有獎(jiǎng),現(xiàn)甲從盒中隨機(jī)取出2張,則至少有一張有獎(jiǎng)的概率為()A. B. C. D.5.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.6.己知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,點(diǎn)分別在拋物線上,且,直線交于點(diǎn),,垂足為,若的面積為,則到的距離為()A. B. C.8 D.67.下列四個(gè)圖象可能是函數(shù)圖象的是()A. B. C. D.8.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.9.若,,則的值為()A. B. C. D.10.2019年10月1日,中華人民共和國(guó)成立70周年,舉國(guó)同慶.將2,0,1,9,10這5個(gè)數(shù)字按照任意次序排成一行,拼成一個(gè)6位數(shù),則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為A.96 B.84 C.120 D.36011.如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的結(jié)果是()A. B. C. D.12.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,,則__________.14.圓關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)圓的方程為_(kāi)____.15.已知四棱錐,底面四邊形為正方形,,四棱錐的體積為,在該四棱錐內(nèi)放置一球,則球體積的最大值為_(kāi)________.16.已知函數(shù),若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在銳角中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知.(1)求的值;(2)當(dāng),且時(shí),求的面積.18.(12分)已知分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),橢圓的離心率為是橢圓上兩點(diǎn),點(diǎn)滿足.(1)求的方程;(2)若點(diǎn)在圓上,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),求的取值范圍.19.(12分)已知是遞增的等比數(shù)列,,且、、成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),,求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)已知橢圓,過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且與軸相交于點(diǎn).(1)若,求直線的方程;(2)設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,證明:直線過(guò)軸上的定點(diǎn).21.(12分)已知橢圓:的離心率為,左、右頂點(diǎn)分別為、,過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)(異于、兩點(diǎn)),當(dāng)直線垂直于軸時(shí),四邊形的面積為1.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線、的交點(diǎn)為;試問(wèn)的橫坐標(biāo)是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱(chēng)為函數(shù)的局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn).(1)若a,且a≠0,證明:函數(shù)有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn);(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(3)若函數(shù)在R上有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由題意知:,,設(shè),則,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【詳解】解:由題意知:,,設(shè),則在中,列勾股方程得:,解得所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的長(zhǎng)度型,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由分子、分母的奇偶性,易于確定函數(shù)為奇函數(shù),由的近似值即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,所以是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),排除選項(xiàng)C.又排除選項(xiàng)D;,排除選項(xiàng)A,故選B.【點(diǎn)睛】本題通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性,縮小考察范圍,通過(guò)計(jì)算特殊函數(shù)值,最后做出選擇.本題較易,注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.3、D【解析】
根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及誘導(dǎo)公式,即可得出答案.【詳解】故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.4、C【解析】
先計(jì)算出總的基本事件的個(gè)數(shù),再計(jì)算出兩張都沒(méi)獲獎(jiǎng)的個(gè)數(shù),根據(jù)古典概型的概率,求出兩張都沒(méi)有獎(jiǎng)的概率,由對(duì)立事件的概率關(guān)系,即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機(jī)取出2張,共有種情況,2張均沒(méi)有獎(jiǎng)的情況有(種),故所求概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率、對(duì)立事件的概率關(guān)系,意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調(diào),不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
作,垂足為,過(guò)點(diǎn)N作,垂足為G,設(shè),則,結(jié)合圖形可得,,從而可求出,進(jìn)而可求得,,由的面積即可求出,再結(jié)合為線段的中點(diǎn),即可求出到的距離.【詳解】如圖所示,作,垂足為,設(shè),由,得,則,.過(guò)點(diǎn)N作,垂足為G,則,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因?yàn)?,所以為線段的中點(diǎn),所以F到l的距離為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識(shí),屬于中檔題.7、C【解析】
首先求出函數(shù)的定義域,其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),即可排除A、D,再根據(jù)時(shí)函數(shù)值,排除B,即可得解.【詳解】∵的定義域?yàn)?,其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到,∵為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).可排除A、D項(xiàng).當(dāng)時(shí),,∴B項(xiàng)不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力,一般根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),即可排除三個(gè)不符的選項(xiàng),屬于中檔題.8、C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應(yīng)選.9、A【解析】
取,得到,取,則,計(jì)算得到答案.【詳解】取,得到;取,則.故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,取和是解題的關(guān)鍵.10、B【解析】
2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0開(kāi)頭的排列數(shù)共個(gè),其中含有2個(gè)10的排列數(shù)共個(gè),所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選B.11、B【解析】
列舉出循環(huán)的每一步,可得出輸出結(jié)果.【詳解】,,不成立,,;不成立,,;不成立,,;成立,輸出的值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,一般要將算法的每一步列舉出來(lái),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
分別作出各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯(cuò)誤;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域?yàn)?,正確;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域?yàn)?,錯(cuò)誤;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
直接根據(jù)集合和集合求交集即可.【詳解】解:,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.14、【解析】
求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),即可得解.【詳解】的圓心為,關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)設(shè)為,則有:,解得,所以對(duì)稱(chēng)后的圓心為,故所求圓的方程為.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查求圓關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)圓方程,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo).15、【解析】
由題知,該四棱錐為正四棱錐,作出該正四棱錐的高和斜高,連接,則球心O必在的邊上,設(shè),由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知,設(shè),用和表示四棱錐的體積,解得和的關(guān)系,進(jìn)而表示出內(nèi)切球的半徑,并求出半徑的最大值,進(jìn)而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè),,由球O內(nèi)切于四棱錐可知,,,則,球O的半徑,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,此時(shí).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積問(wèn)題,內(nèi)切球問(wèn)題,考查空間想象能力,屬于較難的填空壓軸題.16、【解析】
函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),畫(huà)出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),畫(huà)出函數(shù)圖象如下圖所示:由圖象可知:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)利用二倍角公式求解即可,注意隱含條件.(2)利用(1)中的結(jié)論,結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得的值,又由求出的值,最后由正弦定理求出的值,根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得出.【詳解】(1)由已知可得,所以,因?yàn)樵阡J角中,,所以(2)因?yàn)?,所以,因?yàn)槭卿J角三角形,所以,所以.由正弦定理可得:,所以,所以【點(diǎn)睛】此類(lèi)問(wèn)題是高考的常考題型,主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識(shí),同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力和利用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,即可求得的值,進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)出直線的方程為,由題意可知為中點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓方程,由韋達(dá)定理表示出,由判別式可得;由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義,化簡(jiǎn)可得,代入弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn);由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓的方程,化簡(jiǎn)可得,代入數(shù)量積公式并化簡(jiǎn),由換元法令,代入可得,再令及,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可確定的取值范圍,即確定的取值范圍,因而可得的取值范圍.【詳解】(1)分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),則,橢圓的離心率為則解得,所以,所以的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)滿足,則為中點(diǎn),點(diǎn)在圓上,設(shè),聯(lián)立直線與橢圓方程,化簡(jiǎn)可得,所以則,化簡(jiǎn)可得,而由弦長(zhǎng)公式代入可得為中點(diǎn),則點(diǎn)在圓上,代入化簡(jiǎn)可得,所以令,則,,令,則令,則,所以,因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增,所以,即所以【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法,直線與橢圓的位置關(guān)系綜合應(yīng)用,由韋達(dá)定理研究參數(shù)間的關(guān)系,平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用及換元法在求取值范圍問(wèn)題中的綜合應(yīng)用,計(jì)算量大,屬于難題.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出的值,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求得,然后利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意及,知.、、成等差數(shù)列成等差數(shù)列,,,即,解得或(舍去),.數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(Ⅱ),.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求解,同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)或;(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)由已知條件利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程,則可表示出點(diǎn)的坐標(biāo),再由的關(guān)系表示出點(diǎn)的坐標(biāo),而點(diǎn)在橢圓上,將其坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出直線的斜率;(2)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),則點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示出,然后直線的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程,消元后得到關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系,再結(jié)合直線的方程,化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】(1)由條件可知直線的斜率存在,則可設(shè)直線的方程為,則,由,有,所以,由在橢圓上,則,解得,此時(shí)在橢圓內(nèi)部,所以滿足直線與橢圓相交,故所求直線方程為或.(也可聯(lián)立直線與橢圓方程,由驗(yàn)證)(2)設(shè),則,直線的方程為.由得,由,解得,,當(dāng)時(shí),,故直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】此題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系中的過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜,屬于難題.21、(1)(2)是為定值,的橫坐標(biāo)為定值【解析】
(1)根據(jù)“直線垂直于軸時(shí),四邊形的面積為1”列方程,由此求得,結(jié)合橢圓離心率以及,求得,由此求得橢圓方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,化簡(jiǎn)后寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系.求得直線的方程,并求得兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn),求得的橫坐標(biāo)為定值.【詳解】(1)依題意可知,解得,即;而,即,結(jié)合解得,,因此橢圓方程為(2)由題意得,左焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為:,,.由消去并整理得,∴,.直線的方程為:,直線的方程為:.聯(lián)系方程,解得,又因?yàn)椋裕缘臋M坐標(biāo)為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓離心率求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查直線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.22、(1)見(jiàn)解析(2)(3)【解析】
(1)若函數(shù)有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn),則,即有解,即可求證;(2)由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可
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