2020-2021東城區(qū)高三第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷及答案

東城區(qū)2020—2021學(xué)年度第一學(xué)期末統(tǒng)一檢測(cè)高數(shù)學(xué)

2021.1本試卷共4頁(yè)150分考試時(shí)120鐘考務(wù)必將答案答在答題卡上試卷上作答無(wú)效試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部

（選擇題共40分一選題10小題，小4分共40分在小題出四選中選符題要的項(xiàng)（1）已知集合

，則

AB（A）

（B）

（C

（）

（2）已知

d的差數(shù)列，S為其前n項(xiàng)和．若n

S，d31（A）

（）

（C）1

（）2（3）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,1)

上單調(diào)遞增的是（A）

y

（）yln

（）

y

x

（D）ysinx（4）將正方體去掉一個(gè)四棱錐得到的幾何體如圖所示，該幾何體的側(cè)（左）視圖為（A（B）（C）（）（5）與圓

x

2y

相于點(diǎn)的直線的斜為（A）

（）

（C）

（）21

（6）函數(shù)

f)

)

的部分圖象如圖所示，則

f(（A）

3

2（B

32（C）

32

12

O

5π12

（）

2（7）設(shè)a

，

b

是兩個(gè)不共線向量，“

與

b

的夾角為銳”是

()

”的（A）充分而不必要件B）必要而不充分條件）分必要條件（D既不充分也不必要條件（8十二生肖，又叫屬相依為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、現(xiàn)十生肖的吉祥物各一個(gè)，甲、乙、丙三名同學(xué)從中各選一個(gè)，甲沒(méi)有選擇馬，乙、丙二人恰有一人選擇羊，則同的選法有（A）242種（B）種（）種（）110種（9）已知拋物線

y2px

(p0)

的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距為2

，過(guò)焦點(diǎn)F的線與拋物線交于，兩，且

|AF|

，則點(diǎn)A到軸的距離為（）

（）

（）

（）（10）公園門(mén)票單價(jià)30，相關(guān)優(yōu)惠政策如下：①10（含）以上團(tuán)體購(gòu)票優(yōu)惠；②50（含）以上團(tuán)體購(gòu)票優(yōu)惠；③100人（含）以上團(tuán)體購(gòu)票折惠；④購(gòu)票總額每滿元減100元單張票價(jià)不優(yōu)惠）．現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)47張票，合理地設(shè)計(jì)購(gòu)票方案，則門(mén)票費(fèi)用最少為（A）1090元（B1171元（C元（D1210元第二部二、填空題共5小題，每小題5分，共25分

（非選擇題共110分（）數(shù)

34ii

．（）數(shù)()x的義域是______．（）知sin

13，π，，則32

，

．2（）知雙曲線:，為邊三角形若點(diǎn)在a22雙曲線的實(shí)軸為ABC的位線，則雙曲線M的心率為_(kāi)______．2

軸上，點(diǎn),C在曲線M上且

（）知函數(shù)f

,的大整.例如：

①f

；②若fx實(shí)a的值范圍_．三解題6小，分，解答寫(xiě)文說(shuō)，算驟證過(guò)。（小13分如圖，在四棱錐P中PD面ABCD，，面邊長(zhǎng)為2的方形，E，的中.P

，F(xiàn)

分別為（Ⅰ）求證：平面

平面PCD（Ⅱ）求直線BF

與平面

所成角的正弦值FEDA

C（17小13分）已知函數(shù)

gxsin(

6

)，h(x)x

，再件①、條件②這兩個(gè)條中選擇一個(gè)作為已，求（Ⅰ）（Ⅱ）

ff()

的最小正周期；π在區(qū)間[]上最大值．2條件①：

f(x)()x

；條件②：

f)()()

.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．3

（小14分為了解果園某種水果產(chǎn)量情況，隨機(jī)抽取100水果測(cè)量質(zhì)量，樣本數(shù)據(jù)分組為[100，150)，，，，，，300)[300，，，單：克，其頻率分布直方圖如圖所示：頻率/距100150200250300350400

質(zhì)量(克)（Ⅰ）用分層抽樣的方法從樣本里質(zhì)量，，，的果中抽取，求質(zhì)量[250300)的水果數(shù)量；（Ⅱ）從（Ⅰ）中得到的個(gè)果中隨機(jī)抽取，記X為量[，的果數(shù)量，求X的布列及數(shù)學(xué)期望；（III）果園現(xiàn)有該種水果約20個(gè)，其等級(jí)規(guī)格及銷(xiāo)售價(jià)格如下表所示，質(zhì)量m(單位：)等級(jí)規(guī)格價(jià)格元個(gè)

m<200二等4

200≤<300一等7

m300特等10試估計(jì)果園該種水果的銷(xiāo)售收.（19小15分已知橢圓

yC:a2

過(guò)點(diǎn)

A(2,0),

，且離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的程；（Ⅱ）設(shè)直線l

與橢圓C有僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與軸于點(diǎn)G(,

不合)，ETx軸垂足為.求證：

|TA||TB|GB

.4

*（20小15分）*2已知函數(shù)f(),R．ex（I）若曲線

fx)

在點(diǎn)

(1,f(1))處切線平行于直線x，該切線方程（II）若，證：當(dāng)x時(shí)

fx)

；（III）若

f()

有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的．（21小15分）給定正整數(shù)，tm)，數(shù)列:，，滿足：，2niii2列具性質(zhì)(t，)

m，稱(chēng)數(shù)t對(duì)于兩個(gè)數(shù)列:b，b:c，，c，12定義數(shù)列b，b.22nn（I）設(shè)數(shù)列性質(zhì)，列B項(xiàng)公式bn數(shù)列AB前四項(xiàng)和；（II）設(shè)數(shù)列A(i*)有性質(zhì)E(4，m數(shù)列:b，，，，滿足：b，4i1n24j

j

(jN

*

)在一組數(shù)列AA，，得AB為數(shù)列，求出m能的值；k2（III）設(shè)數(shù)列Aii

*

)具性(，t常數(shù)t2)數(shù)滿足，且2(j)存在一組數(shù)列A，A，AAjj112

A常數(shù)列k

的最小需寫(xiě)出結(jié)論）5

A東區(qū)學(xué)年第學(xué)期統(tǒng)檢高數(shù)參答及分準(zhǔn)A一選題共10小，小分共40分）

（）（）

（）（）

（）（）

（）（）

（）（）二、填空題(共小題，每小題分，25分（）4

（）

（）

2

79

（）（）

43

三解題6小，分，解答寫(xiě)文說(shuō)，算驟證過(guò)。（13分解）因?yàn)?/p>

平面

，

P所以PD.因?yàn)榈酌媸欠叫?，所?因?yàn)镈，

E

F所以AD面.又因?yàn)锳D面

，

D

C所以平面面PCD…………..4分（Ⅱ）因?yàn)?/p>

平面

ABCD

，所以

AD，PDCD.因?yàn)榈酌?/p>

是正方形，所以

AD

.如圖建立空間直角坐標(biāo)系xyz.因?yàn)镻D底面ABCD為長(zhǎng)為2的方形，所以

，

(2,0,0)

，

(2,2,0)

，

C

，

，

(1,1,2)

，

F(0,1,2)

.

z

，

DE(1,1,2)

，

BF

.設(shè)平面法向量myz)

，

F由可

xxy

令

z0,y

，

D

C

所以

.

設(shè)直線BF與面所成角為，6

則

BF

BFBFm

44595

.所以直線BF與面ADE所角正弦值為（17小13分）f))x)解：選擇條件①：

4515

.…..13分（Ⅰ）

f(x)

6

xsinxcos2

sin

112xsin221sin2cos1π1sin(2x)2

．所以

f

的最小正周期是

π

．

………….7分（Ⅱ）因?yàn)?/p>

π]2

，所以

πππx666

.所以

1πsin(2x)26

1

.所以

11π1)2644

.當(dāng)

2x

πππ時(shí)(有大值.…………………分623選擇條件②：

f)()(x)

.7

（Ⅰ）

f(x))cosx6

1sinxcosx)xsinxπsin()6

．所以

f

的最小正周期是

．

………………..………….7分（Ⅱ）因?yàn)?/p>

π]2

，所以

πππ6

.所以

1π)2

.當(dāng)

πππx時(shí)f(x63

有最大值1.……………………分（14分解）質(zhì)量[250，，[300，的種水果的頻率分別為0.008，0.004其比為：所以按分層抽樣從質(zhì)量在250，300)，，的種水果中隨機(jī)抽取6個(gè)質(zhì)量在，300)的該種水果有4個(gè).………………...…………….4分（Ⅱ）由I)可，6個(gè)果中有2個(gè)質(zhì)量在，350).所以的所有可能取值為0，，0)

CC1，P(X，(2).C55C所以的分布列為XP

0

1

213故X的學(xué)期望X0..……………….….10分5（Ⅲ）由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量[100，，，，，250)，[250，，，的種水果的頻率分別為0.1，，，0.4，，所以估計(jì)20000個(gè)果中，二等品有20000000個(gè)；一等品有20個(gè)；8

x0特等品有20個(gè)x0果園該種水果的銷(xiāo)售收入為000)..….…..…………….…分（15分

a2,解）依題意，得,a2

a

,解得a4,b所以橢圓C的程為4

.……..…………….4分（Ⅱ）由題設(shè)知直線l

的斜率存在，設(shè)直線l

的方程為：kx0)

.由

kx,y3

消去，理得

(3k)

.依題意，有

k

2k2)(2

3)解得

2

2

.設(shè)

(xEy)10

，則

x1

km4k,xk3k2

.因?yàn)镋T軸所

T

k

.所以

||||

4|m4|)m

mk||mk

.又因?yàn)?/p>

|||GB

m||m||

|mk||mk|

，所以

|TA||GA||TB||

.………..…..…………分（20小15分）【解析）因?yàn)?/p>

f'()

ax(2)e

，所以

f'(1)e

，故

所以f

ae

，所以，所求切線方程為

，即

x

.………………分（II）當(dāng)時(shí)，f(x)

x

，

f'()

xx2)e

，當(dāng)

時(shí)，

f'0

；當(dāng)

時(shí)，

f'

．所以

fx)

在(0,2)單調(diào)遞減，在調(diào)遞增．9

所以，

fx)

的極小值

f

e2

0

x

，

f(x)

.

…….…………………13分（III）對(duì)于函數(shù)f(x)

ax2x

,aR．（）

a

時(shí)，

f(x)

，

f()

沒(méi)有零點(diǎn)；（）

a

時(shí)，

f'()

ax(2)e

．當(dāng)

(時(shí)f'(

，所以

fx

在單遞增；當(dāng)x(0,2)時(shí)，f'(x)0

；所以

fx

在(0,調(diào)遞減；當(dāng)

(2,

時(shí)，

f'

，所以

fx

在

(

單調(diào)遞增；所以

f

是

fx

的極大值，

f(2)

e

是

fx

的極小值．因?yàn)?/p>

f(

1a

a(

1a1a

2

11a

1a

，所以

fx)

在(上且只有一個(gè)零點(diǎn)由于

f(2)

e

，①若

f0

，即a

2

，f()在(0,有零點(diǎn)；②若

f0

，即a

，

fx)

在(0,有一個(gè)零點(diǎn)；③若

f

，即a

，由于

f

，所以

fx

在2)有個(gè)零點(diǎn)，由（II知，當(dāng)x，

x

，所以

f(4)

a16