山東省青島市黃島區(qū)第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

山東省青島市黃島區(qū)第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.“，且”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A2.已知函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意都有=，且當(dāng)時(shí)其導(dǎo)函數(shù)滿足若則A．

B．C．

D．參考答案：C略3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”時(shí)，由n=k（k＞1）不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1參考答案：C【分析】考查不等式左側(cè)的特點(diǎn)，分母數(shù)字逐漸增加1，末項(xiàng)為，然后判斷n=k+1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù)即可．【解答】解：左邊的特點(diǎn)：分母逐漸增加1，末項(xiàng)為；由n=k，末項(xiàng)為到n=k+1，末項(xiàng)為=，∴應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的第二步，項(xiàng)數(shù)增加多少問(wèn)題，注意表達(dá)式的形式特點(diǎn)，找出規(guī)律是關(guān)鍵．4.已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，z=|2x﹣2y﹣1|，則z的取值范圍是(

)A．[，5] B．[0，5] C．[0，5） D．[，5）參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結(jié)合；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由約束條件作出可行域如圖，令u=2x﹣2y﹣1，由線性規(guī)劃知識(shí)求出u的最值，取絕對(duì)值求得z=|u|的取值范圍．【解答】解：由約束條件作可行域如圖，聯(lián)立，解得，∴A（2，﹣1），聯(lián)立，解得，∴．令u=2x﹣2y﹣1，則，由圖可知，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，﹣1）時(shí)，直線在y軸上的截距最小，u最大，最大值為u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，u最小，最小值為u=．∴，∴z=|u|∈[0，5）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，求z得取值范圍，轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)u=2x﹣2y﹣1的取值范圍，是中檔題．5.己知三棱錐A﹣BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為．BC=4，BD=，∠CBD=90°，則球O的表面積為（）A．11π B．20π C．23π D．35π參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】先利用體積，求出A到平面BCD的距離，可得O到平面BCD的距離，再利用勾股定理，求出球的半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：由題意，設(shè)A到平面BCD的距離為h，則∵該三棱錐的體積為．BC=4，BD=，∠CBD=90°，∴××4×h=，∴h=2，∴O到平面BCD的距離為1，∵△BCD外接圓的直徑BD=，∴OB==，∴球O的表面積為4π×=23π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球O的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題，確定球的半徑是正確解題的關(guān)鍵．6.如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)E為線段CD1的中點(diǎn)，則直線AE與平面A1BCD1所成角的正切值為A.

B.

C.

D.參考答案：A7.設(shè)集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}，則A∩B=(

)A．（﹣1，1] B．（﹣1，1） C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】求解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合B，然后直接利用交集運(yùn)算進(jìn)行求解．【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜2}，又B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|﹣1≤x≤1}=（﹣1，1]．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)的運(yùn)算題．8..曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為A.

B.

C.

D.參考答案：A9.命題“”的否定為

（

）

A.

B.C.

D.參考答案：B略10.函數(shù)的值域是A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則有________也是等比數(shù)列．參考答案：12.不等式，對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：方法一：令，當(dāng)時(shí)，不等式為不合題意；當(dāng)時(shí)，需，解得；綜上方法二：，【考點(diǎn)】不等式恒成立問(wèn)題13.將函數(shù)圖像上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖像，在g(x)圖像的所有對(duì)稱軸中，離原點(diǎn)最近的對(duì)稱軸方程為A．

B．

C．

D．參考答案：A14.某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為

.參考答案：2試題分析：由三視圖知該幾何體是四棱錐，．考點(diǎn)：三視圖，體積．【名師點(diǎn)睛】三視圖問(wèn)題，關(guān)鍵是由三視圖畫出幾何體的直觀圖而且也是難點(diǎn)，有許多幾何體可以看作是由正方體（或長(zhǎng)方體）切割形成的，因此在畫直觀圖時(shí)，我們可以先畫出正方體（或長(zhǎng)方體），然后在正方體（或長(zhǎng)方體）上取點(diǎn)，想投影，連線，得結(jié)論（幾何體直觀圖），這樣做幾何體中線面位置關(guān)系與線段長(zhǎng)度都能明確顯示，易于求解．15.復(fù)數(shù)且，則的值為_(kāi)______;參考答案：解析：∵

所以.16.下列命題：①數(shù)列為遞減的等差數(shù)列且，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)時(shí)，取得最大值；②設(shè)函數(shù)，則滿足關(guān)于的方程的充要條件是對(duì)任意均有；③在長(zhǎng)方體中，，直線與平面所成角的正弦值為；④定義在上的函數(shù)滿足且，已知，則是的充要條件.

其中正確命題的序號(hào)是

（把所有正確命題的序號(hào)都寫上）.參考答案：②③④略17.已知a＝(m,n－1)，b＝(1,1)(m、n為正數(shù))，若a⊥b，則的最小值是________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分12分）如圖，在三棱錐中，,,為的中點(diǎn)，,=.（Ⅰ）求證：平面⊥平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．參考答案：（I）見(jiàn)解析；（II）.試題分析：（Ⅰ）欲證面面垂直，應(yīng)先證線線垂直、線面垂直.注意到在中的邊長(zhǎng)關(guān)系，應(yīng)用勾股定理逆定理可得為直角三角形，．又，且是的中點(diǎn)，可得，從而證得平面，即證得平面平面．又，平面又面平面平面．（6分）（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖

所示直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，則有19.（本小題共14分）如圖，三棱柱中，⊥平面，，，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得⊥平面？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】立體幾何綜合【試題解析】（Ⅰ）證明：連接，與相交于，連接．

∵是矩形，∴是的中點(diǎn)．

又是的中點(diǎn)，∴∥．

∵平面，平面，

∴∥平面．

（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，

，，，，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則即

令，則，

易知是平面的一個(gè)法向量，

∴，

由題意知二面角為銳角，

∴二面角的余弦值為．

（Ⅲ）假設(shè)側(cè)棱上存在一點(diǎn)

()，使得平面．

則，即∴．

∴方程組無(wú)解．∴假設(shè)不成立．

∴側(cè)棱上不存在點(diǎn)，使⊥平面．20.（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列．（1）

求a1的值；（2）

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（3）

證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.參考答案：本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，不等式證明問(wèn)題，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力與推理論證能力，難度一般.21.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在處取得極值，求的值；（2）若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的范圍．參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，，………2分∵在處取得極值∴，即解得：，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，∴．

………5分（2）的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即存在圖象上一點(diǎn)，使得在的圖象上則有

………8分化簡(jiǎn)得：，即關(guān)于的方程在內(nèi)有解

………9分設(shè)，則∵∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)∴，且時(shí)，；時(shí)，即值域?yàn)?/p>