2020北京101中學高二(上)期末數(shù)學

學習是一件很有意思的事2020京101中學高二（上）期末數(shù)

學一、單項選擇題：認真審題，仔細想一想，然后選出唯一正確答案。共8小每小題5分共40分.1．（5分）復數(shù)＝，則|＝（）A．1B．2CD．2．（5分）設a、分是ABC中A、B、∠所對邊的長，則直線xsin+ayc＝0與﹣sin+sin＝0的位置關系是（）A．垂直C．重合3．（5分）已知下列三個命題

B．平行D．相交但不垂直①若復數(shù)z，的相等，則z，是軛復數(shù)②，都復，若z+是虛，則z不是z的軛復數(shù)③復數(shù)z是實的充要條件是＝則其中正確命題的個數(shù)為（）A．0個4．（5分）橢圓

B．1個C．2個D．3+＝1長軸為，軸為BB，坐標平面沿y軸折成一個銳二面角，使點A在面BAB上射影恰是該橢圓的一個焦點，則此二角的大小為（）AB．45°

C

D．a(chǎn)rctan25．（5分）已知兩圓：（x﹣4）+＝169，：（x+4）+，動圓在圓部且和圓相切，和圓C相外切，則動圓圓心M的軌跡方程（）A．﹣＝1B+＝1C．﹣＝1

D．+6．（5分）已知F是物線焦點A，是拋物線上的點，|AFBF＝3則線段的點到y(tǒng)軸的距離為（）A．BC

D．1/

學習是一件很有意思的事7．（5分）正四棱錐﹣ABCD底面邊長為2，為1，是BC的中點，動點P在棱錐表面上運動，并且總保持A．

，則動點P的軌的周長為（）B．C．D．8．（5分）設點P為曲線＝1（＞0，＞0）右支上的動點，過點P向條漸近線作垂線，垂足分別為A，，若點始在第一、第象限內，則雙曲線離心率的值范圍是（）A．（1，]B．（1，C．[，+）D．[，+）二、填空題共6小題小題5分30分9．（5分）若拋物線＝2的焦點與雙曲線﹣＝1的右焦點重合，則p的為．10．（5分）已知空間四邊形的條邊和對角線的長都等于2點分是邊，的中點則值為．11．（5分）已知（﹣1，0，B（1，0）兩點，過動點M作x軸的垂線，垂足N，若λ≠0時動點的跡可以是（把所有可能的序號都寫上）①圓；②橢圓；③雙曲線；④拋物線

?

的，當12．（5分）過點l的方為．

的直線l與：（x﹣1）+＝4交于、兩，圓心，當∠ACB小時，直線13．（5分）斜率為1的直線l與橢圓+

＝1相于A，兩點，||得最大值為．14．（5分）如圖，正方體﹣ABCD的長2點在方形ABCD的邊界及其內部運動．面區(qū)域W由所有滿足≤||

的點成，則的積是；面體PA的體積的最大值是．三、解答共5小共知分，解答應寫文字說男、演算步驟成證男過程15．（8分）已知復數(shù)滿||（1）求復數(shù)；

，的部大于，

的虛部為2；2/

學習是一件很有意思的事（2）設復數(shù)，﹣

之在復平面上對應的點分別為，，，求（

+）

的值．16．（8分）如圖在中∠AOB＝90°，AO＝2，OB＝1△AOC可通eq\o\ac(△,過)AOB以直線AO為軸旋轉得到，且OB⊥，點D為邊的點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線OB平面COD成角的正弦值．17．（12分）已知三棱錐P﹣ABC如圖1的平面展開圖（如圖2）中，四邊形為長為ABE和均為正三角形，在三棱錐﹣中：（Ⅰ）證明：平面PAC⊥面；（Ⅱ）求二面角A﹣﹣的弦值；（Ⅲ）若點M在棱上，滿足，，點在BP上，且⊥，

的正方形，△的取值范圍．3/

學習是一件很有意思的事18．（10分）如圖，在平面直角標系xOy中，知直線：﹣﹣2，拋物線：（1）若直線過物線的點，求拋物線C的程；（2）已知拋物線C上在關于直線l對稱的相異兩點和Q①求證：線段的中點坐標為2﹣，）；②求p的取值范圍．

＝2（＞0．19．（12分）一種畫橢圓的工具圖1所示是滑槽AB的中點，短桿ON可繞轉，長桿MN通處鏈與ON連接，上栓子可滑槽滑動，且DN＝＝1MN＝3，當栓子在槽AB內往復運動時，帶動N繞動處筆尖畫出的橢圓記為，以O為原，所在的直線為x軸立圖2所的面直角坐標系．（1）求橢圓的程；（2）設動直線l與定直線l：﹣2＝0和l：+2＝0別交于P，兩．若直線l總橢圓C有且有一個公共點，試探究：△OPQ的面積是否存在最值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．4/

學習是一件很有意思的事2020京101中學高二（上）期末數(shù)學參考答案一、選擇題共8小題小題5分40分在每小題列出的四個選項中選出符合題目要求的一項1．【分析】利用復數(shù)的運算法即可得出．【解答】解：∵

＝＝＝i，∴||＝1故選：．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則，屬于基礎題．2．【分析】先由直線方程求出直線的斜率，再利用正弦定理化簡斜率之積等于1，兩直線直．【解答】解：兩直線的斜率分別為

和，△中由正弦定理得＝2，三角形的外接圓半徑，∴斜率之積等于

，故兩直線垂直，故選：．【點評】本題考查由直線方程求出兩直線的斜率，正弦定理得應用，兩直線垂直的條件．3．【分析】①舉反例，例如z＝1+，＝﹣；②利用逆否命題與原命題同真同假來判斷；③分別闡述充分性和必要性即可．【解答】解：①z，＝﹣1﹣的相等，但不是共軛復數(shù)，即①錯誤②其逆否命題為“若的軛復數(shù)，則z+z不是虛數(shù)”，顯然該命題是真命題，即②正確③充分性：若z是實數(shù)，不妨設＝a，則，以＝，是充分條件；必要性：若＝，復數(shù)z的虛一定為0，以復數(shù)是實數(shù)，是必要條件，即③正確．故選：．【點評】本題考查的是復數(shù)的概念，正確理解共軛復數(shù)是解決本題的關鍵，屬于基礎題．4．【分析】由已知中橢圓

的長軸為AA短軸為，坐標平面沿y軸折一個二面角使點A在平面BA上射影恰是該橢圓一個焦點，我們可以畫出滿足條件的圖象，利用圖象的直觀性，分析出FOA即為所求二面角的平面角，解三角形可求出二面角的大?。?/

學習是一件很有意思的事【解答】解：由題意畫出滿足條件的圖象如下圖所示：由圖可得∠即所求二面角的平面角∵橢圓的標準方程為則OA＝2，＝

，∴cos∠＝

＝∴∠FOA＝30°故選：．【點評】本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，其中根據(jù)已知條件畫出滿足條件的圖象，合圖象分析出滿足條件的二面角的平面角是解答本題的關鍵．5．【分析】根據(jù)兩圓外切和內的判定，圓心距與兩圓半徑和差的關系，設出動圓半徑為，消去，根據(jù)圓錐曲線的定義，即可求得動圓圓心M的軌跡，進而可求其方程．【解答】解：設動圓圓心Mx，），半徑為r，∵圓M與圓C：﹣4+＝169內，與圓C：x+4）+＝9切，∴|MC|＝13﹣，||＝r，∴|MC|+||＝16＞8由橢圓的定義，的跡為以C，為點的橢，可得a＝8，＝4則b

＝﹣

＝48；∴動圓圓心M的軌方程：

+＝1故選：．【點評】考查兩圓的位置關系及判定方法和橢圓的定義和標準方程，要注意橢圓方程中三個參數(shù)關系＝a

﹣，屬中檔題．

6/

學習是一件很有意思的事6．【分析】根據(jù)拋物線的方程出準線方程，利用拋物線的定義：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，列出方程求出A，的點橫坐標，即可得到線段AB的點到軸距離．【解答】解：由于F是物線y＝的點則F（，0），準線方程x＝﹣，設A（，），（，）∴|AF|+||＝x+++＝3解得x+x＝，∴線段AB的中點橫坐標為．∴線段AB的中點到y(tǒng)軸距離為．故選：．【點評】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，屬于中檔題．7．【分析】根據(jù)題意可知點P的軌為三角形EFG，其中、為點，根據(jù)中位線定理求出、GEGF，從而求出軌跡的周長．【解答】解：由題意知：點P的軌跡為如圖所示三角形EFG，中G、F為中點，∴＝∵＝∴＝＝

＝＝

，＝∴軌跡的周長為故選：．【點評】本題主要考查了軌跡問題，以及點到面的距離等有關知識，同時考查了空間想象能力，算推理能力，屬于中檔題．7/

學習是一件很有意思的事8．【分析】求出雙曲線的漸近方程，由題意可得漸近線y＝的斜角不大于45°即有斜率大小于等于，即為≤1，運用離心率公式和雙線的離心率范圍，即可得到所求范圍．【解答】解：雙曲線＝1＞0b）漸近線方程為y＝±x，由題意，，始在第一或第四象限內，則有漸近線＝的斜角不大于45°，有斜率小于等于1，即為≤1雙曲線離心率e＝＝＝＝≤，又e＞1，即有e的圍為（，

]．故選：．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查雙曲線的漸近線方程的運用和離心率的求法，查運算能力，屬于中檔題．二、填空題共6小題小題5分30分9．【分析】先根據(jù)雙曲線的方求得其右焦點的坐標，進而根據(jù)拋物線的性質求得q．【解答】解：雙曲線

的a＝，＝∴＝＝3∴右焦點（3，0∴拋物線的點3，0），∴

．故答案為：【點評】本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了考生對雙曲線和拋物線簡單性質的應用．10．【分析】由題意可得，?＝?，再利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得結果．8/

【解答】解：由題意可得，?＝＝1，

學習是一件很有意思的事?＝×＝故答案為：．【點評】本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義，于中檔題．11．【分析】利用，可得軌跡方程，利用≠0，可得動點的跡【解答】解：設（，）則N（，0因為

，所以y＝（+1）（1﹣）即λ+＝λ，當λ＜0時，是雙曲線的軌跡方．當λ＝1時，是圓的軌跡方程；當λ＞0且λ時是橢圓的軌跡方程；故答案為：①②③【點評】本題考查曲線軌跡方程的求法，軌跡方程與軌跡的對應關系，考查分析問題解決問題的力以及計算能力12．【分析】研究知點

在圓內，過它的直線與圓交于兩點A，，當ACB小時，直線l與垂直，故先求直線的率，再根據(jù)要條件求出直線l的率，由點斜式寫出其方程．【解答】解：驗證知點

在圓內，當∠最小時，直線l與CM垂直由圓的方程，圓心C（1）∵＝＝﹣2，∴＝∴：﹣1（﹣）整理得2﹣4+3＝0故應填2﹣4+3＝09/

學習是一件很有意思的事【點評】本題考點是直線與圓的位置關系，考查到了線線垂直時斜率之積為1，以及用點斜式寫直線的方程．13．【分析】設出直線的方程，入橢圓方程中消去y，根據(jù)判式大于0求得范圍，進而利用弦長公式求得|AB|的表達式，利用t的范圍求得AB|的最大值．【解答】解：設直線l的程為＝x+，入橢圓

+＝1去得x+2+﹣1＝0由題意得△＝（2）﹣5（﹣1＞0即＜5．弦長|AB|＝4×≤．＝0時取最大值．故答案為：．【點評】本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系．常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用達定理，判別式找到解決問題的突破口．14．【分析】由已知可得平面區(qū)W是為心，以1和

為半徑的圓環(huán)，由圓的面積公求得W的積由題意可得，當P在邊上時，四面體﹣的體積有最大值，再由棱錐體積公式求解．【解答】解：連接AP，則AA，∵A＝2，由≤||≤≤，以A為圓，以1和

為半徑作圓交正方形ABCD得圓，∴的面積是＝；由題意可知，當P在邊上時，四面體﹣BC體積的最大值是．故答案為：，．【點評】本題考查棱柱的結構特征，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．三、解答共5小共知分，解答應寫文字說男、演算步驟成證男過程15．【分析】（1）設復數(shù)zx+，、∈R；方程組求得x、的值，得出復數(shù)；（2）求出復數(shù)、和﹣應的點、、坐標，計算（【解答】解：）復數(shù)z＝+yi，、∈R；由|＝，得x+＝2；又z的實大于＞010/

+）

的值．

學習是一件很有意思的事z

＝﹣

+2的虛部為2＝2，所以＝1；解得x＝1，＝1所以復數(shù)＝1+；（2）復數(shù)z＝1+，＝（1+）＝2，﹣

＝（1+）﹣2＝1﹣；則A（1，1），（0，2）C（1，﹣1）；所以（+）＝，3）?（1﹣1）＝1×1+3×﹣1＝﹣2．【點評】本題考查了復數(shù)的代數(shù)形式運算問題，也考查了平面向量的運算問題，是基礎題．16．【分析】（1）以O為原點為軸為y軸，OA為軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線OB與所角的余弦值（2）求出平面COD法向量，利用向量法能求出直線與平面COD成角的正弦值．【解答】解：）O為原點，OC為軸為軸為軸，建立空間角坐標系，O（0，0），（0，1，0），（1，0，0，A，0，2），（0，1，＝（0，1，0），＝（﹣1，），設異面直線與所成角為θ則cosθ＝＝＝，∴異面直線與所成角的余弦值為．（2）＝（0，1，0），＝（1，0），＝（0，1，設平面COD法向量＝（，y，），則，y＝2，得＝，2，）設直線OB與平面COD所成角為，則直線OB與平面COD所成角的正弦值為：sinθ＝＝＝．11/

學習是一件很有意思的事【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值、線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．17．【分析】（Ⅰ）法一：設的中點為O，連接，PO推導出⊥，⊥，從而⊥面ABC，由此能證明平面⊥平面ABC．法二：設的中點為，連接BO，PO．推導出⊥，POA△≌△，∠POA∠POB＝∠POC＝90°，進而⊥，此能證⊥面，從而平面⊥平面ABC．法三：設的中點為，連接PO，推導出PO，的中點Q，連接及OB．推導出⊥．⊥AB．從而⊥平面OPQ，進而⊥，此能證明PO⊥平面ABC，而平面⊥平面．（Ⅱ）由⊥平面ABC，OB⊥，立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角﹣﹣的弦值．（Ⅲ）設，0μ≤1利用向量法能求出

的取值范圍．【解答】（本題滿分14分證明：（Ⅰ）證法一：設AC的中為O，連接PO由題意，，AO＝＝CO＝1因為在△中，PAPC，為AC的中點所以POAC，因為在△中，PO＝1OB＝1，所以PO因為ACOB＝，ACOB平面所以PO平面12/

學習是一件很有意思的事因為PO平（4分）所以平面⊥平面證法二：設的點為，連接BOPO因為在△中，PAPC，為AC的中點，所以POAC，因為PAPB＝PC，POPO＝AO＝BO＝CO所以△POA≌△POBPOC所以∠POA＝∠POB＝90°所以PO因為ACOB＝，ACOB平所以PO平面因為PO平（4分）所以平面⊥平面證法三：設的點為O，連PO因為在中，＝，所以PO設的點Q連接，及OB因為在△中，OAOB，為AB的中點所以OQAB．因為在△中，PAPB，為AB的中點所以PQAB．因為PQ∩＝，PQOQ平所以AB⊥平面因為平所以OP⊥AB因為ABAC＝，ABAC平所以PO平面因為PO平（4分）所以平面⊥平面13/

學習是一件很有意思的事解：（Ⅱ）由⊥平面ABC⊥，圖建立間直角坐標系，則O（0，0），（1，0，0），（0，1，0，A（﹣1，0，0）（0，0）由⊥面，故平面APC的法向量為由，設平面PBC法向量為，則由

得：令x＝1，得y＝1，，即由二面角﹣PC是二面角，所以二面角﹣﹣的余值為（9分）（Ⅲ）設，0≤μ≤1

，，令得（1﹣λ）（）（1μ）+λ?μ＝0即，是關λ單調遞增函數(shù)，當

時，，所以．分14/

學習是一件很有意思的事【點評】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查兩線段比值的求法，考查間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．18．【分析】（1）求出拋物線焦點坐標，然后求解拋物線方程．（2）：①設點（，）（，），通過拋物線方程，求解k，過P，Q關于直線l對稱點的kPQ﹣1，推出﹣）；

，的點在直線上推出＝2﹣p即可證明線段的點坐標為（﹣，②利用線段中坐標（﹣，﹣）．推出

，得到關于+2py+4p﹣4＝0，兩個不相等的實數(shù)根，列出不等式即可求出p的范．【解答】解：）∵l：﹣﹣2＝0∴與x軸的交點坐標2，0，即拋物線的焦點坐標2，0）．∴，∴拋物線：＝8．（2）證明：①設點（，）（，）則：，即：，＝＝，15/

P學習是一件很有意思的事P又∵，關直線對，k＝﹣1即y+y＝﹣2p，∴，又的點在直線l上∴＝＝2，∴線段PQ的中點坐標為（2﹣，﹣）；②因為PQ中點坐標（﹣，p．∴，∴，關于y+2py+4﹣4p＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△＞0