山西省臨汾市文城中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

山西省臨汾市文城中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖,設(shè)滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為12,則的最小值為

(

)A.

B.

C.

D.4參考答案：B2.已知非零向量滿足，且，則的形狀是（

）A．三邊均不相等的三角形

B．直角三角形

C．等腰（非等邊）三角形

D．等邊三角形參考答案：D考點：向量.3.P是雙曲線C：x2﹣y2=2左支上一點，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)2是雙曲線C的右焦點，則|PF2|+|PQ|的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線的ab，c，以及一條漸近線方程，運用雙曲線的定義，可得|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，依題意，當(dāng)且僅當(dāng)Q、P、F1三點共線，且P在F1，Q之間時，|PF1|+|PQ|最小，且最小值為F1到l的距離，從而可求得|PF2|+|PQ|的最小值．【解答】解：雙曲線C：x2﹣y2=2的a=b=，c=2，一條漸近線l方程為x﹣y=0，設(shè)雙曲線的左焦點為F1，連接PF1，由雙曲線定義可得|PF2|﹣|PF1|=2a=2，∴|PF2|=|PF1|+2，∴|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，當(dāng)且僅當(dāng)Q、P、F1三點共線，且P在F1，Q之間時，|PF1|+|PQ|最小，且最小值為F1到l的距離，可得F1（﹣2，0）到l的距離d==，∴|PQ|+|PF2|的最小值為2+=3．故選：C．4.已知，則為

(

）A．-2

B．-1

C．0

D．1參考答案：B5.如圖，A，F(xiàn)分別是雙曲線的左頂點、右焦點，過F的直線l與C的一條漸近線垂直且與另一條漸近線和y軸分別交于P，Q兩點．若AP⊥AQ，則C的離心率是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知全集U=R，集合，，則A．B．C．D．R參考答案：A7.設(shè)，若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則實數(shù)a等于(

)A.-1

B.0

C.1

D．參考答案：B8.當(dāng)時，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）子復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

參考答案：9.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（A）3

（B）4

（C）18

（D）40參考答案：C10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上的各點縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗蟮暮瘮?shù)圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的最大值為A． B． C． D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)在x＝1處取得極大值10，則的值為

．參考答案：312.閱讀右上邊的流程圖：設(shè)，，，則輸出的數(shù)（用字母表示）是

．參考答案：13.（x+）（2x﹣）5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為

．參考答案：40【分析】由于二項式展開式中各項的系數(shù)的和為2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值來，然后再由規(guī)律求出常數(shù)項【解答】解：由題意，（x+）（2x﹣）5的展開式中各項系數(shù)的和為2，所以，令x=1則可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二項式為由多項式乘法原理可得其常數(shù)項為﹣22×C53+23C52=40故答案為4014.雙曲線的焦距是________，漸近線方程是________．參考答案：，【知識點】雙曲線【試題解析】因為焦距漸近線方程是

故答案為：，15.已知集合，，則

參考答案：[-5,-1]∪(2,8)16.如圖是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運作的蛇形模型：數(shù)字出現(xiàn)在第行;數(shù)字出現(xiàn)在第行;數(shù)字（從左至右）出現(xiàn)在第行;數(shù)字出現(xiàn)在第行，依此類推，則第行從左至右的第個數(shù)字應(yīng)是．參考答案：19417.若的展開式中的系數(shù)為20，則

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知二次函數(shù)滿足，且的最小值是.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若是函數(shù)圖像上一點，求點到直線和直線的距離之積的最大值參考答案：解析:由,又的最小值為,故可設(shè)解析式又,代入上式的設(shè)點,其中則點M到直線的距離為,到直線的距離為=對求導(dǎo)得由,易得在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間單調(diào)遞減,時,有最大值19.已知函數(shù)滿足滿足；（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值．參考答案：解：（1）令得：得：在上單調(diào)遞增得：的解析式為且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）得①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增時，與矛盾②當(dāng)時，得：當(dāng)時，

令；則當(dāng)時，當(dāng)時，的最大值為。20.

設(shè)函數(shù)f(x)對所有的實數(shù)x都滿足f(x+2π)=f(x)，求證：存在4個函數(shù)fi(x)(i=1，2，3，4)滿足：（1）對i=1，2，3，4，fi(x)是偶函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）對任意的實數(shù)x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。

參考答案：證明：記，，則f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù)，對任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令，，，，其中k為任意整數(shù)。容易驗證fi(x)，i=1，2，3，4是偶函數(shù)，且對任意的x∈R，fi(x+π)=fi(x)，i=1，2，3，4。下證對任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，因為，而，故對任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。下證對任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)x=kπ時，h(x)=h(kπ)=h(kπ?2kπ)=h(?kπ)=?h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此時f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；當(dāng)時，，故，又f4(x)sin2x=0，從而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。于是，對任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。綜上所述，結(jié)論得證。21.在如圖的幾何體中，平面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（1）求證：AC⊥平面FBC；（2）求直線BF與平面ADE所成角的正弦值．參考答案：考點：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用．分析：（1）證明1：由余弦定理得，所以AC⊥BC，由此能夠證明AC⊥平面FBC．證明2：設(shè)∠BAC=α，∠ACB=120°﹣α．由正弦定理能推出AC⊥BC，由此能證明AC⊥平面FBC．（2）解法1：由（1）結(jié)合已知條件推導(dǎo)出AC⊥FC．由平面CDEF為正方形，得到CD⊥FC，由此入手能求出直線BF與平面ADE所成角的正弦值．解法2：由題設(shè)條件推導(dǎo)出CA，CB，CF兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法能求出直線BF與平面ADE所成角的正弦值．解答：（1）證明1：因為AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=（2BC）2+BC2﹣2×2BC?BC?cos60°，即．…（2分）所以AC2+BC2=AB2．所以AC⊥BC．…（3分）因為AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）證明2：因為∠ABC=60°，設(shè)∠BAC=α（0°＜α＜120°），則∠ACB=120°﹣α．在△ABC中，由正弦定理，得．…（1分）因為AB=2BC，所以sin（120°﹣α）=2sinα．整理得，所以α=30°．…（2分）所以AC⊥BC．…（3分）因為AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）（2）解法1：由（1）知，AC⊥平面FBC，F(xiàn)C?平面FBC，所以AC⊥FC．因為平面CDEF為正方形，所以CD⊥FC．因為AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）取AB的中點M，連結(jié)MD，ME，因為ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，所以MD=MA=AD．所以△MAD是等邊三角形，且ME∥BF．…（7分）取AD的中點N，連結(jié)MN，NE，則MN⊥AD．…（8分）因為MN?平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥MN．因為AD∩ED=D，所以MN⊥平面ADE．…（9分）所以∠MEN為直線BF與平面ADE所成角．…（10分）因為NE?平面ADE，所以MN⊥NE．…（11分）因為，，…（12分）在Rt△MNE中，．…（13分）所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為．…（14分）解法2：由（1）知，AC⊥平面FBC，F(xiàn)C?平面FBC，所以AC⊥FC．因為平面CDEF為正方形，所以CD⊥FC．因為AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）所以CA，CB，CF兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．…（7分）因為ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠ABC=60°所以CB=CD=CF．不妨設(shè)BC=1，則B（0，1，0），F(xiàn)（0，0，1），，，，所以，，．…（9分）設(shè)平面ADE的法向量為=（x，y，z），則有即取x=1，得=是平面ADE的一個法向量．…（11分）設(shè)直線BF與平面ADE所成的角為θ，則．…（13分）所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為．…（14分）點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值，解題時要注意向量法的合理運用，注意空間思維能力的培養(yǎng)．22.已知極坐標(biāo)的極點在平面直角坐標(biāo)系的原點處,極軸與軸的正半軸重合,且長度單位相