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1HUST-XD-D-1007-2013有限元分析及應(yīng)用袁銳01變分法基礎(chǔ)2

變分法基礎(chǔ)

FundamentalsofVariationalCalculus3變分及其特性1.泛函的定義在函數(shù)論中，自變量x對應(yīng)著另一變量y，稱變量y為自變量x的函數(shù)y(x)。如果自變函數(shù)y(x)對應(yīng)著另一個函數(shù)J[y(x)],則稱J[y(x)]為泛函。也即，泛函是函數(shù)的函數(shù)。如圖2.1所示，通過兩點(diǎn)A(x1,y1)及B(x2,y2)的曲線長度是函數(shù)的函數(shù)

于是這一問題的泛函是通過兩點(diǎn)的長度。通過兩點(diǎn)的函數(shù)很多，因此泛函值也很多，然而其中最短的只有一個，這就是泛函極值問題。變分原理就是研究泛函極值問題或駐值問題。4【定義】函數(shù)y(x)與另一函數(shù)Y(x)之差叫做函數(shù)y(x)的變分。（定義中的x泛指單元或多元變量）1.函數(shù)的變分(Variation)說明：（1）與函數(shù)增量y的區(qū)別

變分y反映的是整個函數(shù)的改變增量

y反映的是同一函數(shù)y(x)因?yàn)閤取不同值而產(chǎn)生的差異（2）與微分的關(guān)系如果y(x)和y=Y(x)-y(x)都可求導(dǎo)，則即：函數(shù)變分的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變分。換言之，函數(shù)求導(dǎo)與求變分這兩種運(yùn)算的順序是可以變換的。53.泛函的連續(xù)性(continuity)【定義】如果當(dāng)y(x)產(chǎn)生微量改變，有相應(yīng)的J[y(x)]的微量改變，則就說J[y(x)]是連續(xù)的?！径x】如果對于任意給定的一個正數(shù)，可以找到一個，且就稱泛函J[y(x)]在y(x)=y1(x)有m階連續(xù)，記為Cm。能使…C0C1圖2.262.泛函的變分A.泛函的增量定義可展開為泛函的線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)是y(x)的線性泛函自變函數(shù)的變分所引起的泛函的增量線性泛函是指滿足下列條件的泛函其中C為常數(shù)7當(dāng)泛函的變分定義為時，有是非線性泛函項(xiàng)，是y(x)的同階或高階的微量是y(x)的最大值因此，泛函的變分是泛函增量的主部，且該主部對于是線性的8

【例題】給出泛函

求變分【解答】9B.泛函的拉格朗日定義設(shè)按則泛函的增量可寫成引入將進(jìn)行泰勒展開10

【例題】給出泛函

求變分【解答】11

【例題】給出泛函

求變分【解答】

【例題】給出泛函

求變分【解答】123.泛函的運(yùn)算

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