山西省大同市劉家莊中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

山西省大同市劉家莊中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列命題是真命題的是（

）A．“若，則”的逆命題；

B．“若，則”的否命題；C．“同位角相等”的逆命題；

D．“若，則”的逆否命題參考答案：D略2.已知a＞b＞0，橢圓C1的方程為，雙曲線C2的方程為，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為()參考答案：A3.設(shè)是等腰三角形，，則以為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．參考答案：B4.已知拋物線C1：和C2：,如果直線L同時(shí)是C1和C2的切線，稱L是C1和C2的公切線，若C1和C2有且僅有一條公切線，則a的值為

(

)A．1

B．－1

C．

D．

參考答案：D略5.設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于A、B兩點(diǎn)，則=（

）A．

B．

C．3

D．-3參考答案：B。錯(cuò)因：向量數(shù)量積應(yīng)用，運(yùn)算易錯(cuò)。6.下列結(jié)論正確的是（

）A.若則 B.若則C.若則 D.若則參考答案：B【分析】利用不等式的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)和舉反例逐一判斷分析得解.【詳解】A.若則是假命題，因?yàn)閏=0時(shí)，顯然不成立.所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；B.若則，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=在R上是增函數(shù)，所以該選項(xiàng)是正確；C.若則不一定成立，如a=1,b=-1，所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；D.若則不一定成立，如：a=2，b=-3，所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式真假命題的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.7.設(shè)a=，b=,c=,則a,b,c的大小關(guān)系是A．a(chǎn)>c>b

B．a(chǎn)>b>c

C．c>a>b

D．b>c>a參考答案：C略8.設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的值為

A.

B.

C.

D.1參考答案：9.若成等比數(shù)列，是的等差中項(xiàng)，是的等差中項(xiàng)，則(

)

參考答案：C10.已知函數(shù)上單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的展開(kāi)式中第3項(xiàng)的系數(shù)為

。參考答案：40略12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為

．參考答案：13.過(guò)點(diǎn)的直線，與圓相較于A、B兩點(diǎn)，則________________。參考答案：14.方程x2+（m+3）x﹣m=0有兩個(gè)正實(shí)根，則m的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣9]．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)一元二次方程方程根的符號(hào)，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)方程的兩個(gè)正根分別為x1，x2，則由根與系數(shù)之間的關(guān)系可得，解得m≤﹣9，故m的取值范圍為：[﹣∞，﹣9]；故答案為：（﹣∞，﹣9]．15.若數(shù)列的通項(xiàng)公式，記，試通過(guò)計(jì)算的值，推測(cè)出

參考答案：略16.若存在實(shí)數(shù)滿足不等式，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．參考答案：由題可得：

17.向量與的夾角為θ，｜｜=2，｜｜=1，=t，=（1﹣t），｜｜在t0時(shí)取得最小值，當(dāng)0＜t0＜時(shí)，夾角θ的取值范圍是

．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【分析】由向量的運(yùn)算可得∴｜｜2=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函數(shù)可得0＜＜，解不等式可得cosθ的范圍，可得夾角的范圍．【解答】解：由題意可得=2×1×cosθ=2cosθ，=﹣=（1﹣t）﹣t，∴｜｜2==（1﹣t）2+t2﹣2t（1﹣t）=（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1由二次函數(shù)知當(dāng)上式取最小值時(shí)，t0=，由題意可得0＜＜，解得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知直線，圓.（Ⅰ）證明：直線與圓相交；（Ⅱ）當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求的值.

參考答案：（Ⅰ）直線方程變形為，由，得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，

………2分又，故點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓相交；………4分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，所截得的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)有，

………6分而，于是，解得.

……8分

略19.已知x＞3，求f（x）=x+的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5T：不等式．【分析】利用基本不等式直接求解表達(dá)式的最小值即可．【解答】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴f（x）=x+=x﹣3++3≥2+3=4+3=7，當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)取等號(hào)，∴f（x）=x+的最小值為7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，注意表達(dá)式的變形是解題的關(guān)鍵．20.已知圓，直線，直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且滿足.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．參考答案：解：（1）圓的方程可化為，故圓心為，半徑當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上，又，故直線過(guò)圓心，∴

從而所求直線的方程為

（2）設(shè)由得

即∴

①

聯(lián)立得方程組，化簡(jiǎn)，整理得

………….(*)由判別式得且有代入①式整理得,從而，又∴可得k的取值范圍是略21.如圖所示，矩形ABCD為本市沿海的一塊灘涂濕地，其中陰影區(qū)域有丹頂鶴活動(dòng)，曲線AC是以AD所在直線為對(duì)稱軸的拋物線的一部分，其中AB=1km，BC=2km，現(xiàn)準(zhǔn)備開(kāi)發(fā)一個(gè)面積為0.6km2的濕地公園，要求不能破壞丹頂鶴活動(dòng)區(qū)域．問(wèn)：能否在AB邊上取點(diǎn)E、在BC邊上取點(diǎn)F，使得△BEF區(qū)域滿足該項(xiàng)目的用地要求？若能，請(qǐng)給出點(diǎn)E、F的選址方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：由題意可得：△BEF區(qū)域滿足該項(xiàng)目的用地要求等價(jià)于△BEF面積的最大值不小于0.6km2，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，求出A，B，C，D的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出曲線AC的方程，欲使得△BEF的面積最大，必有EF與拋物線弧AC相切，設(shè)出切點(diǎn)（t，2t2），0≤t≤1，求出導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和方程，求出三角形BEF的面積，設(shè)f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極值，且為最值，即可判斷是否滿足要求．解：△BEF區(qū)域滿足該項(xiàng)目的用地要求等價(jià)于△BEF面積的最大值不小于0.6km2，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），設(shè)曲線AC所在的拋物線的方程為x2=2py（p＞0），代入點(diǎn)C（1，2）得p=，得曲線AC的方程為y=2x2（0≤x≤1），欲使得△BEF的面積最大，必有EF與拋物線弧AC相切，設(shè)切點(diǎn)為P（t，2t2），0≤t≤1，由y=2x2得y′=4x，故點(diǎn)P（t，2t2）處切線的斜率為4t，切線的方程為y﹣2t2=4t（x﹣t），即y=4tx﹣2t2，當(dāng)t=0時(shí)顯然不合題意，故0＜t≤1，令x=1得yP=4t﹣2t2，令y=0得xK=t，則S△BEF=BE?BF=（1﹣）（4t﹣2t2）=t3﹣2t2+2t，設(shè)f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，則f′（t）=（3t﹣2）（t﹣2），令f′（t）＞0得0＜t＜，令f′（t）＜0得＜t≤1，故f（t）在（0，）上遞增，在（，1]上遞減，故f（t）max=f（）=，而＜0.6，故該方案所得△BEF區(qū)域不能滿足該項(xiàng)目的用地要求．22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，E為動(dòng)點(diǎn)，且直線EA與直線EB的斜率之積為λ（λ≠0）（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程，若動(dòng)點(diǎn)E的軌跡和點(diǎn)A、B合并構(gòu)成曲線C，討論曲線C的形狀；（2）當(dāng)λ=﹣時(shí)，記曲線C的右焦點(diǎn)為F2，過(guò)點(diǎn)F2的直線l1，l2分別交曲線C于點(diǎn)P，Q和點(diǎn)M，N（點(diǎn)P、M、Q、N按逆時(shí)針順序排列），且l1⊥l2，求四邊形PMQN面積的最值．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），由點(diǎn)點(diǎn)，，E為動(dòng)點(diǎn)，且直線EA與直線EB的斜率之積為λ（λ≠0），知?=λ（λ≠0），由此能求出動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程．（2）分斜率存在與存在分別討論，利用直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，確定面積的表達(dá)式，即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），∵點(diǎn)，，E為動(dòng)點(diǎn)，且直線EA與直線EB的斜率之積為λ（λ≠0），∴?=λ（λ≠0），整理，得x2﹣=2，x≠±，∴動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程為﹣=1．λ=﹣1，曲線C表示圓；λ＜﹣1，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；﹣1＜λ＜0，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；λ＞0，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；（2）當(dāng)λ=﹣時(shí)，記曲線C：+y2=1的右焦點(diǎn)為F2（1，0）（?。┤鬺1與l2中一條斜率不存在，另一條斜率為0，則S==2…（ⅱ）若l1與l2得斜率均