概率論第三章3-1

第三

章 多維隨機變量及其分布從本講起，我們開始第三章的學習，一維隨機變量及其分布n

維隨機變量及其分布它是第二章內(nèi)容的推廣.1一、二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)1.概念的引入

到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維隨機變量及其分布.

但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用兩個或兩個以上的隨機變量來描述.§1 二維隨機變量2

為了研究某一地區(qū)6歲兒童的發(fā)育狀況，對這一地區(qū)的兒童進行抽查.

對這一地區(qū)的每一個6歲兒童都能觀測到他的身高H和體重W，

在這里，樣本空間S={e}={某一地區(qū)所有6歲兒童}，而身高H(e)和體重W(e)

都是定義在S上的隨機變量，由它們構(gòu)成一個向量(H,

W).實例13實例2

在平面坐標系中，一門大炮向目標發(fā)射一發(fā)炮彈.

炮彈落點位置由它的橫坐標X和縱坐標Y來確定.

橫坐標X(e)和縱坐標Y(e)

都是定義在同一個樣本空間上的隨機變量.

由它們構(gòu)成一個向量(X,

Y).42.定義

設(shè)E是一個隨機試驗，樣本空間為S={e}，設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)

都是定義在S上的隨機變量，由它們構(gòu)成的向量(X,

Y)，稱為二維隨機向量或二維隨機變量.5SeX(e)Y(e)注意事項6

第二章討論的隨機變量也叫一維隨機變量.

和一維的情況類似，我們也借助分布函數(shù)來研究二維隨機變量.73.聯(lián)合分布函數(shù)

設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，對任意實數(shù)x,y，二元函數(shù)：稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).894.分布函數(shù)的基本性質(zhì)1011(3)對于x和y，F(xiàn)(x,y)都是右連續(xù)的，即對任意的實數(shù)x0和y0，均有1213可以用分布函數(shù)計算某些事件的概率.14

一電子元件由兩個部件構(gòu)成，以X，Y分別表示兩個部件的壽命(單位：千小時).已知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為求兩個部件的壽命都超過100小時的概率.解

所求的概率為例115161.定義 一般地，如果(X,Y)全部可能取到的值是有限對或可列無窮多對，則稱(X,Y)是二維離散型隨機變量.二、二維離散型隨機向量及其分布上式稱為二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律，也稱隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律.17二維隨機向量(X,Y)的分布律也可表示為182.性質(zhì)3.二維離散型隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為19例120例1（續(xù)）21例1（續(xù)）22例2解且由乘法公式得2324三、連續(xù)型隨機向量及其聯(lián)合密度1.定義

對二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)，若存在非負可積函數(shù)f(x,y)，使得對任意的x,y有則稱(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，函數(shù)f(x,y)稱為二維隨機變量(X,Y)的概率密度，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度.252.聯(lián)合密度的性質(zhì)26

在幾何上z=f(x,y)表示空間的一個曲面，上式即表示

P{(X,Y)G}的值等于以G

為底，以曲面z=f(x,y)為頂?shù)闹w體積27設(shè)二維隨機變量(X,Y)具有概率密度解例32829注：

在進行與二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)相關(guān)的各種問題的計算時，經(jīng)常要用到二重積分或用到二元函數(shù)固定其中一個變量對另一個變量的積分，此時要注意弄清楚積分變量的變化范圍.

解題時，畫出有關(guān)函數(shù)定義域的圖形，有助于準確確定積分區(qū)域或積分區(qū)間.30設(shè)二維隨機變量(X,Y)具有概率密度解例4313233343. 二維連續(xù)型隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合密度的關(guān)系為35設(shè)例7求(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y).解36

設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機向量，且已知其分布函數(shù)為例8解3738

以上關(guān)于二維隨機變量的討論不難推廣到n(n>2)的情況.39

一般地，設(shè)E是一個隨機試驗，樣本空間為S={e}，設(shè)X1=X1(e)，X2=X2(e),…,Xn=Xn(e)都是定義在S上的隨機變量，由它們構(gòu)成的n維向量(X1,X2,…,Xn)稱為n維隨機向量或n維隨機變量.

對于任意n個實數(shù)x1,x2,…,xn,n元函數(shù)F(x1,x2,…,xn)=稱為n維隨機變量(