內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法

內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法報(bào)告人：楊中源馬明亮指導(dǎo)老師：鄒斌內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法基本思想

根據(jù)原約束優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)造的一個(gè)新的定義在可行域內(nèi)的無(wú)約束目標(biāo)函數(shù)，并在可行域內(nèi)求解新的目標(biāo)函數(shù)（內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)）的極值點(diǎn)，而這個(gè)點(diǎn)就是原問(wèn)題的近似解。算法特點(diǎn)

其突出特點(diǎn)是：求解時(shí)的探索點(diǎn)始終保持在可行域內(nèi)。數(shù)學(xué)描述對(duì)于如下不等式約束優(yōu)化問(wèn)題其中是連續(xù)函數(shù)可行域?yàn)?/p>

內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法數(shù)學(xué)描述根據(jù)內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法的思想，建新的定義域內(nèi)的無(wú)約束目標(biāo)函數(shù)B(x)的兩種最重要的形式：和r通常取很小的正數(shù)。這樣，當(dāng)x趨近可行域邊界時(shí)，G(x,r)趨近+∞,此時(shí)的x必不是極小值點(diǎn)。否則，r*B(x)趨近于0，G(r,x)的值近似于f(x)。通過(guò)這種方式，內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法就可以保證搜索過(guò)程在可行域S內(nèi)進(jìn)行，此時(shí)的罰函數(shù)B(x)又稱(chēng)障礙函數(shù)。這里也可以看出，內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法只適用于不等式約束的情況，對(duì)于等式約束，障礙函數(shù)無(wú)法發(fā)揮作用。同理內(nèi)懲法也取不到位于邊界上的解，而只能不斷接近。數(shù)學(xué)描述通過(guò)以上推導(dǎo)，利用內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法，原有不等式約束優(yōu)化問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)在定義域內(nèi)的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。懲罰因子（障礙因子）的選取r越小，G(x,r)的最優(yōu)解越接近原問(wèn)題的最優(yōu)解，但與外點(diǎn)法類(lèi)似，r太小將給G(x,r)的計(jì)算帶來(lái)很大的困難，因此仍采用序列無(wú)約束極小化方法（SUMT），取r為一個(gè)嚴(yán)格單減且趨于零的序列使r隨迭代過(guò)程遞減計(jì)算步驟收斂性

內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)收斂性定理：設(shè)一個(gè)非等式約束優(yōu)化問(wèn)題中，可行域內(nèi)部intS非空，且存在最優(yōu)解，又設(shè)對(duì)每一個(gè)，在intS內(nèi)存在極小點(diǎn)，并且內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法產(chǎn)生的全局極小點(diǎn)序列存在子序列收斂到，則是問(wèn)題的全局最優(yōu)解。證明：內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)發(fā)收斂性內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法收斂性內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法收斂性收斂性收斂性內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法與外點(diǎn)罰函數(shù)法的比較1.外點(diǎn)法的初始點(diǎn)可以任意取，內(nèi)點(diǎn)法的初始點(diǎn)必須取在可行域內(nèi)2.外點(diǎn)法對(duì)等式約束也適用，內(nèi)點(diǎn)法對(duì)等式約束不適用，因?yàn)榇藭r(shí)沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)存在。3.外點(diǎn)法只有迭代到最后才能得到可行解；而內(nèi)點(diǎn)法每一步得到的點(diǎn)都是可行解，這在實(shí)際問(wèn)題中很方便，隨時(shí)停止迭代，都可以得到原問(wèn)題的一個(gè)近似最優(yōu)解。4.外