內(nèi)點懲罰函數(shù)法

內(nèi)點罰函數(shù)法報告人：楊中源馬明亮指導(dǎo)老師：鄒斌內(nèi)點罰函數(shù)法基本思想

根據(jù)原約束優(yōu)化問題，構(gòu)造的一個新的定義在可行域內(nèi)的無約束目標(biāo)函數(shù)，并在可行域內(nèi)求解新的目標(biāo)函數(shù)（內(nèi)點懲罰函數(shù)）的極值點，而這個點就是原問題的近似解。算法特點

其突出特點是：求解時的探索點始終保持在可行域內(nèi)。數(shù)學(xué)描述對于如下不等式約束優(yōu)化問題其中是連續(xù)函數(shù)可行域為

內(nèi)點罰函數(shù)法數(shù)學(xué)描述根據(jù)內(nèi)點罰函數(shù)法的思想，建新的定義域內(nèi)的無約束目標(biāo)函數(shù)B(x)的兩種最重要的形式：和r通常取很小的正數(shù)。這樣，當(dāng)x趨近可行域邊界時，G(x,r)趨近+∞,此時的x必不是極小值點。否則，r*B(x)趨近于0，G(r,x)的值近似于f(x)。通過這種方式，內(nèi)點罰函數(shù)法就可以保證搜索過程在可行域S內(nèi)進(jìn)行，此時的罰函數(shù)B(x)又稱障礙函數(shù)。這里也可以看出，內(nèi)點罰函數(shù)法只適用于不等式約束的情況，對于等式約束，障礙函數(shù)無法發(fā)揮作用。同理內(nèi)懲法也取不到位于邊界上的解，而只能不斷接近。數(shù)學(xué)描述通過以上推導(dǎo)，利用內(nèi)點罰函數(shù)法，原有不等式約束優(yōu)化問題就轉(zhuǎn)化為一個在定義域內(nèi)的無約束優(yōu)化問題。懲罰因子（障礙因子）的選取r越小，G(x,r)的最優(yōu)解越接近原問題的最優(yōu)解，但與外點法類似，r太小將給G(x,r)的計算帶來很大的困難，因此仍采用序列無約束極小化方法（SUMT），取r為一個嚴(yán)格單減且趨于零的序列使r隨迭代過程遞減計算步驟收斂性

內(nèi)點罰函數(shù)收斂性定理：設(shè)一個非等式約束優(yōu)化問題中，可行域內(nèi)部intS非空，且存在最優(yōu)解，又設(shè)對每一個，在intS內(nèi)存在極小點，并且內(nèi)點罰函數(shù)法產(chǎn)生的全局極小點序列存在子序列收斂到，則是問題的全局最優(yōu)解。證明：內(nèi)點罰函數(shù)發(fā)收斂性內(nèi)點罰函數(shù)法收斂性內(nèi)點罰函數(shù)法收斂性收斂性收斂性內(nèi)點罰函數(shù)法與外點罰函數(shù)法的比較1.外點法的初始點可以任意取，內(nèi)點法的初始點必須取在可行域內(nèi)2.外點法對等式約束也適用，內(nèi)點法對等式約束不適用，因為此時沒有內(nèi)點存在。3.外點法只有迭代到最后才能得到可行解；而內(nèi)點法每一步得到的點都是可行解，這在實際問題中很方便，隨時停止迭代，都可以得到原問題的一個近似最優(yōu)解。4.外