2021版高考文科數(shù)學(北師大版)一輪復習高效演練分層突破第九章第7講雙曲線Word版解析版

[基礎題組練]1．(2019高·考北京卷)已知雙曲線x25，則a＝()a2－y2＝1(a＞0)的離心率是A.6B．41C．2D.2分析：選D.由雙曲線方程x2－y2＝1，a2得b2＝1，因此c2＝a2＋1.22＋112.因此5＝e2＝c2＝a2＝1＋aaa聯(lián)合a>0，解得a＝1.2應選D.x2y2x2y2C2的2．若雙曲線C1：－＝1與C2：2－b2＝1(a>0，b>0)的漸近線同樣，且雙曲線28a焦距為45，則b＝()A．2B．4C．6D．8分析：選B.由題意得，b＝2?b＝2a，C2的焦距2c＝45?c＝a2＋b2＝25?b＝4，a應選B.3．設雙曲線x2－y2＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上的一點，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，8則△PF1F2的面積等于()A．103B．83C．85D．165分析：選C.依題意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，由于|PF1|∶|PF2|＝3∶4，因此|PF1|＝6，182|PF2|＝8，因此等腰三角形PF1F2的面積S＝2×8×62－2＝85.4．(2020長·春市質(zhì)量監(jiān)測(一))已知雙曲線x222－y2＝1(a>0，b>0)的兩個極點分別為A，B，ab點P為雙曲線上除A，B外任意一點，且點P與點A，B連線的斜率分別為k1，k2，若k1k2＝3，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±3xD．y＝±2x分析：選C.設點P(x，y)，由題意知k1·k2＝y(tǒng)·y＝x－ax＋a

y2y2b2x2－a2＝a2y2＝a2＝3，因此其b2漸近線方程為y＝±3x，應選C.5．(2019高·考天津卷)已知拋物線2＝4x的焦點為F，準線為l.若l與雙曲線x2－y2＝ab1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為()A.2B.3C．2D．5分析：選D.由題意知F(1，0)，l：x＝－1，雙曲線的漸近線方程為by＝±x，則|AB|＝4|OF|a＝4，而|AB|＝2×b，因此b＝2，因此e＝c＝2222a＋b＝a＋4a＝5，應選D.aaaaa26．(2019高·考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線x2－y2＝1(b>0)經(jīng)過點(3，4)，b則該雙曲線的漸近線方程是．2分析：由于雙曲線x2－y2＝1(b>0)經(jīng)過點(3，4)，因此9－162＝1(b>0)，解得b＝2，即bb2雙曲線方程為x2－y＝1，其漸近線方程為y＝±2x.2答案：y＝±2x7．(2020陜·西渭南期末改編)已知方程x2＋y2＝1，若該方程表示雙曲線，則k的取4－kk－2值范圍是，若該方程表示焦點在x軸上的橢圓，則k的取值范圍是．分析：方程x2＋y2＝1表示雙曲線，若焦點在x軸上，則4－k>0，k－2<0，解得k<2；4－kk－2若焦點在y軸上，則4－k<0，k－2>0，解得k>4，則k的取值范圍是(－∞，2)∪(4，＋∞)．若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則4－k>k－2>0，即2<k<3，則k的取值范圍為(2，3)．答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)(2，3)x2y28．(2020云·南昆明診斷測試改編)已知點P(1，3)在雙曲線C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的漸近線上，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，O為原點．若∠FPO＝90°，則雙曲線C的方程為，其離心率為．分析：由于雙曲線x2y2bC：2－2＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，點P(1，3)在漸aba近線上，因此b＝3.在Rt△OPF中，|OP|＝（3）2＋1＝2，∠FOP＝60°，因此|OF|＝cax2y2c＝4.又c2＝a2＋b2，因此b＝23，a＝2，因此雙曲線C的方程為4－12＝1，離心率e＝a＝2.答案：x2y2－＝12412x2y29．已知橢圓D：50＋25＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有同樣的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．解：橢圓D的兩個焦點坐標為(－5，0)，(5，0)，因此雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c＝5.設雙曲線G的方程為x2y2－＝1(a>0，b>0)，a2b2因此漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圓心M(0，5)到兩條漸近線的距離為3.因此|5a|＝3，得a＝3，b＝4，b2＋a222因此雙曲線G的方程為x－y＝1.91610．已知雙曲線的中心在原點，焦點F，F(xiàn)在座標軸上，離心率為2，且過點(4，－10)．12(1)求雙曲線方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上．解：(1)由于離心率e＝2，因此雙曲線為等軸雙曲線，可設其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，則由點(4，－10)在雙曲線上，可得λ＝42－(－10)2＝6，因此雙曲線的方程為x2－y2＝6.(2)證明：由于點M(3，m)在雙曲線上，因此32－m2＝6，因此m2＝3，又雙曲線x2－y2＝6的焦點為F1(－23，0)，F(xiàn)2(23，0)，→→因此MF1·MF2＝(－23－3，－m)·(23－3，－m)＝(－3)2－(23)2＋m2＝9－12＋3＝0，因此MF1⊥MF2，因此點M在以F1F2為直徑的圓上．[綜合題組練]2－y21．(2020河·南鶴壁高中12是雙曲線x＝1(a>0，b>0)的左、右ba焦點，P是雙曲線C右支上一點，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，則雙曲線C的漸近線方程是()A.3x±y＝0B．2x±7y＝0C.3x±2y＝0D．2x±3y＝0分析：選C.由于F1、F2是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線右支上，因此由雙曲線定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，因此|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，222222由余弦定理可得cos60°＝|PF1|＋|PF2|－|F1F2|，即1＝（3a）＋a－4c，因此3a2＝10a22|PF1222×3a×a|·|PF|23，因此雙曲線C的漸近線方程為y＝±3x，－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，因此b2＝a42即3x±2y＝0，應選C.222．(2019高·考全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：x2－y2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，abF2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于→→→→A，B兩點，若F1A＝AB，F(xiàn)1B·F2B＝0，則C的離心率為．→→分析：法一：由于F1B·F2B＝0，因此F1B⊥F2B，如圖．→→因此|OF1|＝|OB|，因此∠BF1O＝∠F1BO，因此∠BOF2＝2∠BF1O.由于F1A＝AB，因此點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，因此OA∥BF2，因此F1B⊥OA，由于直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線1a，tan∠BOF2b2＝，因此tan∠BFO＝b＝a.由于tan∠BOFab2×b，因此b2＝3a2，因此c2－a2＝3a2，即2a＝c，因此雙曲線的tan(2∠BF1O)，因此a＝a21－b離心率e＝c＝2.a→→法二：由于F1B·F2B＝0，因此F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，因此∠OBF2→→，因此A為F1B的中點，因此OA∥F2B，因此∠F1OA＝∠OF2B.又＝∠OF2B，又F1A＝AB∠F1OA＝∠BOF2，因此△OBF2為等邊三角形．由F2(c，0)可得Bc，3c，由于點B在直22線y＝b3bc，因此b＝3，因此e＝1＋b2x上，因此＝2.a2aaa2答案：2223．已知雙曲線C：x2－y2＝1(a>0，b>0)的離心率為3，點(3，0)是雙曲線的一個極點．a(chǎn)b(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不一樣的兩點A，B，求|AB|.22解：(1)由于雙曲線C：x－y＝1(a>0，b>0)的離心率為3，點(3，0)是雙曲線的一個a2b2極點，c＝3，因此a解得c＝3，b＝6，a＝3，x2y2因此雙曲線的方程為－＝1.22(2)雙曲線x－y＝1的右焦點為F2(3，0)，36因此經(jīng)過雙曲線右焦點F2且傾斜角為30°的直線的方程為y＝33(x－3)．x2－y2＝1，36得5x2＋6x－27＝0.聯(lián)立3y＝3（x－3），設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－6，x1x2＝－27.55因此|AB|＝1＋1×－62－4×－27＝163.35554．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(4，0)，實軸長為43.(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：y＝kx＋22與雙曲線C的左支交于A，B兩點，求k的取值范圍．22解：(1)設雙曲線C的方程為x2－y2＝1(a>0，b>0)．a(chǎn)b由已知得，a＝23，c＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝4，因此雙曲線C的方程為x2