2021屆天津市河西區(qū)高三上學期期末考試數(shù)學試卷

河西區(qū)2020—學年度第一學期高三年級期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學試卷共150分，考試時分鐘一選擇題：在每小給出的個選項中，有一項符合題目要的.設集

IZ

I

()A.

B.

【答案】【解析】【分析】先利用補集運算求出B，可根據(jù)并集運算求出I

I【詳解】因為

IZ

，所以

I

，故

A

I

故選：．【點睛】本題主要考查集合的補集和并集運算，以及常用數(shù)集的識別，屬于基礎題．已命題

R

，x

x0，命題的定是（）A.

，

x

B.

，x

xC.

R，

D.

R，x2x【答案】【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定，改變量詞，否定結(jié)論，可得出命題的否定【詳解】命題為稱命題，其定為

:R

，x

2

.故選：C.【點睛】本題考查特稱命題的否定的改寫，要注意量詞和結(jié)論的變化，屬于基礎.某學高一、高、高三年級的學生人數(shù)之比依次657防疫站欲對該校學生進行身體健康調(diào)查，用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為樣本本中高三年級的學生有21人于（）-1-

35C.54D.【答案】【解析】【分析】由某中學高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為6：，知高三年級學生的數(shù)量總數(shù)的

，再由分層抽樣的方法從三個年級的學生中抽取一個容量為的本，高三年級被抽到的人數(shù)為21人能求出n.【詳解】解：∵某中學高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為6：7，∴高三年級學生的數(shù)量占總數(shù)的

，∵分層抽樣的方法從三個年級的學生中抽取一個容量為的本，若已知高三年級被抽到的人數(shù)為21人，∴n＝21

718

.故選：【點睛】本題考查分層抽樣的應用，是基礎.函1A.2

f

是定義在R上奇函數(shù)，且當B.

x

時，C.

f

(a為常數(shù)，

f

（）【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得

f

，可得當時，

f

，利用f

即可得解.【詳解】

函數(shù)

f

是定義在R上奇函數(shù)，當

x

時，

f

，f

，解得

a

，當時

f

，f

故選：【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎.設a2ln2，

b4

，clog

，則，b，的大小關(guān)系是（）

C.

【答案】-2-

【解析】【分析】直接利用指數(shù)和對數(shù)的單調(diào)性求【詳解】因為

ln

，

log2

，0log

，所以

故選：A已正方體的體是，則這個正方體的外接球的體積是（）2

43

C.

3

83【答案】【解析】【分析】根據(jù)體積得到正方體棱長，根據(jù)正方體的外接球半徑為體對角線的一半得到半徑，計算體積得答【詳解】正方體的體積為

則正方體棱長，方體的外接球半徑為體對角線的一半，即

223，

V33

.故選：【點睛】本題考查了正方體的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力，將半徑化為求體對角線是解題的關(guān)鍵.將數(shù)x稱，則m的小值是（）

的圖像沿x向右平移m(

個單位長度，所得函數(shù)的圖像關(guān)于軸對

12

C.

6

6【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化為

，然后利用三角函數(shù)的平移變換原則即可求.【詳解】

sin3cosx

，將函數(shù)的圖像沿x軸右平移m(m0)

個單位長度，-3-

可得可得2sin

，此函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則

，解得

，因

m

，則當

時，取得最小值.6故選：D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的平移變換原則、輔助角公式、誘導公式，屬于基礎.已雙曲線

y2b的頂點與拋物線b

y

2

2px(0)

的焦點的距離為，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為

(

，則雙曲線的焦距為（）

2

C.

2【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得

，進而可得雙曲線的左頂點，由雙曲線的漸近線方程結(jié)合點(

在雙曲線的其中一條漸近線上，即可求出再利用雙曲線的性質(zhì)即可得.【詳解】

拋物線

y2p0)

，

該拋物線的準線為

x

p2

，又雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為

(

，點在直線x

p上4，2

拋物線的焦點為

(2,0)

，又雙曲線的左頂點與拋物線的焦點的距離為4雙曲線的左頂點為

a

，

雙曲線的漸近線方程為

y

x

，由點

(

在雙曲線的其中一條漸近線上可得

b2

即

，

雙曲線的焦距

2c

故選：【點睛】本題考查了雙曲線與拋物線的綜合應用，考查了運算求解能力與推理能力，關(guān)鍵是對圓錐曲線性質(zhì)的熟練掌握，屬于中檔題.在形中，AB//CD，

，AD，點M在段上則-4-

22AM的小值為（）A

920

C.

【答案】【解析】【分析】根據(jù)

AB//

，

DAB

，AB，

CDAD

，建立空間直角坐標系，設得到

M(2

，再求得AMCM的標，利用數(shù)量積的坐標運求.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系：因為//CD，DAB90

，AB，

，所以

，D(0,1)，(1,1)，設所以

M(2

，所以AM(2

，CM

，所以CM，10當

時，AMCM的小值為

920

，故選：二填空題：本大題個小題，每小題分，共30分10.設，

是實數(shù)，則a=．【答案】【解析】-5-

2【2利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡復數(shù)結(jié)果.a【詳解】1a1i2是實數(shù)，

，利用虛部為零可得

，得

a

，故答案為【點睛】復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的模這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)轉(zhuǎn)化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失11.二項式

xx

的展開式中的常數(shù)項__________.【答案】15【解析】【分析】由該二項式的通項公式即可得.【詳解】由題意可得，通項為

Cr6

1

r

r6

6

3r2

，令

3r

，得r所以常數(shù)項為

C46

，故答案為：.12.過點(的線l

與圓

x

2

y

2

4

相切，則直線l

在y軸的截距為__________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意，分析可得點

在圓

x

22

上，根據(jù)垂直關(guān)系求出切線的斜率，由點斜式求出切線方程，根據(jù)截距的定義可得結(jié)果【詳解】因為(3)

2

，所以點(

在圓

x224

上，-6-

11∴切線l

的斜率

，則切線l

的方程為

3(x

，變形可得y3所以直線l在y軸上的截距為4；故答案為：4.【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，考查了求圓的切線方程，考查了直線的截距，屬于基13.一袋中裝有大小相同的黑球和白.已知從袋中任意摸出2球，至少得到1個球的概率是則袋中白球的個數(shù)為____；袋中任意摸出球，則摸到白球的個數(shù)X的學期望為____.

，【答案】

【解析】【分析】設白球個數(shù)為，根據(jù)古代概型概率公式和對立事件概率公式列方計算m計算X的各種取值對應的概率，再計算數(shù)學期望.【詳解】設袋中有白球m，則有黑球﹣個設事件：從袋中任意摸出個球，至少得到1個球，則P（）＝

C4C5

，解得

，即

2

，得m3或m（由從袋中任意摸出2個，則摸到白球的個數(shù)X可的取值為

0,1,2

，13431則P（＝）＝1，P（＝1）3，P（X＝25C2555

，∴E（）＝

15

故答案為：3，【點睛】本題主要考查了組合數(shù)的運算，以及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算，其解答中熟記組合數(shù)的計算公式，找出隨機變量的取值，求得相應的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問與解答問題，以及推理與計算能力.14.已知

，且

33+a

，

a

的最小值為______________.-7-

【答案】【解析】【分析】先利用基本不等式求得

(a2)2(b

的最小值，進而求得

a

的最小值，即可得到答案【詳解】由題意，設又由

2)2(b2)

，[(a2)b2)]

33b2)b)，aaab當且僅當

6(3=ab

時，即a2(2)

時等號成立，即的小值為2，以故答案為

a

的最小值是2

【點睛主考查了利用基本不等式求最值問題答中先利用基本不等式求得的最小值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試.

(a2)2(b2)15.已知函數(shù)

()

x,x2x

，若方程

f

有且只有三個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)k的值范圍【答案】

2

【解析】【分析】方程

f

有且只有三個不相等的實數(shù)解，可轉(zhuǎn)化為

與圖有三個交點，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解的值范圍.【詳解】方程

f

有且只有三個不相等的實數(shù)解，可轉(zhuǎn)化為

f

與圖有三個交點，畫出

fx

xx

，與

圖象如圖，

3xx-8-

kx

與

yx

相切時，2

，kx

過點(時

k

，

根據(jù)圖象可知，

2

時，兩圖象有三個交點，若方程f

有且只有三個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍時

[

2)

，故答案為：

【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)[，]上是連續(xù)不斷的曲線，且faf)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性如單調(diào)性、奇偶)能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．三解答題：本大題小題，共75分解答應寫文字說，證明過程演算步.16.在

的內(nèi)角

AB,C

的對邊分別是

b

，滿足

Csin

（1）求角的；（2）若，b2，求

sin

的值【答案）

）

-9-

【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，由正弦定理角化，得到三邊的關(guān)系，進而利用余弦定理求解；（2由弦定理求得sinB,

并根據(jù)邊的大小關(guān)系判定為銳角然后利用倍角公式和兩角和的正弦公式計算.【詳解】解）∵

Csin

，由正弦定理得，

ca

化簡得，

2

2

2

.由余弦定理得，cosA又，

2

222∴

（2）由（）知，

，又a，∴B

A.又b

，∴B

B

33

∴B

23

，2B2sin

13

，∴sin2B

223sin2coscos3

【點睛】本題考查正余弦定理的綜合運用，涉及二倍角公式和兩角和差的三角函數(shù)公式，屬中難度的題目.

關(guān)鍵是熟練利用正弦定理，余弦定理和三角恒等變形計17.如四柱

AB1

的底面為菱形，AA底，BAD1

，AB，E，F(xiàn)分別為

CD，的中點．1-10-

111111（Ⅰ）求證：平AE；（Ⅱ）若直線

與平面

BAE

所成角的正弦值為

，求

1

的長；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角

BAED11

的正弦值．【答案）解析（Ⅱ）AA的為（Ⅲ）1【解析】【分析】

31010（Ⅰ）取的中點1

G

，根據(jù)三角形中位線和菱形特點可證得四邊形

是平行四邊形，從而得到DF//EG

，根據(jù)線面平行判定定理證得結(jié)論過等腰三角形和線面垂直可證得

AAAB,1

兩兩互相垂直，則可將A

作為原點建立空間直角坐標系，利用線面角正弦值的向量求法建立關(guān)于

1

的方程，解方程得到結(jié)果據(jù)二面的空間向量求法求解出二面角的余弦值根同角三角函數(shù)關(guān)系得到所求正弦值【詳解）明：取的點，連接，GE1FG分為AB11

中點1AB且FG//A，又DEA且/A2FGDE

且

FG//DE

四邊形

是平行四邊形/又DF平，EG

平面BAE，-11-

AD3,2，AD3,2，DF//

平面

BAE（Ⅱ）解：在菱形

ABCD

中，

BADADC

是等邊三角形，又E

為CD中點，//

AB又平面1

ABCD

AA，AAAE11則以A

為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系：設則

t3,01AD1設平面BAE的向量n

ABt

，

3,0

nn

，即

xy令則，

設直線AD與面B所的角為1

則

sincos,

t2t

解得：t

，即的長為1（Ⅲ）設平面DAE的向量m,z1111

-12-

nn

m

，即

y31令

z

，則

y1

，

x1

m設二面角

BAED的平面角為11則

cos

cosm

41m25sin

，即二面角

BAED11

的正弦值為

31010【點睛】本題考查線面平行關(guān)系的證明、利用線面角求解其他量、二面角的求解問題，考查學對于向量法求解立體幾何中角度問題的掌握，考查學生的計算能力，屬于常規(guī)題18.設等差數(shù)列

n

d為數(shù)n項和S數(shù)

n

q

a1

1

2

，dq，S10010

，nN

*（1求數(shù)列

n

n

式（2設

，求數(shù)列

項為.n【答案）2n1

（2）

T

n【解析】【分析】12100詳解】ad1dd

2n1

2

nn

c

n

-13-

nnnn2tnnnn2t

T

7n32

592nT235n

12nnT2nn2n

T

n

【點睛】用錯位相減法求和應注意的問(1)善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出S－qS”的表達式(3)在用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等1和等于1種情況求.19.已知橢圓C:

ya2b

的離心率為點A為圓的右頂點B為橢圓的上頂點點F為橢圓的左焦點，且的積是Ⅰ.求橢圓C的程；

．Ⅱ.設直線

xmy

與橢圓C交P兩點關(guān)于軸的對稱點為P與不合1

PQ與x軸于點H求面的取值范圍．【答案】I.

4

y

；

S【解析】【分析】I.根據(jù)心率和

FAB

以及

2

2

2

可求得

b

的值得橢圓方程聯(lián)直線方程與橢圓方程，假設P,坐，可得P標及根與系數(shù)的關(guān)系式：1

y2

m，ym

；根據(jù)直線

PQ的兩點式方程示出H點坐標，入根系數(shù)關(guān)系式可得

，從而所求面積為：

y

y

yy2

，換元整理后得到

PQH

tt2

t

，利用t3求所求面積的取值范.【詳解】I.e

得ca2則

S

FAB

322

-14-

212t212t則

22

3

，解得：a，，c3橢的標準方程為：

x24

y

2

II.

由P與Q不合可知：1

聯(lián)立y

，整理可得：

my

，

設

P

1

，

,y2

，則

P1

,11

則

y2

m3，ym2直線方程為：

y

y1

令y0，得：

x22yyy1又

xmy，my11則

x

1yy2

my12yy2

myyy2

m22m

m4m即直線

PQ與x軸點為：

34

y1

2

12

2

，

令t

m

2

3

，則m

PQH

t

t2

t

t當t3時t單遞增，則ttt

6t

1t

6433

362，

t

-15-

PQH

3【點睛】本題考查橢圓標準方程求解、橢圓中的三角形面積的取值范圍問題，解題的關(guān)鍵是能通過已知條件確定出H點坐標，從而將求面積轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)值域的問題，通過函數(shù)值域的求法求得所范圍，本題思路雖然不復雜，但計算量較大，屬于偏難.20.已知函數(shù)

f

，其中

是自然對數(shù)的底數(shù)（1求曲線

f

在點

處的切線方程；（2設函數(shù)

h

(

，討論

的單調(diào)性；（3若對任意

512

，恒有關(guān)于