如何撰寫數(shù)學(xué)建模論文

當(dāng)我們完成一個(gè)數(shù)學(xué)建模的全過程后，就應(yīng)該把所作的工作進(jìn)行小結(jié)，寫成論文。撰寫數(shù)學(xué)建模論文和參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模時(shí)完成答卷，在許多方面是類似的。事實(shí)上數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽也包含了學(xué)生寫作能力的比試，因此，論文的寫作是一個(gè)很重要的問題。

如何撰寫數(shù)學(xué)建模論文機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束首先要明確撰寫論文的目的。數(shù)學(xué)建模通常是由一些部門根據(jù)實(shí)際需要而提出的，也許那些部門還在經(jīng)濟(jì)上提供了資助，這時(shí)論文具有向特定部門匯報(bào)的目的，但即使在其他情況下，都要求對(duì)建模全過程作一個(gè)全面的、系統(tǒng)的小結(jié)，使有關(guān)的技術(shù)人員（競(jìng)賽時(shí)的閱卷人員）讀了之后，相信模型假設(shè)的合理性，理解在建立模型過程中所用數(shù)學(xué)方法的適用性，從而確信該模型的數(shù)據(jù)和結(jié)論，放心地應(yīng)用于實(shí)踐中。當(dāng)然，一篇好的論文是以作者所建立的數(shù)學(xué)模型的科學(xué)性為前提的。其次，要注意論文的條理性。

費(fèi)馬目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束下面就論文的各部門應(yīng)當(dāng)注意的地方具體地來(lái)作一些分析。（一）

問題提出和假設(shè)的合理性

在撰寫論文時(shí)，應(yīng)該把讀者想象為對(duì)你所研究的問題一無(wú)所知或知之甚少的一個(gè)群體，因此，首先要簡(jiǎn)單地說(shuō)明問題的情景，即要說(shuō)清事情的來(lái)龍去脈。列出必要數(shù)據(jù)，提出要解決的問題，并給出研究對(duì)象的關(guān)鍵信息的內(nèi)容，它的目的在于使讀者對(duì)要解決的問題有一個(gè)印象，以便擅于思考的讀者自己也可以嘗試解決問題。歷屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的試題可以看作是情景說(shuō)明的范例。

費(fèi)馬目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)情景的說(shuō)明，不可能也不必要提供問題的每個(gè)細(xì)節(jié)。由此而來(lái)建立數(shù)學(xué)模型還是不夠的，還要補(bǔ)充一些假設(shè)，模型假設(shè)是建立數(shù)學(xué)模型中非常關(guān)鍵的一步，關(guān)系到模型的成敗和優(yōu)劣。所以，應(yīng)該細(xì)致地分析實(shí)際問題，從大量的變量中篩選出最能表現(xiàn)問題本質(zhì)的變量，并簡(jiǎn)化它們的關(guān)系。這部分內(nèi)容就應(yīng)該在論文的“問題的假設(shè)”部分中體現(xiàn)。由于假設(shè)一般不是實(shí)際問題直接提供的，它們因人而異，所以在撰寫這部分內(nèi)容時(shí)要注意以下幾方面：

費(fèi)馬目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（1）

論文中的假設(shè)要以嚴(yán)格、確切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，使讀者不致產(chǎn)生任何曲解。（2）

所提出的假設(shè)確實(shí)是建立數(shù)學(xué)模型所必需的，與建立模型無(wú)關(guān)的假設(shè)只會(huì)擾亂讀者的思考。（3）

假設(shè)應(yīng)驗(yàn)證其合理性。假設(shè)的合理性可以從分析問題過程中得出，例如從問題的性質(zhì)出發(fā)作出合乎常識(shí)的假設(shè)；或者由觀察所給數(shù)據(jù)的圖象，得到變量的函數(shù)形式；也可以參考其他資料由類推得到。對(duì)于后者應(yīng)指出參考文獻(xiàn)的相關(guān)內(nèi)容。

費(fèi)馬目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（二）

模型的建立在作出假設(shè)后，我們就可以在論文中引進(jìn)變量及其記號(hào)，抽象而確切地表達(dá)它們的關(guān)系，通過一定的數(shù)學(xué)方法，最后順利地建立方程式或歸納為其他形式的數(shù)學(xué)問題，此處，一定要用分析和論證的方法，即說(shuō)理的方法，讓讀者清楚地了解得到模型的過程上下文之間切忌邏輯推理過程中躍度過大，影響論文的說(shuō)服力，需要推理和論證的地方，應(yīng)該有推導(dǎo)的過程而且應(yīng)該力求嚴(yán)謹(jǐn)；引用現(xiàn)成定理時(shí)，要先驗(yàn)證滿足定理的條件。論文中用到的各種數(shù)學(xué)符號(hào)，必須在第一次出現(xiàn)時(shí)加以說(shuō)明。總之，要把得到數(shù)學(xué)模型的過程表達(dá)清楚，使讀者獲得判斷模型科學(xué)性的一個(gè)依據(jù)。

（三）模型的計(jì)算與分析

把實(shí)際問題歸結(jié)為一定的數(shù)學(xué)問題后，就要求解或進(jìn)行分析。在數(shù)值求解時(shí)應(yīng)對(duì)計(jì)算方法有所說(shuō)明，并給出所使用軟件的名稱或者給出計(jì)算程序（通常以附錄形式給出）。還可以用計(jì)算機(jī)軟件繪制曲線和曲面示意圖，來(lái)形象地表達(dá)數(shù)值計(jì)算結(jié)果。基于計(jì)算結(jié)果，可以用由分析方法得到一些對(duì)實(shí)踐有所幫助的結(jié)論。有些模型（例如非線性微分方程）需要作穩(wěn)定性或其他定性分析。這時(shí)應(yīng)該指出所依據(jù)的數(shù)學(xué)理論，并在推理或計(jì)算的基礎(chǔ)上得出明確的結(jié)論。在模型建立和分析的過程中，帶有普遍意義的結(jié)論可以用清晰的定理或命題的形式陳述出來(lái)。結(jié)論使用時(shí)要注意的問題，可以用助記的形式列出。定理和命題必須寫清結(jié)論成立的條件。

（三）

模型的討論對(duì)所作的數(shù)學(xué)模型，可以作多方面的討論。例如可以就不同的情景，探索模型將如何變化。或可以根據(jù)實(shí)際情況，改變文章一開始所作的某些假設(shè)，指出由此數(shù)學(xué)模型的變化。還可以用不同的數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算，并比較所得的結(jié)果。有時(shí)不妨拓廣思路，考慮由于建模方法的不同選擇而引起的變化。通常，應(yīng)該對(duì)所建立模型的優(yōu)缺點(diǎn)加以討論比較，并實(shí)事求是地指出模型的使用范圍。除正文外，論文和競(jìng)賽答卷都要求寫出摘要。我們不要忽視摘要的寫作。因?yàn)樗鼤?huì)給讀者和評(píng)卷人第一印象。摘要應(yīng)把論文的主要思路、結(jié)論和模型的特色講清楚，讓人看到論文的新意。費(fèi)馬目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束語(yǔ)言是構(gòu)成論文的基本元素。數(shù)學(xué)建模論文的語(yǔ)言與其他科學(xué)論文的語(yǔ)言一樣，要求達(dá)意、干練。不要把一句句子寫得太長(zhǎng)，使人不甚卒讀。語(yǔ)言中應(yīng)多用客觀陳述句，切忌使用你、我、他等代名詞和帶主觀意向的語(yǔ)句。在英語(yǔ)論文寫作中應(yīng)多用被動(dòng)語(yǔ)態(tài)，科學(xué)命題與判斷過程一般使用現(xiàn)在時(shí)態(tài)。最后，論文的書寫和附圖也都很重要。附圖中的圖形應(yīng)有明確的說(shuō)明，字跡力求端正。有條件的，最好能把文章用計(jì)算機(jī)打印出來(lái)。如何寫好數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽答卷一、寫好數(shù)模答卷的重要性

1.評(píng)定參賽隊(duì)的成績(jī)好壞、高低，獲獎(jiǎng)級(jí)別，數(shù)模答卷，是唯一依據(jù)。

2.答卷是競(jìng)賽活動(dòng)的成績(jī)結(jié)晶的書面形式。

3.寫好答卷的訓(xùn)練，是科技寫作的一種基本訓(xùn)練。

二、答卷的基本內(nèi)容，需要重視的問題

1評(píng)閱原則：假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的合理性，表述的清晰程度。

2答卷的文章結(jié)構(gòu)

0．摘要

1．問題的敘述，問題的分析，背景的分析等，略

2．模型的假設(shè)，符號(hào)說(shuō)明（表）

3．模型的建立（問題分析，公式推導(dǎo)，基本模型，最終或簡(jiǎn)化模型等）

4．模型的求解▲計(jì)算方法設(shè)計(jì)或選擇；算法設(shè)計(jì)或選擇，算法思想依據(jù)，步驟及實(shí)現(xiàn)，計(jì)算框圖；所采用的軟件名稱；▲引用或建立必要的數(shù)學(xué)命題和定理；▲求解方案及流程

5．結(jié)果表示、分析與檢驗(yàn)，誤差分析，模型檢驗(yàn)……

6．模型評(píng)價(jià)，特點(diǎn)，優(yōu)缺點(diǎn)，改進(jìn)方法，推廣…….7．參考文獻(xiàn)

8．附錄計(jì)算框圖詳細(xì)圖表

……

3要重視的問題

0．摘要。包括：

a.模型的數(shù)學(xué)歸類（在數(shù)學(xué)上屬于什么類型）

b.建模的思想（思路）

c.算法思想（求解思路）

d.建模特點(diǎn)（模型優(yōu)點(diǎn)，建模思想或方法，算法特點(diǎn)，結(jié)果檢驗(yàn)，靈敏度分析，模型檢驗(yàn)…….）

e.主要結(jié)果（數(shù)值結(jié)果，結(jié)論）（回答題目所問的全部“問題”）

▲表述：準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明、條理清晰、合乎語(yǔ)法、字體工整漂亮；打印最好，但要求符合文章格式。務(wù)必認(rèn)真校對(duì)。1．問題重述。略2．模型假設(shè)跟據(jù)全國(guó)組委會(huì)確定的評(píng)閱原則，基本假設(shè)的合理性很重要。（1）根據(jù)題目中條件作出假設(shè)（2）根據(jù)題目中要求作出假設(shè)關(guān)鍵性假設(shè)不能缺；假設(shè)要切合題意3．模型的建立（1）基本模型：

1)首先要有數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)公式、方案等

2)基本模型，要求完整，正確，簡(jiǎn)明（2）簡(jiǎn)化模型

1）要明確說(shuō)明：簡(jiǎn)化思想，依據(jù)

2）簡(jiǎn)化后模型，盡可能完整給出（3）模型要實(shí)用，有效，以解決問題有效為原則。數(shù)學(xué)建模面臨的、要解決的是實(shí)際問題，不追求數(shù)學(xué)上：高（級(jí)）、深（刻）、難（度大）。能用初等方法解決的、就不用高級(jí)方法；能用簡(jiǎn)單方法解決的，就不用復(fù)雜方法；能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數(shù)人看懂、理解的方法。

（4）鼓勵(lì)創(chuàng)新，但要切實(shí)，不要離題搞標(biāo)新立異，數(shù)模創(chuàng)新可出現(xiàn)在

▲建模中，模型本身，簡(jiǎn)化的好方法、好策略等，

▲模型求解中

▲結(jié)果表示、分析、檢驗(yàn)，模型檢驗(yàn)

▲推廣部分（5）在問題分析推導(dǎo)過程中，需要注意的問題：分析：中肯、確切術(shù)語(yǔ)：專業(yè)、內(nèi)行原理、依據(jù)：正確、明確,表述：簡(jiǎn)明，關(guān)鍵步驟要列出切忌：外行話，專業(yè)術(shù)語(yǔ)不明確，表述混亂，冗長(zhǎng)。4．模型求解（1）需要建立數(shù)學(xué)命題時(shí)：命題敘述要符合數(shù)學(xué)命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴(yán)密。（2）需要說(shuō)明計(jì)算方法或算法的原理、思想、依據(jù)、步驟。若采用現(xiàn)有軟件，說(shuō)明采用此軟件的理由，軟件名稱（3）計(jì)算過程，中間結(jié)果可要可不要的，不要列出。（4）設(shè)法算出合理的數(shù)值結(jié)果。

5．結(jié)果分析、檢驗(yàn)；模型檢驗(yàn)及模型修正；結(jié)果表示（1）最終數(shù)值結(jié)果的正確性或合理性是第一位的；（2）對(duì)數(shù)值結(jié)果或模擬結(jié)果進(jìn)行必要的檢驗(yàn)。結(jié)果不正確、不合理、或誤差大時(shí)，分析原因，對(duì)算法、計(jì)算方法、或模型進(jìn)行修正、改進(jìn)；（3）題目中要求回答的問題，數(shù)值結(jié)果，結(jié)論，須一一列出；（4）列數(shù)據(jù)問題：考慮是否需要列出多組數(shù)據(jù)，或額外數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較、分析，為各種方案的提出提供依據(jù)；費(fèi)馬目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（5）結(jié)果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析

▲數(shù)值結(jié)果表示：精心設(shè)計(jì)表格；可能的話，用圖形圖表形式

▲求解方案，用圖示更好（6）必要時(shí)對(duì)問題解答，作定性或規(guī)律性的討論。最后結(jié)論要明確。

6．模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)突出，缺點(diǎn)不回避。改變?cè)}要求，重新建模可在此做。推廣或改進(jìn)方向時(shí)，不要玩弄新數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)。

7．參考文獻(xiàn)

8．附錄詳細(xì)的結(jié)果，詳細(xì)的數(shù)據(jù)表格，可在此列出。但不要錯(cuò)，錯(cuò)的寧可不列。主要結(jié)果數(shù)據(jù)，應(yīng)在正文中列出，不怕重復(fù)。檢查答卷的主要三點(diǎn)，把三關(guān)：模型的正確性、合理性、創(chuàng)新性；結(jié)果的正確性、合理性；文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩。三、關(guān)于寫答卷前的思考和工作規(guī)劃答卷需要回答哪幾個(gè)問題――建模需要解決哪幾個(gè)問題；問題以怎樣的方式回答――結(jié)果以怎樣的形式表示；每個(gè)問題要列出哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù)――建模要計(jì)算哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù)；每個(gè)量，列出一組還是多組數(shù)――要計(jì)算一組還是多組數(shù)……四、答卷要求的原理準(zhǔn)確――科學(xué)性條理――邏輯性簡(jiǎn)潔――數(shù)學(xué)美創(chuàng)新――研究、應(yīng)用目標(biāo)之一，人才培養(yǎng)需要實(shí)用――實(shí)際問題要求。建模理念：

1.應(yīng)用意識(shí)：要解決實(shí)際問題，結(jié)果、結(jié)論要符合實(shí)際；模型、方法、結(jié)果要易于理解，便于實(shí)際應(yīng)用；站在應(yīng)用者的立場(chǎng)上想問題，處理問題。

2.數(shù)學(xué)建模：用數(shù)學(xué)方法解決問題，要有數(shù)學(xué)模型；問題模型的數(shù)學(xué)抽象，方法有普適性、科學(xué)性，不局限于本具體問題的解決。

3.創(chuàng)新意識(shí)：建模有特點(diǎn)，更加合理、科學(xué)、有效、符合實(shí)際；更有普遍應(yīng)用意義；不單純?yōu)閯?chuàng)新而創(chuàng)新賽題的評(píng)審

你會(huì)發(fā)現(xiàn)：同一個(gè)考題的幾篇優(yōu)秀論文甚至連答數(shù)都不一樣，卻同樣都優(yōu)秀；優(yōu)秀論文甚至被專家的評(píng)閱意見指出一大堆毛病，卻仍不失為優(yōu)秀。在這里，正確和錯(cuò)誤是相對(duì)的，優(yōu)秀和不優(yōu)秀也是相對(duì)的。這在純數(shù)學(xué)競(jìng)賽中是不可思議的。但既然數(shù)學(xué)建模賽是考察解決實(shí)際問題的能力，那就一切都以解決實(shí)際問題的過程為準(zhǔn)。解決實(shí)際問題需要查資料，需要使用計(jì)算機(jī)，需要課題組的人相互交流和討論，因此數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽也就允許使用這些“非生命的資源”。同樣，實(shí)際問題的解決，常常沒有絕對(duì)的正確與錯(cuò)誤，也沒有絕對(duì)的優(yōu)秀，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽也就這樣，但這并不是說(shuō)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽就沒有是非和好壞的標(biāo)準(zhǔn)。論文中各種不同意見、不同答案可以并存，只要能夠言之成理。但如果你像解答純數(shù)學(xué)題那樣去做，只有數(shù)學(xué)公式和計(jì)算，而不講清實(shí)際問題怎么變成數(shù)學(xué)公式，也不讓計(jì)算結(jié)果再接受實(shí)際檢驗(yàn)，即使答案正確，論文也很難評(píng)上好的等級(jí)。這是因?yàn)?，它不是?shù)學(xué)競(jìng)賽，而是數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，它看重的是三個(gè)步驟：1、 建立模型：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題；2、 數(shù)學(xué)解答：數(shù)學(xué)問題→數(shù)學(xué)解；3、 模型檢驗(yàn)：數(shù)學(xué)解→實(shí)際問題的解決。如果你只重視中間一個(gè)步驟（一般初參賽的時(shí)候容易犯這個(gè)錯(cuò)誤），而對(duì)第一和第三這兩個(gè)