離散數學總復習資料-帶習題

離散數學期末總復習復習時注意準確掌握每個概念靈活應用所學定理注意解題思路清晰證明問題時,先用反向思維(從結論入手)分析問題,再按正向思維寫出證明過程.全書知識網絡：圖論篇同構同構<{T,F},,,,,><p(E),~,∩,∪,－,>格與布爾代數半群,獨異點,群,環(huán),域<P(A×A),~,∩,∪,－,,,c,r,s,t><YX,~,∩,∪,－,,,-1>代數系統(tǒng)篇n元運算命題邏輯謂詞邏輯集合初步二元關系函數集合論篇數理邏輯篇考試內容1.命題符號化，謂詞符號化2.主范式3.給定個體域，求表達式的真值情況4.推理證明（命題證明，謂詞證明）5.各種算法的證明（用圖表示）6.偏序，哈斯圖，特殊元素的求解7.歐拉圖，哈密頓圖，樹的性質，握手定理8.最小生成樹9.最優(yōu)2叉樹，前綴碼，遍歷序列10.等價關系的證明。第一章命題邏輯1.聯(lián)結詞定義了六個邏輯聯(lián)結詞，分別是：

(1)否定“”

(2)合取“∧”

(3)析取“∨”

(4)異或“

”

(5)蘊涵“”

(6)等價“”要熟練掌握這五個聯(lián)結詞在自然語言中所表示的含義以及它們的真值表的定義。：否定表示“不”∧：合取表示“不但…,而且...”“并且”∨：析取表示“或者－可兼取的或”：異或表示“或者－不可兼取的或”：蘊涵表示“如果…,則...”

:等價表示“當且僅當”“充分且必要”可以將這六個聯(lián)結詞看成六種“運算”。聯(lián)結詞的定義(包括真值表和含義).特別要注意：“或者”的二義性,即要區(qū)分給定的“或”是“可兼取的或∨”還是“不可兼取的或”?！啊钡挠梅?，它既表示“充分條件”也表示“必要條件”,即要弄清哪個作為前件,哪個作為后件.

PQP∧QP∨QPQPQPQ

FFFFTTF

FTFTTFT

TFFTFFTTTTTTTF

2.會命題符號化.

例如P:我有時間.Q:我上街.R:我在家.

表示P是Q的充分條件:如果p,則Q.只要P,就Q.PQ

表示P是Q的必要條件:僅當P,才Q.只有P,才Q.QP

如果P,則Q;否則R.(PQ)(PR)3.永真式的證明.

方法1.列真值表.(R(QR)(PQ))P

方法2.用公式的等價變換,化簡成T.例如證明(R(QR)(PQ))P是永真式.證:上式(R(QR)(PQ))P(PQPQ)(R(QR)(PQ))P(公式的否定公式)((R(QR))((PQ)P)(結合律)((RQ)(RR))((PP)(QP)(分配律)(RQ)(QP)RQQPT(互補,同一律)4.永真蘊涵式的證明,

記住常用的公式.

永真蘊涵式:AB是永真式,則稱A永真蘊涵B.(AB)

方法1.列真值表.

方法2.假設前件真,推出后件真.(即直接推理)

方法3.假設后件假,推出前件假.(即反證法)例證明(P(QR))((PQ)(PR))是永真蘊涵式.證:假設后件(PQ)(PR)假,則PQ為T,PR為F,于是P為T,R為F,進而又得Q為T.所以QR為F,所以前件P(QR)為F.所以(P(QR))((PQ)(PR))為永真式.

對于給定一個題,究竟是用哪種方法,原則上哪種都可以.但是哪個方法簡單,要根據具體題而定.ABA

BFFTFTTTFFTTT5.等價公式的證明,記住常用的公式.

方法1.列真值表.

方法2.用公式的等價變換.

例如:證明P(QR)(P∧Q)RP(QR)P(QR)(PQ)R

(PQ)∨R(P∧Q)R注意:不論是證明永真蘊涵式,還是證明等價公式以及后邊的求公式的范式,命題邏輯推理,都應用43頁的公式。必須記憶一些常用的公式如:P43表中的永真蘊涵式:I1,I3,I9,I10,I11,I12,I13,等價公式:E1~

E16,E18,E19,E20,E21,6.命題公式的范式1)析取范式:A1∨A2∨...∨An(n≥1)Ai(i=1,2..n)是合取式.

2)合取范式:A1∧A2∧...∧An(n≥1)Ai(i=1,2..n)是析取式.3)析取范式與合取范式的寫法.4)小項及小項的性質.

m3m2m1

m0PQP∧QP∧QP∧QP∧Q00FFFFFT01FTFFTF10TFFTFF11TTTFFF6)大項及其性質.M0M1M2M3PQP∨QP∨QP∨QP∨Q00FF

FTTT01FTT

FTT10TFTTFT11TTTTT

F7)主析取范式:A1∨A2∨...∨An(n≥1)Ai(i=1,2..n)小項.

8)主合取范式:A1∧A2∧...∧An(n≥1)Ai(i=1,2..n)大項.9).會寫主析取范式和主合取范式.求下面命題公式的范式:A(P,Q,R)

(P∨Q)R方法1.列真值表.主析取范式A(P,Q,R)

(P∨Q)R(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)主合取范式A(P,Q,R)

(P∨Q)R

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)PQR(P∨Q)RFFFTFFTTFTFFFTTTTFFFTFTTTTFFTTTT方法2.用公式的等價變換.主析取范式;A(P,Q,R)

(P∨Q)R(P∨Q)∨R(P∧Q)∨R(P∧Q∧(R∨R))∨((P∨P)∧(Q∨Q)∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)主合取范式:A(P,Q,R)

(P∨Q)R(P∨Q)∨R(P∧Q)∨R(P∨R)∧(Q∨R)(P∨(Q∧Q)∨R)∧((P∧P)∨Q∨R)(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)已知A(P,Q,R)的主析取范式中含有如下小項:

m0,m3,m4,m5,m7求它的主合取范式.解:A(P,Q,R)的主合取范式中含有大項:M1,M2,M6A(P,Q,R)(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)7.會用三種推理方法,進行邏輯推理.

會用三個推理規(guī)則:P,T,CP例如:證明((A∧B)C)∧D∧(C∨D)A∨B1.直接推理:⑴DP⑵C∨DP⑶CT⑴⑵I10

Q,(P∨Q)P⑷(A∧B)CP⑸(A∧B)T⑶⑷I12

Q,PQP⑹A∨BT⑸E8(P∧Q)P∨Q((A∧B)C)∧D∧(C∨D)A∨B2.條件論證:適用于結論是蘊涵式.A∨BAB⑴AP(附加前提)⑵(A∧B)CP⑶A(BC)T⑵E19⑷BCT⑴⑶I11⑸DP⑹C∨DP⑺CT⑸⑹I10

⑻BT⑷⑺I12⑼ABCP((A∧B)C)∧D∧(C∨D)A∨B3.反證法:⑴(A∨B)P(假設前提)⑵A∧BT⑴E9⑶(A∧B)CP⑷CT⑵

⑸I11⑸DP⑹C∨DP⑺CT⑻⑼I10⑻C∧CT⑷⑺I9第二章謂詞邏輯1.準確掌握有關概念.2.會命題符號化3.掌握常用的等價公式和永真蘊涵式.包括:

帶量詞的公式在論域內展開式,量詞否定,量詞轄域擴充,

量詞分配公式.4.會用等價公式求謂詞公式的真值*5.會寫前束范式6.熟練掌握謂詞邏輯推理.

第二章謂詞邏輯1.準確掌握有關概念.

客體:

客體變元,

謂詞,

量詞,量詞的轄域,

約束變元與自由變元,

論域,

全總個體域,

謂詞公式(WFF),

命題函數,

前束范式,2.會命題符號化.

命題的符號表達式與論域有關。當論域擴大時，需要添加用來表示客體特性的謂詞，稱此謂詞為特性謂詞。特性謂詞往往就是給定命題中量詞后邊的那個名詞。如“所有自然數...”、“有些大學生...”。如何添加特性謂詞，這是個十分重要的問題，這與前邊的量詞有關。

如果前邊是全稱量詞，特性謂詞后邊是蘊含聯(lián)結詞“→”；

如果前邊是存在量詞，特性謂詞后邊是合取聯(lián)結詞“∧”。另外有些命題里有的客體在句中沒有明確的量詞,而在寫它的符號表達式時,,必須把隱含的量詞明確的寫出來.例如⑴金子閃光,但閃光的不一定都是金子.設:G(x):x是金子.F(x):x閃光.x(G(x)F(x))x(F(x)G(x))x(G(x)F(x))x(F(x)G(x))⑵沒有大學生不懂外語.S(x):x是大學生.F(x):x外語.K(x,y):x懂得y.x(S(x)y(F(y)K(x,y)))x(S(x)y(F(y)K(x,y)))⑶有些液體可以溶解所有固體.F(x):x是液體.S(x):x是固體.D(x,y):x可溶解y.x(F(x)y(S(y)D(x,y)))⑷每個大學生都愛好一些文體活動。S(x):x是大學生,L(x,y):x愛好y,C(x):x是文娛活動，P(x):x是體育活動.)x(S(x)y((C(y)∨P(y))L(x,y)))

3.掌握常用的等價公式和永真蘊涵式.包括:

帶量詞的公式在論域內展開式,量詞否定,量詞轄域擴充,

量詞分配公式.

設論域為{a1,a2,....,an}，則

1).xA(x)A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)2).xB(x)B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1).xA(x)xA(x)2).xA(x)xA(x)1).xA(x)∨Bx(A(x)∨B)2).xA(x)∧Bx(A(x)∧B)3).xA(x)∨Bx(A(x)∨B)4).xA(x)∧Bx(Ａ(x)∧B)5).B→xA(x)x(B→A(x))6).B→xA(x)x(B→A(x))7).xA(x)→Bx(A(x)→B)8).xA(x)→Bx(A(x)→B)1).x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)2).x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)3).x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)4).xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))4.會用等價公式求謂詞公式的真值.例設論域為{1,2},A(x,y):x+y=xy,求xyA(x,y)的真值.xyA(x,y)xyA(x,y)yA(1,y)yA(2,y)(A(1,1)A(1,2))(A(2,1)A(2,2))(TT)(TF)T*5.將下面謂詞公式寫成前束范式(xF(x,y)yG(y)xH(x,y)(xF(x,y)yG(y)xH(x,y)(去)xF(x,y)yG(y)xH(x,y)(摩根)xF(x,y)yG(y)xH(x,y)(量詞否定)xF(x,z)yG(y)tH(t,z)(變元換名)xyt((F(x,z)G(y)H(t,z))(轄域擴充)6.熟練掌握謂詞邏輯推理.1).注意使用ES、US、EG、UG的限制條件,特別是ES,UG2).對于同一個客體變元，既有帶也有帶的前提，去量詞時，應先去后去，這樣才可以特指同一個客體c.3).去量詞時，該量詞必須是公式的最左邊的量詞，且此量詞的前邊無任何符號，它的轄域作用到公式末尾。下面的作法是錯誤的：正確作法:⑴xP(x)→xQ(x)P⑴xP(x)→xQ(x)P⑵P(c)→xQ(x)US⑴⑵xP(x)∨xQ(x)T⑴E或⑵xP(x)→Q(c)ES⑴⑶xP(x)∨xQ(x)T⑵E實際上x的轄域擴充后⑷x(P(x)∨Q(x))T⑶E量詞改成為x⑸P(c)∨Q(c)ES⑷⑹P(c)→Q(c)T⑸E下面的作法是錯誤的：正確作法:⑴xP(x)P⑴xP(x)P⑵P(c)US⑴⑵xP(x)T⑴E實際上⑴中量詞不是⑶P(c)ES⑵

x而是x

⑴xyP(x,y)P⑴xyP(x,y)P⑵xP(x,c)ES⑴⑵yP(c,y)US⑴令P(x,y):y是x的生母，顯然⑵是個假命題4).添加量詞時，也要加在公式的最左邊，(即新加的量詞前也無任何符號?。?且其轄域作用到公式的末尾。 例如下面作法是錯誤的:⑴xP(x)→Q(c)P

⑵

xP(x)→yQ(y)EG⑴例如.證明下面推理的有效性.證明:⑴x(A(x)∧D(x))P⑵A(a)∧D(a))

ES⑴⑶A(a)T⑵I⑷D(a))T⑵I⑸x(A(x)→(B(x)→C(x)))P⑹A(a)→(B(a)→C(a))US⑸⑺B(a)→C(a))T⑶⑹I⑻x(A(x)→(C(x)∨D(x)))P⑼A(a)→(C(a)∨D(a)))US⑻⑽C(a)∨D(a)T⑶⑼I⑾C(a)T⑷⑽I⑿B(a)T⑺⑾I⒀A(a)∧B(a))T⑶⑿I⒁x(A(x)∧B(x))EG⒀第三章集合論初步1.集合的表示,冪集,全集,空集.2.集合的三種關系(包含,相等,真包含)的定義及證明.3.集合的五種運算及相關性質.*4.應用包含排斥原理.第三章集合論初步基本概念:集合與元素,子集與真子集,空集,全集,冪集,并集,交集,相對補集(差集),絕對補集(補集)1.集合的表示,元素與集合的屬于關系∈.

集合的三種表示方法:

枚舉法:一一列出集合中的元素.

謂詞描述法:用謂詞描述集合中元素的性質.

文氏圖:用一個平面區(qū)域表示.2.集合的三種關系(被包含,相等,被真包含)的定義及證明.ABx(x∈Ax∈B)A=BABBAx(x∈Ax∈B)ABABA≠Bx(x∈Ax∈B)x(x∈BxA)

3空集,全集,冪集空集φ:無元素的集合.x∈Φ是矛盾式.(空集是唯一的)

全集E:包含所討論所有集合的集合.(全集不唯一)x∈E是永真式冪集:由A的所有子集構成的集合.

P(A)={X|XA}|P(A)|=2|A|

4.掌握集合的五種運算及相關性質.A∩B={x|x∈A∧x∈B}x∈A∩Bx∈A∧x∈BA∪B={x|x∈A∨x∈B}x∈A∪Bx∈A∨x∈BA-B={x|x∈A∧xB}x∈A-Bx∈A∧xB~A=E-A={x|x∈E∧xA}={x|xA}x∈~AxAA-B=A∩~BAB=(A-B)∪(B-A)={x|(x∈A∧xB)∨(x∈B∧xA)}AB=(A∪B)-(A∩B)例1.已知全集E={Φ,{Φ}},AE,計算:a)P({Φ})P({Φ})=()b)P(A)∩P(~A)=()c)P(E)-P(~{{Φ}})=()解:a)因為任何集合A,都有AA=Φ所以

P({Φ})P({Φ})=Φb)因為ΦAΦ~A,即Φ∈P(A)Φ∈P(~A)所以

P(A)∩P(~A)={Φ}c)P(E)={Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}~{{Φ}}={Φ}P(~{{Φ}})=P({Φ})={Φ,{Φ}}P(E)-P(~{{Φ}}))={Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}-{Φ,{Φ}}={{{Φ}},{Φ,{Φ}}}例2

證明各式彼此等價。PQ(P∨Q)∧(P∨Q)c)A∪B=B,A∩B=A,AB,~B~A.證明.A∪B=B

x(x∈A∪Bx∈B)x((xA∪Bx∈B)(x∈A∪BxB))x(((xAxB)x∈B)((x∈Ax∈B)xB))x((xAxB)x∈B)x((xAx∈B)(xBx∈B))x((xAx∈B)x(x∈Ax∈B)ABx(x∈Ax∈B)x(xBxA)x(x∈~Bx∈~A)~B~A

由A∪B=B得A(A∪B)=ABA=AB類似由A∩B=A,可以推出A∪B=B

所以A∪B=BA∩B=A從而證得A∪B=B,A∩B=A,AB,~B~A彼此等價。T例3證明:

(A-B)-C=A-(B∪C)方法1.(A-B)-C=(A∩~B)∩~C=A∩(~B∩~C)=A∩~(B∪C)=A-(B∪C)方法2.任取x∈(A-B)-C(x∈A∧xB)∧xCx∈A∧(xB∧xC)x∈A∧(x∈B∨x∈C)x∈A∧(x∈B∪C)x∈A∧xB∪Cx∈A-(B∪C)所以(A-B)-C=A-(B∪C)例4.令全集E為信息學院的學生的集合,C表示計算機專業(yè)學生的集合,M表示學習了離散數學的學生的集合,D表示學習了數據結構課學生的集合,F表示一年級的學生的集合.用集合的關系式表達下面句子.“學習了離散數學和數據結構課的學生,一定是計算機專業(yè)的非一年級的學生”.

解.(M∩D)(C∩~F)例4.在什么條件下，下面命題為真？a)(A-B)∪(A-C)=A解.(A-B)∪(A-C)=(A∩~B)∪(A∩~C)=A∩(~B∪~C)=A∩~(B∩C)=A-(B∩C)=A

所以滿足此式的充要條件是：A∩B∩C=Φb)(A-B)∪(A-C)=Φ解.(A-B)∪(A-C)=A-(B∩C)=Φ充要條件是：AB∩Cc)(A-B)∩(A-C)=Φ解.(A-B)∩(A-C)=(A∩~B)∩(A∩~C)=A∩(~B∩~C)=A∩~(B∪C)=A-(B∪C)=Φ充要條件是:AB∪Cd)(A-B)(A-C)=Φ解.因為當且僅當A=B，才有AB=Φ所以滿足此式的充要條件是:A-B=A-C*例5.用謂詞邏輯推理證明對任何集合A、B、C，如果有AB且BC，則AC。證明:x(x∈Ax∈B)x(x∈BxA),x(x∈Bx∈C)x(x∈CxB)x(x∈Ax∈C)x(x∈CxA)⑴x(x∈Ax∈B)x(x∈BxA)P⑵x(x∈Ax∈B)T⑴I⑶x(x∈BxA)T⑴I⑷x(x∈Bx∈C)x(x∈CxB)P⑸x(x∈Bx∈C)T⑷I⑹x∈Ax∈BUS⑵⑺x∈Bx∈CUS⑸⑻x∈Ax∈CT⑹⑺I⑼x(x∈Ax∈C)UG⑻⑽x∈BxAES⑶⑾x∈BT⑽I⑿xAT⑽I⒀x∈CT⑺⑾I⒁x∈CxAT⑿⒀I⒂x(x∈CxA)EG⒁⒃x(x∈Ax∈C)x(x∈CxA)T⑼⒂I*有14位學生參加考試,9位同學數學得了優(yōu);5位同學物理得了優(yōu);4位同學化學得了優(yōu);其中物理和數學都得優(yōu)的同學有4人;數學和化學都得優(yōu)的同學有3人;物理和化學都得優(yōu)的同學有3人;三門都得優(yōu)的同學有2人;問沒有得到優(yōu)的有多少人?恰有兩門得優(yōu)的同學有多少人?解.令A、B、C分別表示數學、物理、化學得優(yōu)同學集合.全集為E.于是有|E|=14|A|=9|B|=5|C|=4|A∩B|=4|A∩C|=3|B∩C|=3|A∩B∩C|=2|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|=9+5+4-4-3-3+2=10于是得到優(yōu)的人數是10人.∴沒有得到優(yōu)的人數是:14-10=4人恰有兩門得優(yōu)的人數:(|A∩B|-|A∩B∩C|)+(|B∩C|-|A∩B∩C|)+(|B∩C|-|A∩B∩C|)=4-2+3-2+3-2=4第四章二元關系1.關系的概念,表示方法.2.二元關系的性質的定義,熟練掌握性質的判斷及證明.3.掌握關系的復合,求逆及閉包運算(計算方法及有關性質)4.掌握等價關系的判斷,證明,求等價類和商集.*5.掌握相容關系的概念,關系圖和矩陣的簡化,求相容類,最大相容類和完全覆蓋.6.偏序關系的判斷,會畫Hasse圖,會求一個子集的極小(大)元,最小(大)元,上界與下界,最小上界及最大下界.

注意本章證明題的證明過程的思路一.關系的概念,表示方法,三個特殊關系.1.集合的笛卡爾積

A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B}|A|=m,|B|=n|A×B|=mn

設A={0,1}，B={a,b}，求AB。

AB={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>}2.二元關系的概念定義1:設A、Ｂ是集合,如果ＲA×B,則稱R是一個從A到

B的二元關系。如果RA×A,則稱R是A上的二元關系.

如果|A|=m|B|=n則可以確定2mn個從A到B的不同關系.定義2:任何序偶的集合，都稱之為一個二元關系。3.關系的表示方法1).枚舉法:

即將關系中所有序偶一一列舉出，寫在大括號內.

如:R={<1,2>,<3,4>,<4,2>}2).(描述法)謂詞公式法：即用謂詞公式描述序偶中元素的關系。例如

R={<x,y>|x<y}3).有向圖法：1。2。

3。

4。。。。ABabcR1:1。。4。。23R2:4).矩陣表示法：(實際上就是圖論中的鄰接矩陣)

設A={a1,a2,,am}，B={b1,b2,,bn}是個有限集，

RA×B，定義R的m×n階矩陣

MR=(rij)m×n，其中4.三個特殊關系1).空關系Φ：

ΦA×B，(或ΦA×A)，即無任何元素的關系.

它的關系圖中只有結點,無任何邊；它的矩陣中全是0。2).完全關系(全域關系)

：

A×B(或A×A)本身是一個從A到B(或A上)的完全關系.

即含有全部序偶的關系。它的矩陣中全是1。

1若<ai,bj>∈R

0若<ai,bj>∈R(1≤i≤m,1≤j≤n)rij=3).恒等關系IA：

IAA×A,且IA={<x,x>|x∈A}稱之為A上的恒等關系。例如A={1,2,3},則IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>}A上的Φ、完全關系A×A及IA的關系圖及矩陣如下：MIA=1000100013×31。2。。31。2。。31111111113×31。。2。30000000003×3MΦ=MA×A=ΦA×AIA二.關系的性質:

熟練掌握性質的判斷及證明.1.自反性定義:設R是集合A中的關系，如果對于任意x∈A都有

<x,x>∈R(xRx)，則稱R是A中自反關系。即

R是A中自反的x(xAxRx)2.反自反性定義：設R是集合A中的關系，如果對于任意的x∈A都有

<x,x>R，則稱R為A中的反自反關系。即

R是A中反自反的x(xA<x,x>R)3.對稱性定義:R是集合A中關系,若對任何x,y∈A,如果有xRy,必有

yRx,則稱R為A中的對稱關系。

R是A上對稱的xy((xAyAxRy)yRx)4.反對稱性定義:設R為集合A中關系,若對任何x,y∈A,如果有xRy,和

yRx,就有x=y,則稱R為A中反對稱關系。R是A上反對稱的xy((xAyAxRyyRx)

x=y)xy((xAyAxy<x,y>∈R)<y,x>R)5.傳遞性定義:R是A中關系，對任何x,y,z∈A,如果有xRy,和yRz,就

有xRz,則稱R為A中傳遞關系。即R在A上傳遞xyz((xAyAzAxRyyRz)xRz)這些性質要求會判斷,會證明.這里特別要注意的是,這些定義都是蘊涵式,所以當蘊涵式當前件為假時,此蘊涵式為真,即此性質成立!!自反性反自反性對稱性傳遞性反對稱性每個結點都有環(huán)主對角線全是1每個結點都無環(huán)主對角線全是0不同結點間如果有邊,則有方向相反的兩條邊.是以對角線為對稱的矩陣不同結點間,最多有一條邊.以主對角線為對稱的位置不會同時為1如果有邊<a,b>,<b,c>,則也有邊<a,c>.或者使得前件為假.如果aij=1,且ajk=1,則aik=1從關系的矩陣從關系的有向圖

性質判定:判斷下面關系的性質:1。2。。1。2。。1。2。。1。2。。3333R2R1R3R4自反性反自反性對稱性反對稱性傳遞性R1YNNYYR2NYNYNR3YNYNYR4YNYYY1。2。。1。2。。1。2。。1。2。。3333R5R6R7R8自反性反自反性對稱性反對稱性傳遞性R5NYNYYR6NNYNNR7NNNNNR8NYYYY關系性質當證明方法歸納:設R是A上關系，1.證明R的自反性：方法1

用自反定義證：任取x∈A,證出<x,x>∈R.方法2

用恒等關系IA證：證出IA

R.方法3

用自反閉包證：證出r(R)=R,即R∪IA=R.2.證明R的反自反性：方法1

用反自反定義證：任取x∈A,證出<x,x>R.3.證明R的對稱性：方法1

用對稱定義證：任取x,y∈A,設<x,y>∈R,證出<y,x>∈R.方法2

用求逆關系證：證出Rc=R.方法3

用對稱閉包證：證出s(R)=R,即R∪Rc=R.4.證明R的反對稱性：方法1

用定義1證：任取x,y∈A,設<x,y>∈R,<y,x>∈R.證出x=y。方法2用定義2證：任取x,y∈A,x≠y,設<x,y>∈R,證出<y,x>R.

方法3

用定理證：證出R∩Rc

IA5.證明R的傳遞性：方法1

用傳遞定義證：任取x,y,z∈A,設<x,y>∈R,<y,z>∈R,證出<x,z>∈R.方法2

用傳遞閉包證：證出t(R)=R,

即R∪R2∪R3∪...=R.方法3用定理證：證出同學們可以根據具體情況,選用相應方法證明.其中必須掌握的是用基本定義證明.RRRo三.掌握關系復合,求逆及閉包運算(計算方法及性質)(一)關系的復合

1.定義:設RX×Y，SY×Z，則RSX×Z。

RS={<x,z>|xXzZy(yY<x,y>R<y,z>S)}2.計算方法(俗稱過河拆橋法)

⑴枚舉法R={<a,b>,<b,c>,<c,a>}S={<a,b>,<b,c>,<b,b>,<c,a>}RS={<a,c>,<a,b>,<b,a>,<c,b>}

⑵有向圖a。b。

c。X。。。YabcRS。。。Zabc。。。Zabca。b。

c。X⑶矩陣3.性質1).滿足結合律:RA×BSB×CTC×D則

R(ST)=(RS)T2).RA×BSB×CTB×C⑴R(S∪T)=(RS)∪(RT)⑵R(S∩T)(RS)∩(RT)3).R是從A到B的關系，則

RIB=IAR=R

推論:RA×A,則RIA=IAR=R(IA是運算的幺元)4).關系的乘冪

R0=IA，

RA×A,

Rm

Rn

=Rm+n(Rm)n=Rmn

(m,n為非負整數)MRS=010001100010011100=011100010(二).逆關系1.定義

:設RX×Y，R的逆關系RC={<y,x>|<x,y>R}<y,x>∈RC<x,y>R2.計算方法

1).R={<1,2>,<2,3>,<3,4>,<4,5>}RC={<2,1>,<3,2>,<4,3>,<5,4>}2).RC的有向圖:是將R的有向圖的所有邊的方向顛倒.3).RC的矩陣MRC=(MR)T即為R矩陣的轉置3.性質令R、S都是從X到Y的關系，則

1).(RC)C=R

2).(R∪S)C=RC∪SC

。

3).(R∩S)C=RC∩SC

。

4).(R－S)C=RC－SC

。

5).RSRC

SC

。

6).(~R)C=~RC7).令R是從X到Y的關系，S是Y到Z的關系，則

(RS)C=SC

RC

。

8).R是A上關系，則⑴R是對稱的，當且僅當RC=R⑵R是反對稱的，當且僅當R∩RCIA。

(三).閉包運算1.定義：給定A中關系R,若A上另一個關系R’，滿足：⑴RR’；⑵R’是自反的(對稱的、傳遞的)；⑶R’是“最小的”，即對于任何A上自反(對稱、傳遞)的關系R”,如果RR”,就有R’R”。則稱R’是R的自反(對稱、傳遞)閉包。記作r(R)、(s(R)、t(R))(reflexive、

symmetric、transitive)2.計算方法給定A中關系R

r(R)=R∪IA。

s(R)=R∪RC。

t(R)=R∪R2∪R3∪...

。

t(R)=R∪R2∪...∪Rn

*求t(R)矩陣的Warshall算法.閉包的運算有三種形式:如A={a.b.c}RA×AR={<a,b>,<b,c>,<c,a>}

a).集合形式.

r(R)=R∪IA={<a,b>,<b,c>,<c,a>}{<a,a>,<b,b>,<c,c>}={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,a>,<b,b>,<c,c>}s(R)=R∪RC={<a,b>,<b,c>,<c,a>}{<b,a>,<c,b>,<a,c>}={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<b,a>,<c,b>,<a,c>}R2={<a,c>,<b,a>,<c,b>}R3={<a,a>,<b,b>,<c,c>}

t(R)=R∪R2∪R3={<a,b>,<b,c>,<c,a>}∪{<a,c>,<b,a>,<c,b>}∪{<a,a>,<b,b>,<c,c>}={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>.<a,a>,<b,b>,<c,c>}b)有向圖形式.bacR3RbacbacIA∪=r(R)bac∪RbacbR2act(R)bac∪=c∪Rbac=bRCas(R)bacc)矩陣形式.Mr(R)=MR∨MIA=010001100100010001∨=111110011Ms(R)=MR∨MRC=010001100001100010∨=011101110Mt(R)=M∨M∨M=010001100001100010∨=111111111R2R3R∨1000100013.性質1).R是A上關系，則⑴R是自反的，當且僅當r(R)=R.⑵R是對稱的，當且僅當s(R)=R.⑶R是傳遞的，當且僅當t(R)=R.2).R是A上關系，則⑴R是自反的，則s(R)和t(R)也自反。⑵R是對稱的，則r(R)和t(R)也對稱。⑶R是傳遞的，則r(R)也傳遞。*3).設R是A上關系，則

⑴

sr(R)=rs(R)

⑵

tr(R)=rt(R)

⑶

st(R)ts(R)四.等價關系

掌握等價關系的判斷,證明,求等價類和商集.

1.了解集合的劃分與覆蓋的概念.

例X={1,2,3},A1={{1,2,3}},A2={{1},{2},{3}},A3={{1,2},{3}},A4={{1,2},{2,3}},A5={{1},{3}}A1,

A2,A3,A4是覆蓋。A1,

A2,A3也是劃分。

2.等價關系定義:設R是A上關系,若R是自反的、對稱的和傳遞的，則稱R是A中的等價關系。

3.等價關系R的有向圖:可能由若干個獨立子圖構成的，每個獨立子圖都是完全關系圖。1。2。。3R11。2。。3R21。2。。R34.等價類：1).定義:R是A上的等價關系,a∈A,由a確定的集合[a]R[a]R={x|x∈A∧<a,x>∈R}

稱集合[a]R為由a形成的R等價類。2).由等價關系圖求等價類：R圖中每個獨立子圖上的結點構成一個等價類。不同的等價類個數=獨立子圖個數。3).等價類性質

R是A上等價關系，任意a,b,c∈A

⑴同一個等價類中的元素，彼此有等價關系R。⑵

[a]R∩[b]R=Φ，當且僅當<a,b>R。⑶

[a]R=[b]R當且僅當<a,b>∈R。⑷.A中任何元素a,a必屬于且僅屬于一個等價類。⑸.任意兩個等價類

[a]R,[b]R,

要么[a]R=[b]R，要么[a]R∩[b]R=Φ

。⑹R的所有等價類構成的集合是A的一個劃分。5.商集:定義：R是A上等價關系，由R的所有等價類構成的集合稱之為A關于R的商集。記作A/R。即

A/R={[a]R|a∈A}6.商集應用.1)按照集合的等勢關系(是等價關系)“~”對集合族S進行劃分，得到商集S/~，進而得到基數類的概念。S={0,Φ,1,{1},{a},…,2,{0,1},{a,b},…,3,{0,1,2},…,N,I,…R,..}S/~={[0],[1],[2],[3],…,[N],[R],...}2).無向圖結點之間的連通關系是個等價關系.

令G=<V,E>是無向圖,R是V上連通關系,即

R={<u,v>|u和v是連通的}例.給定圖G如右上圖所示:V/R={{a,b,g},{c,d,e,f},{h}}無元素1個元素2個元素3個元素可數集不可數集...ghabefcd3).圖的同構關系≌是個等價關系.

令上述圖構成的集合A={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,},求商集A/≌.A/≌={{a,h},{b,i},{c,e},bsednmh,{f},{g,j}}abcdefghij練習1.R和S都是A上等價關系,下面哪個是A上等價關系?證明或舉反例說明.

a)R∪Sb)R∩Sc)~R(即A×A-R)d)R-Se)R2f)r(R-S)e)Rc解.a)c)d)f)不是.請看反例:R。a。cb。。a。cb。。a。cb。SR∪S。a。cb。~R。a。cb。R’。a。cb。R’-S。a。cb。r(R’-S)b)R∩S是等價關系.證明：1.證明R∩S的自反性方法1

用自反定義證：任取x∈A,(證出<x,x>∈R∩S)因R和S都自反，所以有<x,x>∈R，<x,x>∈S，于是有<x,x>∈R∩S，所以R∩S也自反。方法2

用恒等關系IA證：(證出IA

R)因R和S都自反，所以IA

R，IA

S，所以IA

R∩S所以R∩S也自反。方法3

用自反閉包證：

(證出r(R∩S)=R∩S,即(R∩S)∪IA=R∩S)因R和S都自反，所以r(R)=R,r(S)=S,r(R∩S)=(R∩S)∪IA=(R∪IA)∩(S∪IA)=r(R)∩r(S)=R∩S所以R∩S也自反。2.證明R∩S的對稱性：方法1

用對稱定義證：任取x,y∈A,設<x,y>∈R∩S,(證出<y,x>∈R∩S.)則<x,y>∈R，<x,y>∈S，因為R和S對稱，所以有<y,x>∈R，<y,x>∈S，于是<y,x>∈R∩S。∴R∩S對稱。方法2

用求逆關系證：(證出(R∩S)c=R∩S.)因為R和S對稱，所以有Rc=R，Sc=S，而(R∩S)c=Rc∩Sc=R∩S

，∴R∩S對稱。方法3

用對稱閉包證：(證出s(R∩S)=R∩S,)因為R和S對稱，所以s(R)=R,s(S)=Ss(R∩S)=(R∩S)∪(R∩S)c=(R∩S)∪(Rc∩Sc)=(R∪Rc)∩(R∪Sc)∩(S∪Sc)∩(S∪Rc)

=(s(R)∩(R∪Sc))∩(s(S)∩(S∪Rc))=(R∩(R∪Sc))∩(S∩(S∪Rc))=R∩S(吸收律)∴R∩S對稱。3.證明R∩S的傳遞性：方法1

用傳遞定義證：任取x,y,z∈A,

設<x,y>∈R∩S,<y,z>∈R∩S,(證出<x,z>∈R∩S)<x,y>∈R∩S∧<y,z>∈R∩S<x,y>∈R∧<x,y>∈S∧<y,z>∈R∧<y,z>∈S(<x,y>∈R∧<y,z>∈R)∧(<x,y>∈S∧<y,z>∈S)

<x,z>∈R∧<x,z>∈S

（因為R、S傳遞）<x,z>∈R∩S所以R∩S傳遞。所以R∩S是A上等價關系.e)證明.R2是等價關系.方法1.由P119習題(3)得:如果R自反和傳遞,則R2=R,所以R2也是等價關系.方法2.①證R2自反:任取a∈A,因為R自反,所以<a,a>∈R,根據關系的復合得,<a,a>∈RR,即<a,a>∈R2,所以R2自反。②證R2對稱:(R2)c=(Rc)2=R2(由R對稱得Rc=R)∴R2對稱③證R2傳遞:任取a,b,c∈A,設有<a,b>∈R2,<b,c>∈R2,

根據關系的復合得,(d∈A∧<a,d>∈R∧<d,b>∈R)∧(e∈A∧<b,e>∈R∧<e,c>∈R),由于R傳遞,所以有<a,b>∈R,<b,c>∈R,∴<a,c>∈R2所以R2傳遞。最后得R2是等價關系。g).

R是A上等價關系,則Rc也是A上等價關系.證明1)

證Rc自反。因為任取x∈A,因R自反，所以<x,x>∈R,∴<x,x>∈Rc2)R對稱，證Rc也對稱。因為R對稱，所以Rc

=R∴

Rc也對稱。3)R傳遞，證Rc也傳遞。方法1.任取x,y,z∈A,且有<x,y>∈Rc,<y,z>∈Rc,于是<y,x>∈R,<z,y>∈R，因R傳遞，∴<z,x>∈R,于是有<x,z>∈Rc，∴

Rc傳遞。方法2.t(Rc)=Rc∪(Rc)2∪(Rc)3∪…=Rc∪(R2)c∪(R3)c∪…=(R∪R2∪R3∪…)c=(t(R))c=Rc

所以Rc傳遞。所以Rc是A上等價關系.練習2.五.設X={1,2,3}Y={1,2},在X的冪集P(X)上定義二元關系R如下:對于任何A,B∈P(X),ARB當且僅當AY=BY1.畫出關系R的有向圖.2.R是等價關系嗎?如果是,請寫出商集P(X)/R.如果不是請說明原因解.1.關系R的有向圖.2.從R有向圖看出R有自反,對稱和傳遞性,故是等價關系

P(X)/R={{,{1},{2},{1,2}},{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}}{1,3}{1,2,3}{2,3}{3}{1}{2}{1,2}*五.相容關系1.定義:給定集合X上的關系r,若r是自反的、對稱的,則r是A上相容關系。2.圖的簡化：⑴不畫環(huán)；⑵兩條對稱邊用一條無向直線代替。3.矩陣的簡化：因為r的矩陣是對稱陣且主對角線全是1，用下三角矩陣(不含主對角線)代替r的矩陣。4.相容類：設r是集合X上的相容關系，CA,如果對于C中任意兩個元素x,y有<x,y>∈r,稱C是r的一個相容類.5.

最大相容類:設r是集合X上的相容關系，C是r的一個相容類，如果C不能被其它相容類所真包含，則稱C是一個最大相容類。----最大完全多邊形.6.完全覆蓋：r是中的相容關系，由r的所有最大相容類為元素構成的集合，稱之為X的完全覆蓋。記作Cr(X)。練習.已知X={1,2,3,4,5,6,7}上的相容關系r的交換矩陣為:

求完全覆蓋Cr(X)解.先畫出r的簡化圖,如右上圖所示.于是得完全覆蓋為:Cr(X)={{1,2,4,5},{1,3,7},{1,3,4},{7,6}}1101111101000001010011234567五.偏序關系判斷,會畫Hasse圖,會求一個子集的極小(大)元,最小(大)元,上界與下界,最小上界及最