高中數(shù)學(xué)蘇教版第三章概率幾何概型 2023版第3章幾何概型

幾何概型1．了解幾何概型的概念及基本特點(diǎn)．(重點(diǎn))2．熟練掌握幾何概型的概率公式．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．正確判別古典概型與幾何概型，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何概型問(wèn)題計(jì)算．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))4．了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬的方法估計(jì)概率．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理幾何概型閱讀教材P106～P107“例1”上邊的內(nèi)容，并完成下面的問(wèn)題．1．幾何概型的定義設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn)．這時(shí)，事件A發(fā)生的概率與d的測(cè)度(長(zhǎng)度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無(wú)關(guān)．我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型．2．幾何概型的特點(diǎn)(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無(wú)限個(gè)；(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都相等．3．幾何概型的概率計(jì)算公式一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(d的測(cè)度,D的測(cè)度).判斷正誤：(1)幾何概型與古典概型的區(qū)別就是基本事件具有無(wú)限個(gè)．()(2)幾何概型的概率與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無(wú)關(guān)．()(3)有一杯1升的水，其中漂浮有1個(gè)微生物，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個(gè)微生物的概率時(shí)，可用幾何概型求解．()【解析】(1)√.由幾何概型的特點(diǎn)可知正確．(2)√.由幾何概型的定義知正確．(3)√.該試驗(yàn)的基本事件具有無(wú)限個(gè)，故要用幾何概型求解．【答案】(1)√(2)√(3)√[小組合作型]測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何概型(1)在區(qū)間[－2,3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X≤1的概率為_(kāi)_______．(2)某市公交車每隔10min一班，在車站停1min，則乘客能搭上車的概率為_(kāi)_______．【精彩點(diǎn)撥】利用測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何概型求解．【自主解答】(1)設(shè)“X≤1”為事件A，則事件A發(fā)生表示X∈[－2,1]，由題意知，D測(cè)度為區(qū)間[－2,3]長(zhǎng)度3－(－2)＝5，d的測(cè)度為區(qū)間[－2,1]長(zhǎng)度1－(－2)＝3，即X≤1的概率為P(A)＝eq\f(d,D)＝eq\f(3,5).(2)由題意知，試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為D＝10min，而事件B的區(qū)域長(zhǎng)度為d＝1min，故P(B)＝eq\f(d,D)＝eq\f(1,10)，即乘客能搭上車的概率為eq\f(1,10).【答案】(1)eq\f(3,5)(2)eq\f(1,10)1．解答本題的關(guān)鍵是將基本事件的全部及其事件A(B)包含的基本事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的長(zhǎng)度，再進(jìn)一步求解．2．求測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何概型的步驟．(1)確定幾何區(qū)域D，這時(shí)區(qū)域D可能是一條線段，也可能是幾條線段或曲線段，并計(jì)算區(qū)域D的長(zhǎng)度．(2)確定事件A發(fā)生時(shí)對(duì)應(yīng)的區(qū)域d，判斷d的邊界點(diǎn)是問(wèn)題的關(guān)鍵．(3)利用幾何概型概率公式求概率．[再練一題]1．在兩根相距8m的木桿上系一根拉直的繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于3m的概率是________．【解析】記“燈與兩端距離都大于3m”為事件A，由于繩長(zhǎng)8m，當(dāng)掛燈的位置介于中間的2m時(shí)，事件A發(fā)生，于是事件A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)測(cè)度是面積的幾何概型如圖3-3-1，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，則P(A)＝________.圖3-3-1【精彩點(diǎn)撥】eq\x(判斷為幾何概型)→eq\x(求出圖形的面積)→eq\x(利用公式求概率)【自主解答】圓的半徑是1，則正方形的邊長(zhǎng)是eq\r(2)，故正方形EFGH(區(qū)域d)的面積為(eq\r(2))2＝2.又圓(區(qū)域D)的面積為π，則由幾何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(2,π).【答案】eq\f(2,π)解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：1根據(jù)題意確認(rèn)問(wèn)題是否是與面積有關(guān)的幾何概型；2確定隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的幾何特征計(jì)算相關(guān)的面積，然后利用公式求解.[再練一題]2．如圖3-3-2，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號(hào)覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：11032066】圖3-3-2【解析】由幾何概型知所求的概率P＝eq\f(S圖形DEBF,S矩形ABCD)＝eq\f(2×1－π×12×\f(1,4)×2,2×1)＝1－eq\f(π,4).【答案】1－eq\f(π,4)測(cè)度為體積的幾何概型已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，求使四棱錐M-ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率．【精彩點(diǎn)撥】先判斷為測(cè)度是體積的幾何概型，然后由體積關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到平面ABCD的距離的問(wèn)題處理．【自主解答】設(shè)M到平面ABCD的距離為h，則VM-ABCD＝eq\f(1,3)·S正方形ABCD·h＜eq\f(1,6)，S正方形ABCD＝1，所以h＜eq\f(1,2)，所以只要點(diǎn)M到平面ABCD的距離小于eq\f(1,2)即可．因?yàn)樗袧M足M到平面ABCD的距離小于eq\f(1,2)的點(diǎn)組成以平面ABCD為底面，高為eq\f(1,2)的長(zhǎng)方體，其體積為eq\f(1,2).又正方體的體積為1，所以使四棱錐M-ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率為P＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2).在幾何概型中，如果試驗(yàn)的結(jié)果所組成的區(qū)域可用體積來(lái)度量，我們要結(jié)合問(wèn)題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確找出基本事件所占的總的體積及事件A所分布的體積，然后利用公式求概率.[再練一題]3．一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為_(kāi)_______．【解析】依題意，在棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)任意取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到各面的距離均大于1.則滿足題意的點(diǎn)區(qū)域?yàn)槲挥谠撜襟w中心的一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體．由幾何概型的概率公式，可得滿足題意的概率為P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).【答案】eq\f(1,27)[探究共研型]幾何概型中測(cè)度類型的確定探究1在幾何概型中，涉及到的測(cè)度大體有幾種？如何進(jìn)行區(qū)分？【提示】幾何概型涉及到的測(cè)度有長(zhǎng)度、面積、體積與角度，“測(cè)度”的意義要依據(jù)D來(lái)確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形、立體圖形時(shí)，相應(yīng)的測(cè)度分別是長(zhǎng)度、面積和體積．當(dāng)幾何概型中的線在一個(gè)定角內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，測(cè)度可能為長(zhǎng)度或角度．探究2問(wèn)題1：在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM<AC的概率；問(wèn)題2：在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作射線CM，交AB于點(diǎn)M，求AM<AC的概率．以上兩問(wèn)題中涉及的測(cè)度一樣嗎？概率分別是多少？【提示】?jī)蓡?wèn)題中的測(cè)度不一樣，問(wèn)題1中是長(zhǎng)度，而問(wèn)題2中為角度．由幾何概型知，問(wèn)題1中的概率為eq\f(\r(2),2)，問(wèn)題2中的概率為eq\f(3,4).過(guò)半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上的任意一點(diǎn)作垂直于直徑的弦，求弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：11032067】【精彩點(diǎn)撥】eq\x(判斷為幾何概型)→eq\x(確定測(cè)度類型)→eq\x(計(jì)算測(cè)度)→eq\x(代入公式求解)【自主解答】設(shè)“弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”為事件A，如圖所示，不妨在過(guò)等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)作垂直于直徑的弦．顯然當(dāng)弦為CD時(shí)其長(zhǎng)度就是△BCD的邊長(zhǎng)，弦長(zhǎng)大于|CD|等價(jià)于圓心O到弦的距離小于|OF|，由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×2,2)＝eq\f(1,2).即弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率是eq\f(1,2).在利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵要明確題目的類型，即是長(zhǎng)度型、角度型、面積型，還是體積型，判斷的方法是看基本事件發(fā)生在一個(gè)幾維空間內(nèi).[再練一題]4．在面積為S的△ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是________．【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作l∥BC交AC于點(diǎn)E.由題知eq\f(AD,AB)＝eq\f(3,4).而P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則使S△PBC＞eq\f(S,4)的點(diǎn)落在△ADE中，∴P＝eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(AD2,AB2)＝eq\f(9,16).【答案】eq\f(9,16)1．如圖3-3-3，邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(2,3)，則陰影區(qū)域的面積為_(kāi)_______．圖3-3-3【解析】由幾何概型的概率公式知eq\f(S陰,S正)＝eq\f(2,3)，所以S陰＝eq\f(2,3)S正＝eq\f(8,3).【答案】eq\f(8,3)2．某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開(kāi)收音機(jī)(整點(diǎn)報(bào)時(shí))，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，則他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率為_(kāi)_______．【解析】記“等待的時(shí)間不多于10分鐘”為事件A，打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于[50,60]時(shí)間段內(nèi)，則事件A發(fā)生．由幾何概型求概率公式得P(A)＝eq\f(60－50,60)＝eq\f(1,6)，即“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不多于10分鐘”的概率為eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)3．如圖3-3-4，在正方形內(nèi)有一扇形(見(jiàn)陰影部分)，扇形對(duì)應(yīng)的圓心是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，半徑為正方形的邊長(zhǎng)．在這個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆，它落在扇形外正方形內(nèi)的概率為_(kāi)_______．圖3-3-4【解析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則S正方形＝a2，S扇形＝eq\f(1,4)πa2，則扇形外正方形內(nèi)的面積為S＝S正方形－S扇形＝a2－eq\f(π,4)a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(π,4)))a2，故所求概率為P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(π,4)))a2,a2)＝1－eq\f(π,4)＝eq\f(4－π,4).【答案】eq\f(4－π,4)4．在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)任取兩個(gè)數(shù)x，y，則滿足x2＋y2<eq\f(1,4)的概率為_(kāi)_______．【解析】當(dāng)x，y∈[－1,1]時(shí)，點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，其面積等于2×2＝4，而滿足x2＋y2<eq\f(1,4)的點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是一個(gè)半徑為eq\f(1,2)的圓的內(nèi)部，其面積等于eq\f(π,4)，所以所求概率P＝eq\f(\f(π,4),4)＝eq\f(π,16).【答案】eq\f(π,16)5．用橡皮泥做成一個(gè)直徑為6cm的小球，假設(shè)橡皮泥中混入一個(gè)很小的砂粒，試求這個(gè)砂粒距離球心不小于1cm的概率．【解】設(shè)“砂粒距離球