7.5 正態(tài)分布(精講)

正分（講思維導(dǎo)常見(jiàn)考

考一正分的特【1龍鶴崗市一中高期量

X

N

P

，則

等于（）A．

0.6

B．

0.5

C．

0.4

D．

0.3（2黃市有色第一中學(xué)高二期末）設(shè)隨機(jī)變服正分布

N

，若）A．

B．

6

C．

5

D．【答案）A(2）B【解析）由于隨機(jī)變量

X

，則

，因此，

.故選：A.（2∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分（4∵Pξ﹣5（ξ＞a+1∴x=a﹣5與x=a+1關(guān)x=4對(duì)稱，∴a﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故選B．【隅反1湖宜昌市校次三年級(jí)數(shù)學(xué)檢測(cè)抽樣分析績(jī)占近似服從正態(tài)布

，且

(91

．若該校有700人加此次檢測(cè)估計(jì)該校此次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)不低于99分的數(shù)為（）A．100【答案】

B．125CD【解析】由題意，成績(jī)近服從正態(tài)分布則正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，

，(91又由，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得

1(91X95)]0.252

，所以該市某校有人，估計(jì)校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于99分的數(shù)為

人，故選：2山東青島市）某種芯的良品率服正態(tài)分布2改造團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)

方案如下：若芯片的良品率不超，不予獎(jiǎng)勵(lì)；若芯片的良品率超但超過(guò)，每張芯片獎(jiǎng)勵(lì)元若芯片的良品率超過(guò)6%，每張芯片獎(jiǎng)勵(lì)200.則每張芯片獲得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望為（）附：隨機(jī)變量服正態(tài)分布

，則

P(

，P

0.9544，P

.A．

52.28

B．

65.87

C．

50.13

D．

131.74【答案】【解析】因?yàn)?/p>

X

，得出，

，所以

，

P

；1PX0.960.15872

，所以

0.3413

（元）故選：3江西景德鎮(zhèn)市）某市弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，組織全市10萬(wàn)中學(xué)生參加網(wǎng)絡(luò)古詞知識(shí)答題比賽，總分分經(jīng)過(guò)分比賽成績(jī)，發(fā)現(xiàn)成績(jī)服從正態(tài)分布于90分的生人數(shù)約為（）

N

，請(qǐng)估計(jì)比賽成績(jī)不小〖參考數(shù)據(jù)

，A．2300【答案】

B．3170C．3415D．460【解析】依題意知，

82,

4所則

0.023

，所以比賽成績(jī)不小于90分學(xué)生人數(shù)約為1000000.0232300

故選：考二正分的實(shí)應(yīng)【2（2021·安池州市年新冠疫情以來(lái)，醫(yī)用口罩成為防疫的必需.根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)

cm標(biāo)準(zhǔn)，過(guò)濾率是生產(chǎn)醫(yī)用口罩的重要參考標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于直徑小于5微的顆粒的過(guò)濾率必須大于90%.為了監(jiān)控某條醫(yī)用口罩生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10個(gè)醫(yī)口置，檢測(cè)其過(guò)率，依據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過(guò)濾率服從態(tài)分布

.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常產(chǎn)出的每個(gè)罩彼此獨(dú)記X表示一天內(nèi)抽取10個(gè)罩中過(guò)濾率小于等于的數(shù)量

（1求

的概率；（2求X的學(xué)期望

E

；（3一天內(nèi)抽檢的口罩中，如出現(xiàn)了過(guò)濾率Z小

的口罩，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程中可能出現(xiàn)了異常情況要當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查維修問(wèn)這種監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法理嗎？附機(jī)變量

Z

，

，0.9987.【答案））0.013）種監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法合.【解析）抽取口罩中過(guò)濾率

內(nèi)概率P

，所以

，所以

0.9987

，故

0.0129（2由題意可知

~BE

.（3如果按照正常狀態(tài)生產(chǎn)，）中計(jì)算可知，一只口罩過(guò)濾率小于或等于

的概率

，一天內(nèi)抽取的10只口中，出現(xiàn)過(guò)濾率小于或等于

的概率

，發(fā)生的概率非常小，屬于小概率事所以一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程中可能出現(xiàn)了異常情況，需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查維可這種監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法合.【隅反1全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）了解一種植物的生長(zhǎng)情況，抽取一批該植物樣本測(cè)量高(單：，其頻率分布直方圖如圖所.

（1求該植物樣本高度的平均

和樣本方差s

2

(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代)；（2假設(shè)該植物的高度服正分布

似為樣本平均數(shù)

x,

近似為樣本方差2，利用該正態(tài)分布求

P(64.5Z96)

.附：10.5若

Z

(

Z68.3%,(

95.4%

.【答案），s）81.85%.【解析）由題意可得平均數(shù)550.10.27585

，s

2

2

75)

2

(75

2

2

(9575)

2

（2由（）知，

Z~N

，從而(64.5Z75)(75Z68.3%110.5Z7510.5)95.4%47.7%2所以

PZ75)47.7%81.85%

.2全高二單元測(cè)試工生產(chǎn)某種零件驗(yàn)員每天從該零件的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零，并測(cè)量其尺寸(單位：)根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件服從正態(tài)分布N(，．（1假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常X表示一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中其尺寸在－3＋3之外的零件數(shù)，求P(≥1)的學(xué)期望；（2下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽的16個(gè)零件的尺寸：10.129.9710.019.9510.029.989.2110.0310.049.999.989.9710.019.9710.0310.11

iiiiii經(jīng)計(jì)算得

x

i

x9.96i

，

11s()22)0.2016ii

，其中x為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，＝1,2，，16.用本平均數(shù)作μ估計(jì)值用本標(biāo)準(zhǔn)差s作的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔－3，＋3之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)機(jī)變量服正分布(μ－3σ＜＜＋3)＝0.997，0.00270.05.【答案；0.0416需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查10.01；0.05.【解析】(1)∵抽取的一個(gè)零件尺寸(－3，＋3σ內(nèi)的概率為0.997，∴零件的尺寸在μ－3，＋3)之外的概率為0.0026，故X～．P(X≥1)＝1－X＝0)＝1－0.9974≈0.0408；X的數(shù)期望為E(＝16×0.0026＝0.0416.(2)x9.96，≈0.20，得9.96，∵樣本數(shù)據(jù)可以看到有一個(gè)零件的尺寸在

0.20.

之外，∴需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.21后，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)

，可得的計(jì)值為10.01.∵

16

x2i

0.20

2

9.96

2

，i剔除

之外的數(shù)據(jù)9.21之后剩下數(shù)據(jù)的方差為

-1510.012

，∴的估計(jì)值為

0.05

.3全高二專題練習(xí)）有甲、乙兩個(gè)規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場(chǎng)，均養(yǎng)萬(wàn)頭．根據(jù)豬的體重，將其分為三個(gè)成長(zhǎng)階段，如下表：階段

幼年期

成長(zhǎng)期

成年期

22體重

[2,18)

根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)兩養(yǎng)豬場(chǎng)內(nèi)豬體重均近似服從正態(tài)分布

由我國(guó)有關(guān)部門加強(qiáng)對(duì)大型養(yǎng)豬場(chǎng)即將投放市場(chǎng)的成年期的豬的監(jiān)控力度，高度重視其質(zhì)量保證，為了養(yǎng)出健康的成年期豬，甲、乙兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式．已知甲，乙兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)內(nèi)一頭成年期的豬能通質(zhì)檢合格的概率分別為

．（1試估算各養(yǎng)豬場(chǎng)三個(gè)階段豬的數(shù)量；（2已知甲養(yǎng)豬場(chǎng)出售一頭成期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利400元，若為不合格的豬則虧損200元；乙養(yǎng)豬場(chǎng)出-頭年的豬，若為健康合格的豬，則可盈利500元，為不合格的豬，則虧損100元記Y為乙豬場(chǎng)各出售一頭成年期的豬所得的總利潤(rùn)隨機(jī)變量的布列假兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)均能把成年期的豬售完，求兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)的總利潤(rùn)的期望值．（參考數(shù)據(jù)：若

Z

P(

0.683,P(

ZP(

）【答案）幼年期的豬215頭成長(zhǎng)期的豬9540，成年期的豬頭）135450元.【解析）設(shè)各階段豬的數(shù)量別為

n,n1

，∵豬的體重X近服從正態(tài)分布N(50,16)，P(2X(505016)n100000.0215（頭1

0.9970.954

0.0215

，P(18n（頭2(50100000.0215（頭）3

，∴甲、乙兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)各有幼年期的豬頭，成長(zhǎng)期的豬9540頭，年期的豬215頭（2隨機(jī)變量Y的有可能取值為900，300

．

371900)300)P(5Y的分布列為

，Y

900300

P

()90020

（元由于兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)均有頭成年的豬，且兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)各出售一頭成年期的豬所得的總利潤(rùn)的期望為30元，則總利潤(rùn)的期望為

215

（元考三正分與其知的合用【3（2021·內(nèi)古赤峰）疫情防控期間，為了讓大家有良好的衛(wèi)生習(xí)慣某校組織了健康防護(hù)的知識(shí)測(cè)分制動(dòng)動(dòng)結(jié)束后機(jī)抽取了200學(xué)生的成績(jī)算得知這200學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?，其中個(gè)分成績(jī)分別是30、38產(chǎn)生的0個(gè)高分成績(jī)分別是99192、、93

、95、

、

、

．（1）為了評(píng)估該校的防控是否效，以樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，若該校學(xué)生的測(cè)試得分近似滿足正態(tài)分布

分別為樣本平均數(shù)和方差認(rèn)防控有效，否則視為效果不佳．經(jīng)過(guò)計(jì)算得知樣本方差為210請(qǐng)判斷該校的疫情防控是否有效，并說(shuō)明理由考數(shù)據(jù)14.5）定：若

，則稱變量“似滿足正態(tài)分布

的概率分布（2學(xué)為了鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)疫情控的配合定對(duì)分及以上的同學(xué)通過(guò)抽獎(jiǎng)的方式進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)分低于

分的同學(xué)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)于94的同學(xué)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)抽獲得50元金的概率是，獲得1元的概率是

．現(xiàn)在從這10高分學(xué)生中隨機(jī)選一名，記其獲獎(jiǎng)金額，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案）該校的疫情防控是效的，理由見(jiàn)解析分布列見(jiàn)解析，87.5.【解析）據(jù)該校的疫情防控有效的，理由如下：14.5，

14.536

，

6514.594

，

22222221.5，6514.5108.5得分小于分的學(xué)生有3個(gè)得分大于分有個(gè)，

，P

，學(xué)生的得分都在

．

學(xué)生得分近似滿足正態(tài)分布

的概率分布，因此該校的疫情防控是有效的；（2設(shè)這名同學(xué)獲得的獎(jiǎng)金為，的可能值為

50

、

100

、

150

、

200

，PY504

，

61，10108313PY14故Y的布列為：

4，，10YP

38

E

110015087.58

．【隅反1云南明市·昆明一中高三月考（理）某校工會(huì)積極組織學(xué)校教職工參與“日行萬(wàn)步”健身活動(dòng)定每日行走不足8千步人不健康生活方式者于14千的人超健康生活式者其他為“一般健康生活方式者.某日，學(xué)校工會(huì)隨機(jī)抽取了該校名職工的“日行萬(wàn)步”健身活動(dòng)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)出他們的日行步(單：千步，且均[內(nèi)，步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所.

（1求被抽取的300名職工日行步數(shù)的平均每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果四舍五入保留整數(shù).（2由直方圖可以認(rèn)為該校教工的日行步服從正態(tài)分布

（1）中求得的平數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的似值為2該校被抽取的300名教職工中日行步數(shù)(14,18)的人數(shù)結(jié)果四舍五入保留整數(shù)).（3用樣本估計(jì)總體，將頻率為概.若工會(huì)從該校教職工中隨機(jī)抽取2人為“日行萬(wàn)步”動(dòng)的慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)對(duì)象，規(guī)定健康生方式者”給予精神鼓勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)金額每人0元般健康生活方式者”獎(jiǎng)勵(lì)金額每人100元健生方式者”獎(jiǎng)勵(lì)金額每人元，求工會(huì)慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)金額X望

的分布列和數(shù)學(xué)期附：若隨機(jī)變量服正態(tài)分布

，則

P(

，P

0.9545(

.【答案）【解析）依題意得

47

）布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：216.x0.080.060.030.0111.68

.（2因?yàn)?/p>

~N

，所以

P

(12

2)

，[P(6所以走路步數(shù)(14,18)的人數(shù)為0.157347

.（3由頻率分布直方圖知每人得獎(jiǎng)勵(lì)為0的概率為0.02，獎(jiǎng)勵(lì)金額為100元概率為0.88獎(jiǎng)勵(lì)金

額為元概率為0.1.由題意知X的可能取值為0，100，200，300，400.P(0)0.02

2

0.0004；(

12

0.88

；P(200)

12

0.88

2

；(300)C

12

0.176

；0.10.01所以X的分布列為

.XP

00.0004

1000.0352

2000.7784

3000.176

4000.01(X)02000.7784300400216

.2長(zhǎng)沙·湖南師大附中高二期末）國(guó)家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設(shè)部于2年合發(fā)布了《城市生活垃圾分類制度實(shí)施方案某46個(gè)中城市在2020年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類，并且垃圾回收、利用率要達(dá)標(biāo)．某市在實(shí)施垃圾分類的過(guò)程中，從本市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的A類區(qū)（全市共320個(gè)中隨機(jī)抽取了50個(gè)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)這50個(gè)區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸到如下頻數(shù)分表，并將這一天垃圾數(shù)量超過(guò)28噸的區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū)．垃