結構力學 矩陣位移法

第九章矩陣位移法

僅限于求解桿系結構在靜荷載作用下的位移和內力。以位移法(附加約束法)為基礎，從有限單元法的角度講解結構的靜力分析。既適用于靜定結構，也適用于超靜定結構，易于編寫通用的計算機程序，尤其對于大型復雜結構，該法具有很大的優(yōu)越性，可大大減少手算的工作量，是面向計算機的計算方法。本章內容介紹§9-1節(jié)位移法概述§9-2節(jié)單元剛度矩陣(局部坐標系)§9-3節(jié)單元剛度矩陣(整體坐標系)§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣§9-6節(jié)等效結點荷載§9-7節(jié)計算步驟和算例§9-8節(jié)忽略軸變時矩形剛架的整體分析§9-9節(jié)桁架及組合結構的整體分析§9-1節(jié)位移法概述⑴力法和位移法均為傳統(tǒng)的結構力學的計算方法，其相應的計算手段手算，因而只能解決計算簡圖較粗略基本未知量數(shù)目不太多的結構分析問題。⑵計算機的出現(xiàn)和廣泛應用，使結構力學的計算發(fā)生了巨大變化，電算能夠解決手算難以解決的大型復雜問題。由此產生了適合電算的分析方法——結構矩陣分析。⑶根據(jù)所選基本未知量的不同，結構矩陣分析包括：矩陣力法結構矩陣分析一般剛度法矩陣位移法直接剛度法以直接剛度法的程序最為簡單且通用性強，應用最廣。⑷矩陣位移法是有限元法的雛形，故桿件結構的矩陣分析也稱作桿件結構的限元法分析，具體包括兩部分內容：§9-1節(jié)位移法概述§9-1節(jié)位移法概述（a）單元分析：將結構離散成有限個兩端固定桿件作為計算單元，按照單元的力學性質（物理關系），建立單元的桿端力和桿端位移的關系—單元的剛度方程，形成單元剛度矩陣。（b）整體分析：在滿足變形條件和平衡條件的前提下，將這些單元集合成整體，建立統(tǒng)一坐標系下的結構整體剛度方程，形成整體剛度矩陣，建立結構的矩陣位移法基本方程，進而求出結構的位移和內力。§9-2節(jié)單元剛度矩陣(局部坐標系)一.一般單元的剛度方程和剛度矩陣1.單元兩端采用局部編碼1、22.六個桿端位移組成桿端位移列向量。3.六個桿端力組成桿端力列向量。1EAIL2e1e2§9-2節(jié)單元剛度矩陣(局部坐標系)局部坐標系下桿端力與桿端位移的關系(單元剛度方程)§9-2節(jié)單元剛度矩陣(局部坐標系)一般單元的剛度方程§9-2節(jié)單元剛度矩陣(局部坐標系)桿件一般單元局部坐標系下的單元剛度矩陣§9-2節(jié)單元剛度矩陣(局部坐標系)二、單元剛度矩陣的性質⑴單元剛度系數(shù)的意義單元剛度矩陣中的每個元素都代表單元桿端單位位移引起的桿端力稱之為單元剛度系數(shù)。其中表示第j個桿端單位位移引起的第i個桿端力。⑵單元剛度矩陣為對稱矩陣。⑶一般單元剛度矩陣為奇異矩陣三、特殊單元剛度方程和剛度矩陣⑴連續(xù)梁中的受彎桿件單元⑵桁架結構中桿件單元⑴連續(xù)梁中的受彎桿件單元§9-2節(jié)單元剛度矩陣(局部坐標系)⑵桁架結構中桿件單元*特殊單元的剛度矩陣存在逆矩陣為非奇異矩陣§9-2節(jié)單元剛度矩陣(局部坐標系)忽略軸變時單元的剛度矩陣§9-3節(jié)單元剛度矩陣(整體坐標系)一、單元坐標轉換矩陣寫成矩陣形式§9-3節(jié)單元剛度矩陣(整體坐標系)單元坐標轉換矩陣單元坐標轉換矩陣的性質-----正交矩陣§9-3節(jié)單元剛度矩陣(整體坐標系)二、整體坐標系下單元剛度矩陣由由§9-3節(jié)單元剛度矩陣(整體坐標系)三、整體坐標系下單元剛度矩陣的性質⑴整體坐標系下單元剛度矩陣與局部坐標系下剛度矩陣同階性質相同。其元素的力學意義為：⑵整體坐標系下單元剛度矩陣為對稱矩陣。⑶一般單元的剛度矩陣是奇異矩陣。四、特殊單元的坐標轉換矩陣⑴只考慮彎曲變形時的桿件單元坐標轉換矩陣。⑵桁架軸力桿件單元坐標轉換矩陣?！?-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣一、傳統(tǒng)位移法建立整體剛度方程形成整體剛度矩陣②①§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣寫成矩陣形式§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣連續(xù)梁整體剛度矩陣二、單元集成法的力學模型和基本概念單元集成法求結構整體結點力時，分別考慮每個單元對結點力的單獨貢獻，然后對各單元產生的結點力進行疊加。其特點由“單元直接集成”

§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣首先考慮單元①的貢獻由單元①單獨作用產生的整個結構的結點力①①①①①①①+=①②①②①①①②②②①②§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣①-----單元①的貢獻矩陣①①①①①①②②②§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣②-----單元②的貢獻矩陣②②②②②②§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣②②①①總剛度方程②①總剛度矩陣=各單元貢獻矩陣之和*而單元貢獻矩陣實際上是單元整體坐標系下的剛度矩陣中的元素在總剛陣中重新定位而形成，如何將單元整體坐標系下的剛度矩陣中的元素定位于總剛陣？§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣三、單元定位向量；單元集成法集成總剛陣⑴桿件單元分析時每個桿件單元兩端的結點位移各有一局部編碼。⑵結構整體分析時，作為基本未知量的結點位移在結構中統(tǒng)一進行編碼稱總碼。Ex：1、2、3。⑶各單元的桿端結點位移和結構整體的結點位移，即局部編碼和總碼之間的對應關系由單元定位向量來確定。⑷單元定位向量：由單元的結點位移的（局部編碼）對應的結構的作為基本未知量的結點位移的（總碼）組成的向量稱。記作§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣單元定位向量給出了桿件單元的局部碼和總碼的對應關系。Ex單元①局部碼——總碼（1）——1（2）——2單元②局部碼——總碼

（1）——2

（2）——3單元集成法的實施方案：EX10—2求連續(xù)梁總剛陣。見書p389

“邊定位，邊累加”由單元剛度矩陣直接集成總剛陣。步驟：（1）將K置零。（2）將

的元素在K中按定位并累加。此時K=K①（3）將的元素在K中按定位并累加。此時K=K①+K②②①②①

§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣四、整體剛度矩陣的性質⑴整體剛度系數(shù)的力學意義。⑵K為對稱矩陣。⑶連續(xù)梁的整體剛度矩陣K是可逆矩陣。⑷連續(xù)梁的整體剛度矩陣K是稀疏矩陣和帶狀矩陣。§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣*剛架的整體剛度矩陣的建立仍為：由單元在整體坐標系下的剛度矩陣按單元定位向量定位累加形成，但其復雜性表現(xiàn)在以下幾個方面：⑴一般情況下考慮各桿的軸向變形，而略軸變的情況作為特例處理。⑵剛架中每個結點的位移分量要增加到三個：一個角位移和兩個線位移。⑶剛架中各桿方向不盡相同，整體分析中需采用整體坐標系。⑷剛架中除剛結點外，還要考慮鉸結點等其他情況。——結構的結點位移向量一、結點位移分量的同一編碼——總碼ABC①②123000040xy§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣——結構的結點力向量二、單元定位向量§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣三、單元集成過程單元①②整體坐標系下的剛度矩陣見ex9—1§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣四、鉸結點的處理——結構的結點位移向量單元定位向量7③06543210000②①0yxC2ABDC1§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣⑴⑵⑶⑷⑸⑹1234567⑴⑵⑶⑷⑸⑹123456§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣⑴⑵⑶1234567⑴⑵⑶1234567§9-6節(jié)等效結點荷載一、矩陣位移法基本方程矩陣位移法方程的建立，采用了位移法方程建立的思路——即利用基本體系在結點位移和實際荷載共同作用下在附加約束處產生的總的附加約束反力為零的條件。⑴設結點位移單獨作用在基本體系中引起的附加約束反力為⑵設荷載單獨作用在基本體系中引起的附加約束反力為記作則：矩陣位移法方程為二、綜合結點荷載（和等效結點荷載）綜合結點荷載與原荷載在基本體系中引起的附加約束反力相等效，存在如下關系——標準形式的矩陣位移法方程§9-6節(jié)等效結點荷載三、單元集成法求整體結構的綜合結點荷載⑴單元的等效結點荷載（局部坐標系）①查表組建桿件單元固端力向量②確定桿件單元等效結點荷載⑵單元的等效結點荷載（整體坐標系）⑶整體結構的等效結點荷載記將桿件單元整體坐標系下的等效結點荷載按單元定位向量在中進行定位累加即得§9-6節(jié)等效結點荷載⑷整體結構的綜合結點荷載設整體結構的等效結點荷載為直接結點荷載為則：整體結構的綜合結點荷載為Ex9-3見書P400§9-7節(jié)計算步驟和算例一、矩陣位移法計算平面剛架的步驟⑴整理數(shù)據(jù)，對單元和剛架的結點位移進行局部和總體編碼。⑵形成局部坐標系下單元剛度矩陣。⑶形成整體坐標系下單元剛度矩陣。⑷單元集成法形成結構整體剛度矩陣。①寫出各單元的單元定位向量。②按單元的單元定位向量，定位總剛度矩陣。⑸求綜合結點荷載。①求固端約束力向量。②求單元整體坐標系下等效結點荷載。③按單元的單元定位向量，定位累加結構整體等效結點荷載。④計算綜合結點荷載。e§9-7節(jié)計算步驟和算例⑹解矩陣位移法方程。⑺求局部坐標系下單元桿端力。①先求②再求⑻作內力圖。Ex9-4見書P403§9-8節(jié)忽略軸向變形時矩形剛架的整體分析yx4③03012010000②①0C2ABDC1Ex略軸變時求剛架的總剛陣⑴判斷位移法的基本未知量對結點位移分量進行統(tǒng)一編碼，組成結點位移向量。⑵確定各桿的單元定位向量③②①§9-8節(jié)忽略軸向變形時矩形剛架的整體分析⑶形成整體坐標系下單元剛度矩陣。剛架中各桿尺寸相同，均采用ex9—1中各桿尺寸。①②③§9-8節(jié)忽略軸向變形時矩形剛架的整體分析⑷集成整體剛度矩陣300-300-300+3000+00+00010050005010000000⑴⑷⑶⑹1234⑴⑷⑶⑹1234*104§9-8節(jié)忽略軸向變形時矩形剛架的整體分析0+（12）（-30）00（-30）100+（100）50005010000000⑴⑶1234⑴⑶1234*104§9-8節(jié)忽略軸向變形時矩形剛架的整體分析12+（12）-300（-30）-302005000501000（-30）00