高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步 全國(guó)一等獎(jiǎng)

(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書(shū)中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．若m、n表示直線(xiàn)，α表示平面，則下列推理中，正確的個(gè)數(shù)為()①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,m⊥α))?n⊥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n⊥α))?m∥n；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n∥α))?m⊥n;④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥α,m⊥n))?n⊥α.A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③正確，④中n與面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．答案：C2．已知直線(xiàn)a、b與平面α、β、γ，能使α⊥β的條件是()A．a(chǎn)⊥β，β⊥γ，a?γ B．α∩β＝a，b⊥a，b?βC．a(chǎn)∥β，α∥a D．a(chǎn)∥α，a⊥β解析：因?yàn)閍∥α，所以過(guò)a作一平面γ∩α＝c，則a∥c，因?yàn)閍⊥β，所以c⊥β，又c?α，所以α⊥β.答案：D3．PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正確；又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正確．答案：C4．四棱錐P－ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD，四邊形ABCD是正方形，E是PD的中點(diǎn)，則AE與PC的關(guān)系是()A．垂直 B．相交C．平行 D．相交或平行解析：∵PA＝AD，E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD又PA⊥面ABCD.∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD.∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AE.又∵CD∩PD＝D，∴AE⊥面PCD.∴AE⊥PC.故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．直線(xiàn)a和b在正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個(gè)不同平面內(nèi)，使a∥b成立的條件是________________．(只填序號(hào)即可)①a和b垂直于正方體的同一個(gè)面②a和b在正方體兩個(gè)相對(duì)的面內(nèi)，且共面③a和b平行于同一條棱④a和b在正方體的兩個(gè)面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直解析：①為直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，②為面面平行的性質(zhì)，③為公理4的應(yīng)用．答案：①②③6．已知直線(xiàn)PG⊥平面α于G，直線(xiàn)EFα，且PF⊥EF于F，那么線(xiàn)段PE，PF，PG的大小關(guān)系是________．解析：由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，∴PG最短，PF＜PE，∴有PG＜PF＜PE.答案：PG＜PF＜PE三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求證：EF∥BD1.證明：如圖所示，連接AB1、B1C、BD、B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理可證BD1⊥B1C，AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C，又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.8．斜邊為AB的直角三角形ABC，過(guò)點(diǎn)A作PA⊥平面⊥PB，AF⊥PC，E、F分別為垂足，如圖．(1)求證：EF⊥PB；(2)若直線(xiàn)l⊥平面AEF，求證：PB∥l.證明：(1)∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵△ABC為直角三角形，∴BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AF平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又PB平面PBC，∴AF⊥BP.又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴EF⊥PB.(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，而l⊥平面AEF，∴PB∥l.eq\x(尖子生題庫(kù))☆☆☆9．(10分)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．求直線(xiàn)BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值．解析：取AA1的中點(diǎn)M，連接EM，BM，因?yàn)镋是DD1的中點(diǎn)，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD.又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，從而B(niǎo)M為直線(xiàn)BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即為直線(xiàn)BE與平面ABB1A1所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則EM＝AD＝