高中數(shù)學(xué)北師大版5第二章幾個重要的不等式 學(xué)業(yè)分層測評11排序不等式

學(xué)業(yè)分層測評(十一)(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1．設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，且a1，a2，a3的任一排列為a′1，a′2，a′3，則eq\f(a1,a′1)＋eq\f(a2,a′2)＋eq\f(a3,a′3)的最小值為()A．3 B．6C．9 D．12【解析】由題意，不妨設(shè)a1≥a2≥a3>0，則eq\f(1,a3)≥eq\f(1,a2)≥eq\f(1,a1)>0，∴eq\f(a1,a′1)＋eq\f(a2,a′2)＋eq\f(a3,a′3)≥eq\f(a1,a1)＋eq\f(a2,a2)＋eq\f(a3,a3)＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝a3時等號成立．【答案】A2．設(shè)a1，a2，…，an都是正數(shù)，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，P＝aeq\o\al(2,1)beq\o\al(－1,1)＋aeq\o\al(2,2)beq\o\al(－1,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)beq\o\al(－1,n)，Q＝a1＋a2＋…＋an，則P與Q的大小關(guān)系是()A．P＝Q B．P>QC．P<Q D．P≥Q【解析】設(shè)a1≥a2≥…≥an>0，可知aeq\o\al(2,1)≥aeq\o\al(2,2)≥…≥aeq\o\al(2,n)，aeq\o\al(－1,n)≥aeq\o\al(－1,n－1)≥…≥aeq\o\al(－1,1).由排序不等式，得aeq\o\al(2,1)beq\o\al(-1,1)＋aeq\o\al(2,2)beq\o\al(-1,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)beq\o\al(-1,n)≥aeq\o\al(2,1)aeq\o\al(-1,1)＋aeq\o\al(2,2)aeq\o\al(-1,2)＋aeq\o\al(2,n)aeq\o\al(-1,n)，即aeq\o\al(2,1)beq\o\al(-1,1)＋aeq\o\al(2,2)beq\o\al(-1,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)beq\o\al(-1,n)≥a1＋a2＋…＋an.∴P≥Q，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an>0時等號成立．【答案】D3．某班學(xué)生要開聯(lián)歡會，需要買價格不同的禮品4件，5件及2件，現(xiàn)在選擇商店中單價為3元，2元和1元的禮品，則至少要花________元，至多花________元．()A．20,23 B．19,25C．21,23 D．19,24【解析】單價大小排列為3,2,1，待買禮品數(shù)量排列為5,4,2，任意交叉相乘再取和中最大值是順序和3×5＋2×4＋1×2＝25，最小值是逆序和3×2＋2×4＋1×5＝19.【答案】B4．設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，則eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)與a1＋a2＋a3大小關(guān)系為()A．> B．≥C．< D．≤【解析】不妨設(shè)a1≥a2≥a3>0，于是eq\f(1,a1)≤eq\f(1,a2)≤eq\f(1,a3)，a2a3≤a3a1≤a1a2，由排序不等式：順序和≥亂序和，得eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a3a1,a2)＋eq\f(a2a3,a1)≥eq\f(1,a2)·a2a3＋eq\f(1,a3)·a3a1＋eq\f(1,a1)·a1a2＝a3＋a1＋a2，即eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)≥a1＋a2＋a3.【答案】B5．a(chǎn)1，a2，…，an都是正數(shù)，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，則a1beq\o\al(－1,1)＋a2beq\o\al(－1,2)＋…＋anbeq\o\al(－1,n)的最小值是()A．1 B．nC．n2 D．無法確定【解析】設(shè)a1≥a2≥…≥an>0.可知aeq\o\al(－1,n)≥aeq\o\al(－1,n－1)≥…≥aeq\o\al(－1,1)，由排序原理，得a1beq\o\al(－1,1)＋a2beq\o\al(－1,2)＋…＋anbeq\o\al(－1,n)≥a1aeq\o\al(－1,1)＋a2aeq\o\al(－1,2)＋…＋anaeq\o\al(－1,n)＝n.【答案】B二、填空題6．設(shè)a≥b>0，則a3＋b3與a2b＋ab2的大小關(guān)系是__________．【解析】∵a≥b>0，∴a2≥b2>0，因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)．【答案】a3＋b3≥a2b＋ab27．有4人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿每個人的水桶分別需要5s,4s,3s,7s，每個人接完水后就離開，則他們總的等候時間最短為________s.【解析】等候的最短時間為：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．【答案】418．若a>0，b>0且a＋b＝1，則eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)的最小值是__________.【導(dǎo)學(xué)號：94910034】【解析】不妨設(shè)a≥b>0，則有a2≥b2，且eq\f(1,b)≥eq\f(1,a).由排序不等式得eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥eq\f(1,a)·a2＋eq\f(1,b)·b2＝a＋b＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時，等號成立．∴eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)的最小值為1.【答案】1三、解答題9．設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ca)＋eq\f(c12,ab)≥a10＋b10＋c10.【證明】由對稱性，不妨設(shè)a≥b≥c>0，于是a12≥b12≥c12，eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)，故由排序不等式：順序和≥亂序和，得eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ca)＋eq\f(c12,ab)≥eq\f(a12,ab)＋eq\f(b12,bc)＋eq\f(c12,ca)＝eq\f(a11,b)＋eq\f(b11,c)＋eq\f(c11,a). ①又因為a11≥b11≥c11，eq\f(1,a)≤eq\f(1,b)≤eq\f(1,c).再次由排序不等式：逆序和≤亂序和，得eq\f(a11,a)＋eq\f(b11,b)＋eq\f(c11,c)≤eq\f(a11,b)＋eq\f(b11,c)＋eq\f(c11,a). ②所以由①，②得eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ca)＋eq\f(c12,ab)≥a10＋b10＋c10.10．已知0<α<β<γ<eq\f(π,2)，求證：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．【證明】∵0<α<β<γ<eq\f(π,2)，且y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))為增函數(shù)，y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))為減函數(shù)，∴0<sinα<sinβ<sinγ，cosα>cosβ>cosγ>0.根據(jù)排序不等式得：亂序和≥逆序和．又∵本題中等號不可能取到，∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．能力提升]1．已知a，b，c為正數(shù)，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正負(fù)情況是()A．大于零 B．大于等于零C．小于零 D．小于等于零【解析】設(shè)a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，根據(jù)排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab.即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.【答案】B2．銳角三角形中，設(shè)P＝eq\f(a＋b＋c,2)，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，則P，Q的關(guān)系為()A．P≥Q B．P＝QC．P≤Q D．不能確定【解析】不妨設(shè)A≥B≥C，則a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，則由排序不等式有Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)≥Rsin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝eq\f(a＋b＋c,2)＝P.【答案】C3．設(shè)a，b，c是正數(shù)，則aabbcc________(abc)eq\s\up12(\f(a＋b＋c,3)).【解析】不妨設(shè)a≥b≥c>0，則lga≥lgb≥lgc，據(jù)排序不等式有：alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algc，alga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgc，以上兩式相加，再兩邊同加alga＋blgb＋clgc，整理得3(alga＋blgb＋clgc)≥(a＋b＋c)(lga＋lgb＋lgc)，即lg(aabbcc)≥eq\f(a＋b＋c,3)·lg(abc)，故aabbcc≥(abc)eq\s\up12(\f(a＋b＋c,3)).【答案】≥4．設(shè)a，b，c大于0，求證：(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；(2)eq\f(1,a3＋b3＋abc)＋eq\f(1,b3＋c3＋abc)＋eq\f(1,c3＋a3＋abc)≤eq\f(1,abc).【證明】(1)不妨設(shè)a≥b≥c>0，則a2≥b2≥c2>0，∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a，∴a3＋b3≥ab(a＋b)．(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)．所以eq\f(1,a3＋b3＋abc)＋eq