高中數(shù)學(xué)人教B版1第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3．1導(dǎo)數(shù) 第3章3

3．1導(dǎo)數(shù)3．函數(shù)的平均變化率3．瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)1．理解函數(shù)在某點(diǎn)附近的平均變化率．(重點(diǎn))2．會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(難點(diǎn))3．了解平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系．(易錯(cuò)點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1變化率問題閱讀教材P75～P76例1以上，完成下列問題．函數(shù)的變化率函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率(1)定義式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比.(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)Δx表示x2－x1是相對(duì)于x1的一個(gè)增量，Δx可以為零．()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可負(fù)也可以為零．()(3)eq\f(Δy,Δx)表示曲線y＝f(x)上兩點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率．()【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2導(dǎo)數(shù)的概念閱讀教材P78～P81例以上部分，完成下列問題．1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率(1)定義式：eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)實(shí)質(zhì)：瞬時(shí)變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，平均變化率趨近的值．(3)作用：刻畫函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢．2．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx值的正、負(fù)無(wú)關(guān)．()(2)瞬時(shí)變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化快慢的物理量．()(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx，Δy都不可能為零．()(4)函數(shù)f(x)＝x在x＝0處的瞬時(shí)變化率為0.()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑問2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑問3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小組合作型]平均變化率(1)函數(shù)y＝f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為________，當(dāng)x0＝2，Δx＝時(shí)平均變化率的值為________．(2)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋x的圖象上的一點(diǎn)A(－1，－2)及臨近一點(diǎn)B(－1＋Δx，－2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：25650096】【自主解答】(1)函數(shù)y＝f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f([3x0＋Δx2＋2]－3x\o\al(2,0)＋2,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.當(dāng)x0＝2，Δx＝時(shí)，函數(shù)y＝3x2＋2在區(qū)間[2,]上的平均變化率為6×2＋3×＝.(2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx)2＋3Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－Δx2＋3Δx,Δx)＝－Δx＋3.【答案】(1)6x0＋3Δx(2)－Δx＋3求平均變化率的主要步驟1．計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1)．2．計(jì)算自變量的改變量Δx＝x2－x1.3．得平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).[再練一題]1．求函數(shù)f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx都為eq\f(1,3)，在哪一點(diǎn)附近平均變化率最大？【解】在x＝1附近的平均變化率為：k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均變化率為：k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均變化率為：k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.若Δx＝eq\f(1,3)，則k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均變化率最大．求瞬時(shí)速度若一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(29＋3t－32，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3))(路程單位：m，時(shí)間單位：s)．求：(1)物體在t＝3s到t＝5s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；(2)物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度．【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)問題選擇對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式→根據(jù)平均速度和瞬時(shí)速度的概念求解【自主解答】(1)因?yàn)棣＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt＝2s，所以物體在t＝3s到t＝5s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)因?yàn)棣＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt)2－12Δt](m)，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3Δt2－12Δt,Δt)＝(3Δt－12)(m/s)，則物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度為eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(3Δt－12)＝－12(m/s)．求物體瞬時(shí)速度的步驟1．設(shè)非勻速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律s＝s(t)．2．求時(shí)間改變量Δt和位置改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．3．求平均速率eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).4．計(jì)算瞬時(shí)速率：當(dāng)Δt→0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)→v(常數(shù))．[再練一題]2．質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝2t2＋3作直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：cm，時(shí)間單位：s)．求質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度以及在[1,3]上的平均速度．【解】v＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(2×2＋Δt2－2×22,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(2Δt＋8)＝8(cm/s)，eq\x\to(v)＝eq\f(s3－s1,3－1)＝eq\f(2×32＋3－2×12＋3,2)＝8(cm/s)．[探究共研型]函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)探究導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變化率反映函數(shù)變化的什么特征？【提示】導(dǎo)數(shù)可以反映函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢程度．(1)求函數(shù)y＝eq\r(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)y＝x2＋ax＋b在x處(a，b為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)．【精彩點(diǎn)撥】本題求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以按照“求導(dǎo)數(shù)的三步曲”來(lái)求解．【自主解答】(1)Δy＝eq\r(1＋Δx)－1，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)，eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，∴y′|x＝1＝eq\f(1,2).(2)Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2x＋a·Δx＋Δx2,Δx)＝(2x＋a)＋Δx，eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，∴f′(x)＝2x＋a.1．求函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的步驟與求瞬時(shí)變化率的步驟相同，簡(jiǎn)稱：一差、二比、三極限．2．利用定義求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)注意點(diǎn)：(1)在求平均變化率eq\f(Δy,Δx)時(shí)，要注意對(duì)eq\f(Δy,Δx)的變形與約分，變形不徹底可能導(dǎo)致eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)不存在；(2)當(dāng)對(duì)eq\f(Δy,Δx)取極限時(shí)，一定要把eq\f(Δy,Δx)變形到當(dāng)Δx→0時(shí)，分母是一個(gè)非零常數(shù)的形式．[再練一題]3．求函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：25650097】【解】∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)→2，∴f′(1)＝2，即函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為2.[構(gòu)建·體系]1．已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，當(dāng)x＝2，Δx＝時(shí)，Δy的值為()A． B．C． D．【解析】∵x＝2，Δx＝，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f－f(2)＝＋1)－(22＋1)＝.【答案】B2．設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝a＋b·Δx，f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(a＋b·Δx)＝a.【答案】C3．一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)＝2t2運(yùn)動(dòng)，則在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為__________．【解析】s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(2Δt2＋8Δt,Δt)