材料力學(xué)第三章 圓軸扭轉(zhuǎn)

材料力學(xué)4何斌njhebin@2/5/2023第3章圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結(jié)論與討論剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律桿的兩端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于桿件軸線(xiàn)的兩個(gè)力偶，桿的任意兩橫截面將繞軸線(xiàn)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種受力與變形形式稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)（torsion）。本章主要分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力以及兩相鄰橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，同時(shí)介紹圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)方法。工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸請(qǐng)判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)？當(dāng)兩只手用力相等時(shí)，擰緊螺母的工具桿將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。請(qǐng)判斷軸受哪些力？將發(fā)生什么變形？工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第3章圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結(jié)論與討論剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律外加扭力矩、扭矩與扭矩圖作用于構(gòu)件的外扭矩與機(jī)器的轉(zhuǎn)速、功率有關(guān)。在傳動(dòng)軸計(jì)算中，通常給出傳動(dòng)功率P和轉(zhuǎn)速n，則傳動(dòng)軸所受的外加扭力矩Me可用下式計(jì)算：

其中P為功率，單位為千瓦（kW）；n為軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/分（r/min）。

如果功率P的單位用馬力（1馬力=735.5N?m/s），則外加扭力矩、扭矩與扭矩圖外加扭力矩Me確定后，應(yīng)用截面法可以確定橫截面上的內(nèi)力——扭矩，圓軸兩端受外加扭力矩Me作用時(shí)，橫截面上將產(chǎn)生分布剪應(yīng)力，這些剪應(yīng)力將組成對(duì)橫截面中心的合力矩,稱(chēng)為扭矩（twistmoment），用Mx表示。

nMeMeMxMeMx+nMxMeMx-外加扭力矩、扭矩與扭矩圖如果只在軸的兩個(gè)端截面作用有外力偶矩，則沿軸線(xiàn)方向所有橫截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在軸上的外力偶矩。扭矩沿桿軸線(xiàn)方向變化的圖形，稱(chēng)為扭矩圖(diagramoftorsionmoment)。繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似。當(dāng)在軸的長(zhǎng)度方向上有兩個(gè)以上的外力偶矩作用時(shí)，軸各段橫截面上的扭矩將是不相等的，這時(shí)需用截面法確定各段橫截面上的扭矩。外加扭力矩、扭矩與扭矩圖例題1圓軸受有四個(gè)繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸單位為mm。試：畫(huà)出圓軸的扭矩圖。

例題1解：1．確定控制面

外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面。

2．應(yīng)用截面法，由平衡方程確定各段圓軸內(nèi)的扭矩

。

例題1

3．建立Mx－x坐標(biāo)系，畫(huà)出扭矩圖建立Mx－x坐標(biāo)系，其中x軸平行于圓軸的軸線(xiàn)，Mx軸垂直于圓軸的軸線(xiàn)。將所求得的各段的扭矩值，標(biāo)在Mx－x坐標(biāo)系中，得到相應(yīng)的點(diǎn)，過(guò)這些點(diǎn)作x軸的平行線(xiàn)，即得到所需要的扭矩圖。

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖對(duì)應(yīng)拉壓?jiǎn)栴}與軸力圖對(duì)應(yīng)的軸力圖與扭矩圖第4章圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結(jié)論與討論剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律

剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律考察承受剪應(yīng)力作用的微元體，假設(shè)作用在微元左、右面上的剪應(yīng)力為，這兩個(gè)面上的剪應(yīng)力與其作用面積的乘積，形成一對(duì)力，二者組成一力偶。為了平衡這一力偶，微元的上、下面上必然存在剪應(yīng)力ˊ，二者與其作用面積相乘后形成一對(duì)力，組成另一力偶。為保持微元的平衡，這兩個(gè)力偶的力偶矩必須大小相等，方向相反。剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律xyzdxdydz微元能不能平衡？哪些力互相平衡？怎樣才能平衡？根據(jù)力偶平衡理論剪應(yīng)力成對(duì)定理

在兩個(gè)互相垂直的平面上，剪應(yīng)力必然成對(duì)存在，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩個(gè)平面的交線(xiàn)，方向則共同指向或共同背離這一交線(xiàn)，這就是剪應(yīng)力成對(duì)定理（pairingprincipleofshearstresses）。剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律O剪切胡克定律當(dāng)在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比:這種線(xiàn)性關(guān)系稱(chēng)為剪切胡克定律。比例常數(shù)G稱(chēng)為材料的切變模量。第4章圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結(jié)論與討論剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律

應(yīng)用平衡方法可以確定圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力分量——扭矩，但是不能確定橫截面上各點(diǎn)剪應(yīng)力的大小。為了確定橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力，在確定了扭矩后，還必須知道橫截面上的剪應(yīng)力是怎樣分布的。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變形應(yīng)變分布平面假定物性關(guān)系靜力方程確定橫截面上剪應(yīng)力的方法與過(guò)程圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

平面假定

變形協(xié)調(diào)方程

物性關(guān)系——剪切胡克定律

靜力學(xué)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式假定：圓軸受扭發(fā)生變形后，其橫截面依然保持平面，兩相鄰橫截面剛性地相互轉(zhuǎn)過(guò)一角度。這一假定稱(chēng)為平面假定。平面假定平面假定圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

平面假定

變形協(xié)調(diào)方程

物性關(guān)系——剪切胡克定律

靜力學(xué)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式變形協(xié)調(diào)方程若將圓軸用同軸柱面分割成許多半徑不等的圓筒，根據(jù)上述結(jié)論，在dx長(zhǎng)度上，雖然所有圓柱的兩端面均轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度d，但半徑不等的圓柱上產(chǎn)生的剪應(yīng)變各不相同，半徑越小者剪應(yīng)變?cè)叫?。變形協(xié)調(diào)方程設(shè)到軸線(xiàn)任意遠(yuǎn)處的剪應(yīng)變?yōu)椋ǎ瑒t從圖中可得到如下幾何關(guān)系：

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

平面假定

變形協(xié)調(diào)方程

物性關(guān)系——剪切胡克定律

靜力學(xué)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式物性關(guān)系——剪切胡克定律O剪切胡克定律當(dāng)在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比:這種線(xiàn)性關(guān)系稱(chēng)為剪切胡克定律。比例常數(shù)G稱(chēng)為材料的切變模量。物性關(guān)系——剪切胡克定律圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

平面假定

變形協(xié)調(diào)方程

物性關(guān)系——剪切胡克定律

靜力學(xué)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式靜力學(xué)方程靜力學(xué)方程式中

GIP—扭轉(zhuǎn)剛度；

IP—橫截面的極慣性矩。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

平面假定

變形協(xié)調(diào)方程

物性關(guān)系——剪切胡克定律

靜力學(xué)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式最大剪應(yīng)力Wp——

扭轉(zhuǎn)截面模量。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式空心圓截面極慣性矩與抗扭截面系數(shù)實(shí)心圓截面設(shè)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力小結(jié)

公式的適用范圍：

扭轉(zhuǎn)變形基本公式：

扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式：

最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力：物理與靜力學(xué)三方面

研究方法：從實(shí)驗(yàn)、假設(shè)入手，綜合考慮幾何、圓截面軸；圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

與抗壓桿的強(qiáng)度設(shè)計(jì)相似，為了保證圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)安全可靠地工作，必須將圓軸橫截面上的最大剪應(yīng)力max限制在一定的數(shù)值以下，即：

這一關(guān)系式稱(chēng)為受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，或稱(chēng)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件。

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式

[

]為許用剪應(yīng)力；

max是指圓軸所有橫截面上最大剪應(yīng)力中的最大者，對(duì)于等截面圓軸，最大剪應(yīng)力發(fā)生在扭矩最大的橫截面上的邊緣各點(diǎn)；對(duì)于變截面圓軸，如階梯軸，最大剪應(yīng)力不一定發(fā)生在扭矩最大的截面，這時(shí)需要根據(jù)扭矩Mx和相應(yīng)扭轉(zhuǎn)截面模量WP的數(shù)值綜合考慮才能確定。

受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

例題1已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切應(yīng)力不得超過(guò)40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比=0.5。二軸長(zhǎng)度相同。求:

實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。例題1解：首先根據(jù)軸所傳遞的功率計(jì)算作用在軸上的扭矩實(shí)心軸空心軸d2＝0.5D2=23mm例題1解：確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比空心軸D2＝46mmd2＝23mm實(shí)心軸d1=45mm在長(zhǎng)度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：例題2在圖示傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，功率從B輪輸入，再通過(guò)錐齒輪將一半傳遞給鉛垂軸C，另一半傳遞給水平軸H。若已知輸入功率P1=14kW，水平軸E和H的轉(zhuǎn)速n1=n2=120r/min，錐齒輪A和D的齒數(shù)分別為z1=36，z2=12，圖中d1=70,d2=50,d3=35.求各軸橫截面上的最大切應(yīng)力.分析：此機(jī)構(gòu)是典型的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，各傳動(dòng)軸均為扭轉(zhuǎn)變形。欲求各傳動(dòng)軸橫截面上的切應(yīng)力，必須求得各軸所受的扭矩，即各軸所受到的外力偶矩。由題意可知，E、H、C軸所傳遞的功率分別為：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW.E、H軸轉(zhuǎn)速為120r/min,由傳動(dòng)比可計(jì)算出C軸的轉(zhuǎn)速為：n3=(z1/z2)n1=3n1=360r/min再通過(guò)公式：可以求得各軸所受到的外力矩M1M2M3例題2解：1、求各軸橫截面上的扭矩：E軸：H軸：C軸：2、求各軸橫截面上的最大切應(yīng)力：E軸：H軸：E軸：例題3由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別