高中數(shù)學(xué)人教A版2本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 章末總結(jié)

回歸方程及其應(yīng)用對所抽取的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分析兩個變量之間的關(guān)系——線性關(guān)系或非線性關(guān)系，并由一個變量的變化去推測另一個變量的變化，這就是對樣本進(jìn)行回歸分析．某商場經(jīng)營一批進(jìn)價是30元/臺的小商品，在市場試驗中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x(x取整數(shù))元與日銷售量y臺之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：單位x/元35404550日銷售量y/臺56412811(1)畫出散點(diǎn)圖并說明y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系．如果有，求出線性回歸方程(方程的斜率保留一個有效數(shù)字)．(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)(1)寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測當(dāng)銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤．分析：作出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖觀察是否具有線性相關(guān)關(guān)系．解析：(1)散點(diǎn)圖如圖所示：從圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)設(shè)回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x.∵eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝34，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,∑4,i＝1,4,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝－eq\f(370,125)≈－3，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝34－(－3)×＝.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－3x.(2)由題意，有P＝－3x)(x－30)＝－3x2＋－4845.∴當(dāng)x＝eq\f,6)≈42時，P有最大值．即預(yù)測銷售單價為42元時，能獲得最大日銷售利潤．eq\a\vs4\al(點(diǎn)評：)判斷兩個變量之間是否有線性相關(guān)關(guān)系一般有兩種方法：一是計算樣本相關(guān)系數(shù)；二是畫散點(diǎn)圖．兩種方法要結(jié)合題目的要求合理選取，也可同時使用，則判斷更加準(zhǔn)確．?變式訓(xùn)練1．從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\i\su(i＝1xi＝80，\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝20，\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝184，∑10,i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄．附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝eq\f(\i\su(i＝1xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),∑n,i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))，其中eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).解析：(1)由題意知：n＝10，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2.又Lxx＝eq\i\su(i＝1xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2＝720－10×82＝80，,Lxy＝∑n,i＝1,n,x)iyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝184－10×8×2＝24，由此得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(Lxy,Lxx)＝eq\f(24,80)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝2－×8＝－.故所求回歸方程為：y＝－.(2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(eq\o(b,\s\up6(^))＝＞0)，故x與y之間是正相關(guān)．(3)將x＝7代入回歸方程，可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為：y＝×7－＝(千元)．測得一個隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)如下表所示：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的關(guān)系，并預(yù)報回歸模型；(3)利用所得回歸模型預(yù)報x＝40時y的值．解析：(1)x與y的散點(diǎn)圖如下圖，有散點(diǎn)分布猜測樣本數(shù)據(jù)分布在一條曲線的附近，這條曲線接近指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x，其中c1，c2為常數(shù)．(2)對y＝c1ec2x兩邊取對數(shù)的lny＝lnc1＋c2x.令A(yù)＝lny，則A＝bx＋a，其中a＝lnc1，b＝c2.將y與x之間的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為A與x之間的數(shù)據(jù)：x21232527293235A可以求得回歸直線方程為A＝－，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝－.(3)當(dāng)x＝40時，y＝×40－≈1131.eq\a\vs4\al(點(diǎn)評：)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)描出散點(diǎn)圖，再由散點(diǎn)圖直觀地觀察散點(diǎn)分布符合的函數(shù)模型，再根據(jù)有關(guān)公式進(jìn)行計算．?變式訓(xùn)練2．在一化學(xué)反應(yīng)過程中，化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了8組觀測數(shù)據(jù)列于下表：催化劑的量x/g1518212427303336化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g·min－1)6830277020565350試建立y與x之間的回歸方程．解析：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖(如下圖所示)，根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝aebx的周圍，其中a和b是待定的參數(shù)．令z＝lny，則z＝lny＝bx＋lna，即變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z＝bx＋c(c＝lna)附近．有y與x的數(shù)據(jù)表可得到變換后的z與x的數(shù)據(jù)表：x1518212427303336z由z與x的數(shù)據(jù)表，可得線性回歸方程：eq\o(z,\s\up6(^))＝－，所以y與x之間的非線性回歸方程為：eq\o(y,\s\up6(^))＝－.獨(dú)立性檢驗及其應(yīng)用在日常生活中，分類變量是大量存在的，例如吸煙與患肺癌等，在實際問題中，我們常常關(guān)心兩個變量之間是否有關(guān)系．為觀察藥物A、B治療某病的療效，某醫(yī)生將100例該病病人隨機(jī)地分成兩組，一組40人，服用A藥；另一組60人，服用B藥．結(jié)果發(fā)現(xiàn)：服用A藥的40人中有30人治愈，服用B藥的60人中有11治愈，問A、B兩藥對該疾病的治愈率之間是否有顯著差別？解析：為便于將數(shù)據(jù)代入公式計算，先列出2×2列聯(lián)表：治愈未愈總計A藥301040B藥114960總計4159100由公式得k＝eq\f(100×（30×49－10×11）2,40×60×41×59)≈.因為＞，所以我們在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為A、B兩藥對該病的治愈率之間有顯著差別．?變式訓(xùn)練3．某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組：[50，60)，[60，70)，[71，80)，[80，90)，[90，100]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人人數(shù)．(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？P(K2≥k)k附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)解析：(1)由已知得，樣本中有“25周歲以上組”工人60名，“25周歲以下組”工人40名．由頻率分布直方圖知，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，“25周歲以上組”工人有60××10)＝3(人)，“25周歲以下組”工人有40××10)＝2(人)，所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人有5人．(2)由頻率分布直方圖知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×＝15(人)，“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×＝15