高中數(shù)學北師大版1第二章圓錐曲線與方程 第2章2

第二章§1第一課時一、選擇題(每小題5分，共20分)1．橢圓的一個焦點和短軸的兩端點構成一個正三角形，則該橢圓的離心率為()\f(1,2) \f(\r(3),2)\f(\r(3),3) D．不能確定解析：由題意知正三角形的邊長為a，c為正三角形的高，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).答案：B2．若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，則橢圓的標準方程為()\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1 \f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1 D．以上都不對解析：由題意知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋2b＝18,2c＝6,a2－b2＝c2))，∴解得a＝5，b＝4.又焦點可能在x軸上，也可能在y軸上，∴橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1.答案：C3．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1有兩個頂點在直線x＋2y＝2上，則此橢圓的焦點坐標是()A．(±eq\r(3)，0) B．(0，±eq\r(3))C．(±eq\r(5)，0) D．(0，±eq\r(5))解析：直線x＋2y＝2與坐標軸的交點為(2,0)，(0,1)，即為橢圓的兩個頂點，又焦點在x軸上，∴a＝2，b＝1，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3)，∴焦點坐標為(±eq\r(3)，0)．故選A.答案：A4．已知橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1，焦點在y軸上，若焦距為4，則m等于()A．4 B．5C．7 D．8解析：由題意知焦距為4，則有m－2－(10－m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2，解得m＝8.答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為eq\f(1,2)，它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標準方程是______________．解析：設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑為4，即a＝2.而eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，得c＝1，所以b＝eq\r(3)，則橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝16．若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是__________．解析：由題意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－即5e2＋2e－3＝0，∴e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．答案：eq\f(3,5)三、解答題(每小題10分，共20分)7．求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)橢圓過(3,0)，離心率e＝eq\f(\r(6),3)；(2)在x軸上的一個焦點，與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為8.解析：(1)若焦點在x軸上，則a＝3，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴c＝eq\r(6).∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.若焦點在y軸上，則b＝3，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(9,a2))＝eq\f(\r(6),3)，解得a2＝27.∴橢圓的方程為eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1.(2)設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)且|OF|＝c，|A1A2|＝2b∴c＝b＝4.∴a2＝b2＋c2＝32，故所求橢圓的方程為eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,16)＝1.8.如圖所示，橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，A，B是橢圓的頂點，P是橢圓上一點，且PF1⊥x軸，PF2∥AB，求此橢圓的離心率．解析：設橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．則F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直線PF1的方程為x＝－c，代入方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))).∵PF2∥AB，且kPF2＝eq\f(\f(b2,a),－c－c)＝eq\f(－b2,2ac)，又kAB＝－eq\f(b,a)，∴由kPF2＝kAB，得－eq\f(b2,2ac)＝－eq\f(b,a).∴b＝2c，a＝eq\r(5)c，∴e＝eq\f(\r(5),5).eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)如圖，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；(2)若eq\o(AF,\s\up6(→))2＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，求橢圓的方程．解析：(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝eq\r(2)c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中，c＝eq\r(a2－b2)，設B(x，y)．由eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))?(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝eq\f(3c,2)，y＝－eq\f(b,2)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).將B點坐標代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(\f(9,4)c2,a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，即eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,4)＝1，解得a2＝3c2.①又由eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(