高中數(shù)學(xué)人教A版第一章集合與函數(shù)概念 5

第14課時(shí)函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用課時(shí)目標(biāo)1.能利用奇偶函數(shù)的圖象特征求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的解析式．2．能綜合應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題．識(shí)記強(qiáng)化1．奇函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．2．偶函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱．課時(shí)作業(yè)(時(shí)間：45分鐘，滿分：90分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在定義域上為增函數(shù)的是()A．f(x)＝3x＋1B．f(x)＝eq\f(1,x)C．f(x)＝1－eq\f(1,x)D．f(x)＝x答案：D解析：(x)＝3x＋1在定義域R上是增函數(shù)但不是奇函數(shù)．(x)＝eq\f(1,x)是奇函數(shù)但不是增函數(shù)．(x)＝1－eq\f(1,x)不是奇函數(shù)且在定義域上不是增函數(shù)，只有D符合．2．奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象必定經(jīng)過點(diǎn)()A．(a，f(－a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))))答案：C解析：∵f(－a)＝－f(a)，∴C正確，故選C.3．若函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(a∈R)，則下列結(jié)論正確的是()A．對任意實(shí)數(shù)a，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．對任意實(shí)數(shù)a，f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．存在實(shí)數(shù)a，使f(x)是偶函數(shù)D．存在實(shí)數(shù)a，使f(x)是奇函數(shù)答案：C解析：對于A，取a＝，則f(1)＝12＋eq\f,1)＝，f＝＋eq\f,＝，顯然f(1)>f，所以A錯(cuò)誤；對于B，取a＝0，則f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；對于C，取a＝0，則f(x)＝x2，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，所以C正確；對于D，假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得f(x)是奇函數(shù)，則f(－1)＝－f(1)，又f(－1)＝1－a，f(1)＝1＋a，－f(1)＝－1－a，顯然f(－1)≠－f(1)，即假設(shè)不成立，所以D錯(cuò)誤．故選C.4．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2－eq\f(1,2)x，則f(1)＝()A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(1,2)\f(3,2)\f(1,2)答案：A解析：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(1)＝－f(－1)＝－eq\f(3,2).5．若f(x)＝(x－a)(x＋3)為R上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－3B．3C．－6D．6答案：B解析：因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－a)(－x＋3)＝(x－a)(x＋3)，化簡得(6－2a)x＝0.因?yàn)閤∈R，所以6－2a＝0，即a＝3.6．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A．f(－1)＜f(3)＜f(4)B．f(4)＜f(3)＜f(－1)C．f(3)＜f(4)＜f(－1)D．f(－1)＜f(4)＜f(3)答案：D解析：因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，則f(4)＝－f(0)＝0.又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)．又f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(1)＞f(0)，即f(1)＞0，所以f(－1)＝－f(1)＜0，f(3)＝f(1)＞0，于是f(－1)＜f(4)＜f(3)．二、填空題(本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分)7．已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x＋1，則x＞0時(shí)，f(x)＝________.答案：－x＋1解析：當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)＝－x＋1.8．已知y＝f(x)是偶函數(shù)，y＝g(x)是奇函數(shù)，它們的定義域均為[－2,2]，且它們在x∈[0,2]上圖象如圖所示，f(x)>g(x)的解集是________．答案：[－2,0)∪(0,1)解析：做出函數(shù)f(x)，g(x)在[－2,2]上的圖象．若f(x)>g(x)，f(x)圖象應(yīng)位于g(x)圖象上方，結(jié)合圖象，f(x)>g(x)解集為[－2,0)∪(0,1)．9．若奇函數(shù)f(x)(x≠0)在x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x－1，則滿足不等式f(x－1)<0的x的取值范圍是________．答案：(1,2)∪(－∞，0)解析：方法一：當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x－1.又函數(shù)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝x＋1，x∈(－∞，0)．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x>0，,x＋1，x<0.))所以f(x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x>1，,x，x<1.)))則f(x－1)<0時(shí)，有1<x<2或x<0，此即為x的取值范圍．方法二：由于當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x－1，所以f(1)＝0，且函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝0，且函數(shù)在(－∞，0)上也為增函數(shù)，于是f(x－1)<0轉(zhuǎn)化為f(x－1)<f(1)或f(x－1)<f(－1)．當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－1<1，))即1<x<2.當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，x－1<－1，即x<0.三、解答題(本大題共4小題，共45分)10．(12分)已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，又f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)且f(x)<0.問F(x)＝eq\f(1,fx)在(－∞，0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論．解：F(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，證明過程如下：設(shè)x1<x2<0，則－x1>－x2>0.F(x1)－F(x2)＝eq\f(1,fx1)－eq\f(1,fx2)＝eq\f(fx2－fx1,fx1fx2).∵f(x)是奇函數(shù)，∴－f(x1)<－f(x2)，即f(x2)－f(x1)<0.∵f(x)在(0，＋∞)上總小于0，－x1>－x2>0，∴f(x1)＝－f(－x1)>0，f(x2)＝－f(－x2)>0.∴f(x1)f(x2)>0，∴F(x1)－F(x2)<0.即F(x1)<F(x2)．∴F(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)．11．(13分)奇函數(shù)f(x)是定義在(－1,1)上的減函數(shù)，若f(m－1)＋f(3－2m)＜0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：原不等式化為f(m－1)＜－f(3－2m)．因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(m－1)＜f(2m－3)．因?yàn)閒(x)是減函數(shù)，所以m－1＞2m－3，所以m＜2.又f(x)的定義域?yàn)?－1,1)，所以－1＜m－1＜1且－1＜3－2m＜1，所以0＜m＜2且1＜m＜2，所以1＜m＜2.綜上得1＜m＜2.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,2)．能力提升12．(5分)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為()A．－1B．0C．1D．2答案：B解析：∵f(x)是R上的奇函數(shù)∴f(0)＝0.f(2)＝－f(0)＝0.f(4)＝－f(2)＝0.f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝0.13．(15分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且f(eq\f(1,2))＝eq\f(2,5).(1)確定函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的值域．解：(1)因?yàn)閒(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(a－x＋b,1＋－x2)＝－eq\f(ax＋b,1＋x2)，求得b＝0.又f(eq\f(1,2))＝eq\f(2,5)，即eq\f(\f(1,2)a,1＋\f(1,2)2)＝eq\f(2,5)，求得a＝1.故所求函數(shù)解析式為f(x)＝eq\f(x,1＋x2)(x∈(－1,1))．(2)當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0；當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)＝eq\f(x,1＋x2)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))令u(x)＝x＋eq\f(1,x)，x∈(－1,1)，且x≠0，設(shè)任意的x1，x2∈(0,1)，且x1＜x2，則u(x1)－u(x2)＝x1＋eq\f(1,x1)－(x2＋eq\f(1,x2))＝(x1－x2)(1－eq\f(1,x1x2))．因?yàn)?＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1,1－eq\f(1,x1x2)＜0.又x1－x2＜0，所以u(x1)－u(x2)＞0，即u