測(cè)量學(xué)第二章-測(cè)量誤差和數(shù)據(jù)分析

第1章

測(cè)試技術(shù)的基本知識(shí)第1篇：測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)第2章

測(cè)量誤差和數(shù)據(jù)處理2.1測(cè)量誤差2.2測(cè)量誤差的來(lái)源2.3誤差的分類2.4隨機(jī)誤差分析2.5系統(tǒng)誤差分析2.6間接測(cè)量的誤差傳遞與分配2.7誤差的合成2.8測(cè)量數(shù)據(jù)的處理2.9最小二乘法第2章：測(cè)量誤差和數(shù)據(jù)處理授課時(shí)間：4學(xué)時(shí)主要內(nèi)容：測(cè)量誤差、來(lái)源及分類、隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差分析、間接測(cè)量的誤差傳遞和分配、誤差的合成、測(cè)量數(shù)據(jù)的處理重點(diǎn)與難點(diǎn)：誤差分析、傳遞、分配、合成和測(cè)量數(shù)據(jù)的處理。第2章：測(cè)量誤差和數(shù)據(jù)處理1.為什么測(cè)量結(jié)果都帶有誤差？2.為什么方差和標(biāo)準(zhǔn)差可以描述測(cè)量的重復(fù)性或被測(cè)量的穩(wěn)定性？3.什么是真實(shí)值？應(yīng)用中如何選擇？4.誤差的來(lái)源一般如何考慮？5.試驗(yàn)中為什么要進(jìn)行多次測(cè)量？思考？§2.1：測(cè)量誤差2.1.1誤差2.1.2誤差的表示方法真值A(chǔ)0一個(gè)物理量在一定的條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實(shí)數(shù)值。2.1.1誤差理想的測(cè)量?jī)x器?無(wú)誤差測(cè)量？物理量的真值是無(wú)法測(cè)量指定值A(chǔ)s(計(jì)量基準(zhǔn))一般由國(guó)家設(shè)立各種盡可能維持不變的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)（基準(zhǔn)），以法定的形式指定其所體現(xiàn)出來(lái)的量值作為計(jì)量單位的指定值。指定值也叫約定真值，一般用來(lái)代替真值。2.1.1誤差實(shí)際值A(chǔ)也叫相對(duì)真值，在每一級(jí)的比較中，都以上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無(wú)誤的值，通常稱為實(shí)際值。如果更高一級(jí)測(cè)量器具的誤差為本級(jí)測(cè)量器具誤差的1/3～1/10，就可以認(rèn)為更高一級(jí)測(cè)量器具的測(cè)量值為真值。2.1.1誤差標(biāo)稱值測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值。標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。在標(biāo)出測(cè)量器具的標(biāo)稱值時(shí)，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級(jí)。2.1.1誤差示值也稱測(cè)量器具的測(cè)得值或測(cè)量值，測(cè)量器具指示的被測(cè)量量值，包括數(shù)值和單位。與測(cè)量?jī)x表的讀數(shù)存在區(qū)別。比如：100分度表表示50mA的電流表，指針指在刻度盤(pán)的50處時(shí)，讀數(shù)是50，而值是25mA。在記錄測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，需要記錄儀表量程、讀數(shù)和示值。數(shù)字顯示儀表，示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。2.1.1誤差電流表電壓表測(cè)量誤差測(cè)量?jī)x器儀表的測(cè)得值與被測(cè)量真值之間的差異，稱之為測(cè)量誤差。測(cè)量器具不準(zhǔn)確測(cè)量手段不完善環(huán)境影響測(cè)量操作不熟練工作疏忽等2.1.1誤差單次測(cè)量單次測(cè)量是用測(cè)量?jī)x器對(duì)待測(cè)量進(jìn)行一次測(cè)量的過(guò)程。單次測(cè)量不能反映測(cè)量結(jié)果的精密度。給出被測(cè)量的大致概念和規(guī)律。多次測(cè)量多次測(cè)量是用測(cè)量?jī)x器對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量的過(guò)程。依靠多次測(cè)量可以觀察測(cè)量結(jié)果的一致性。通常要求較高的精密測(cè)量都須進(jìn)行多次測(cè)量。2.1.1誤差等精度測(cè)量在保持測(cè)量條件不變的情況下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行的多次測(cè)量過(guò)程稱為等精度測(cè)量。等精度測(cè)量的測(cè)量結(jié)果具有同樣的可靠性。非等精度測(cè)量如果在同一被測(cè)量的多次重復(fù)測(cè)量中，不是所有的測(cè)量條件都是維持不變的，稱為非等精度測(cè)量。有時(shí)為了驗(yàn)證某些結(jié)果或結(jié)論，研究新的測(cè)量方法，檢定不同的測(cè)量?jī)x器也要進(jìn)行非等精度測(cè)量。2.1.1誤差絕對(duì)誤差Δx2.1.2誤差的表示方法絕對(duì)誤差測(cè)量值實(shí)際值人體體溫：37±2℃爐窯爐溫：1400±2℃

特點(diǎn)：有量綱有符號(hào)有方向恒不為零測(cè)量?jī)x表的絕對(duì)誤差2.1.2誤差的表示方法

修正值c與絕對(duì)誤差的絕對(duì)值相等符號(hào)相反；由上級(jí)標(biāo)準(zhǔn)給出，可以是表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式可以得到被測(cè)量的實(shí)際值A(chǔ)為實(shí)際值x為標(biāo)稱值某溫度表測(cè)得溫度示值為120.1℃，查溫度表鑒定書(shū)得知該溫度表在120.1℃及其附近的修正值為－0.1℃，則被測(cè)量的實(shí)際值？舉例測(cè)量值：x＝120.1℃修正值：c＝－0.1℃實(shí)際值：A＝x+c＝120.0℃實(shí)際相對(duì)誤差2.1.2誤差的表示方法示值相對(duì)誤差/標(biāo)稱相對(duì)誤差滿度相對(duì)誤差/滿度誤差/引用誤差2.1.2誤差的表示方法

滿度誤差實(shí)際上給出了儀表量程內(nèi)絕對(duì)誤差的最大值。

儀表準(zhǔn)確度等級(jí)S按照滿度誤差分級(jí)，0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5及5.0舉例：某電壓表S＝0.5，表明準(zhǔn)確度等級(jí)為0.5，即滿度誤差不超過(guò)0.5級(jí)，即|γm|≤0.5% 或γm＝±0.5％例2.1.1某電壓表S＝1.5，試算出它在0～100V量程中的最大絕對(duì)誤差。解：由題知

儀器滿度值xm＝100V

準(zhǔn)確度等級(jí)S＝1.5

即滿度誤差γm＝±1.5％

則最大絕對(duì)誤差Δxm＝±1.5%×100＝±1.5V例題誤差整量化處理：認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對(duì)誤差為常數(shù)且等于最大絕對(duì)誤差Δxm。例2.1.2某1.0級(jí)壓力表，滿度值xm＝1.00MPa，求測(cè)量值分別為x1＝1.00MPa，x2＝0.80MPa，x3＝0.20MPa時(shí)的絕對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差。

例題絕對(duì)誤差示值相對(duì)誤差例2.1.3要測(cè)量100℃的溫度，限于現(xiàn)有0.5級(jí)、測(cè)量范圍為0～300℃和1.0級(jí)、測(cè)量范圍為0～100℃的兩種溫度計(jì)，試選擇合適的溫度計(jì)。

例題0～300℃0～100℃為了減小測(cè)量誤差，盡量選擇使示值接近量程的儀表，一般以示值不小于滿度值的2/3為宜；同一量程內(nèi)，測(cè)得值越小，示值相對(duì)誤差越大；儀表的準(zhǔn)確度并不是測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，只有在示值與滿度值相同時(shí)，二者才相等，否則測(cè)得值的準(zhǔn)確度要低于儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)；實(shí)際中需要選擇合適量程的儀表，以減小示值相對(duì)誤差。

結(jié)論練習(xí)題某臺(tái)溫度儀表的標(biāo)尺范圍為0-500℃，精度等級(jí)為1.0級(jí)，已知其絕對(duì)誤差最大值為6℃，問(wèn)該儀表是否合格？某臺(tái)0-1000℃的溫度顯示儀表，工藝上要求指示誤差不超過(guò)7℃，問(wèn)如何確定該儀表的精度？現(xiàn)有2.5級(jí)、2.0級(jí)、1,

5級(jí)三塊測(cè)溫儀表，測(cè)量范圍分別為-100~500℃、-50~550℃、0~1000℃，現(xiàn)要測(cè)量500℃的溫度，其測(cè)量值的相對(duì)誤差不超過(guò)2.5%，問(wèn)選哪塊儀表最合適？§2.2：測(cè)量誤差的來(lái)源2.2.1儀器誤差2.2.2人身誤差2.2.3影響誤差2.2.4方法誤差儀器誤差又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計(jì)、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過(guò)程中元器件老化、機(jī)械部件磨損、疲勞等因素而使測(cè)量?jī)x器帶有的誤差。細(xì)分讀數(shù)誤差內(nèi)部噪聲誤差穩(wěn)定誤差動(dòng)態(tài)誤差等2.2.1儀器誤差減小儀器誤差的主要途徑：根據(jù)測(cè)量任務(wù)，正確的選用合適的測(cè)量方法和使用測(cè)量?jī)x器，在額定的使用工作條件下按照使用要求進(jìn)行操作。對(duì)于數(shù)字式儀器，盡量使顯示設(shè)備顯示盡可能多的有效數(shù)字。人身誤差主要指測(cè)量者感官的分辨能力、視覺(jué)疲勞、固有習(xí)慣等而對(duì)測(cè)量實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。減小人身誤差的主要途徑提高測(cè)量者的操作技能和工作責(zé)任心，采用更合適的測(cè)量辦法，采用數(shù)字式儀表避免讀數(shù)視差。2.2.2人身誤差影響誤差指各種環(huán)境與要求條件不一致造成的誤差；當(dāng)環(huán)境條件符合要求時(shí)，影響誤差通?？梢院雎圆挥?jì)；當(dāng)對(duì)于精密測(cè)量和計(jì)量而言，需要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)的溫度、壓力、濕度、電源電壓等影響值求出各項(xiàng)影響誤差。2.2.3影響誤差方法誤差測(cè)量方法不當(dāng)測(cè)量設(shè)備操作使用不當(dāng)測(cè)量所依據(jù)的理論不嚴(yán)格測(cè)量計(jì)算公式不適當(dāng)簡(jiǎn)化方法誤差修正方法誤差通常以系統(tǒng)誤差（恒值系統(tǒng)誤差）形式表現(xiàn)出來(lái)，原則上是可以通過(guò)理論分析和計(jì)算或改變測(cè)量方法加以消除或修正。2.2.4方法誤差§2.3誤差的分類2.3.1系統(tǒng)誤差2.3.2隨機(jī)誤差2.3.3粗大誤差系差在多次等精度測(cè)量同一恒定量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或當(dāng)條件改變時(shí)按照某種規(guī)律變化的誤差。分類恒定系差：大小和符號(hào)保持不變變值系差累進(jìn)性系差周期性系差按復(fù)雜規(guī)律變化系差2.3.1系統(tǒng)誤差系差ε時(shí)間/tabcd體現(xiàn)了測(cè)量的正確度系差特點(diǎn)測(cè)量條件不變，系差為確切數(shù)值；多次測(cè)量取平均值的辦法不能改變或消除系差；條件改變時(shí)，系差也隨之改變，具有重復(fù)性。產(chǎn)生系差原因測(cè)量?jī)x器設(shè)計(jì)原理及制作缺陷；測(cè)量時(shí)的環(huán)境條件與儀器儀表使用要求不一致等；采用近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式；測(cè)量人員估計(jì)讀數(shù)時(shí)習(xí)慣等。2.3.1系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差又稱偶然誤差，是指對(duì)同一恒定量值進(jìn)行多次等精度測(cè)量時(shí)，其絕對(duì)值和符號(hào)無(wú)規(guī)則變化的誤差。隨機(jī)誤差特點(diǎn)有界性：多次測(cè)量中誤差絕對(duì)值的波動(dòng)有一定的界限；對(duì)稱性：測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)幾乎相等；抵償性：正負(fù)誤差的算術(shù)平均值趨于零。2.3.2隨機(jī)誤差基于隨機(jī)誤差特點(diǎn)，可以對(duì)多次測(cè)量取平均值的辦法減小隨機(jī)誤差的影響。體現(xiàn)了測(cè)量的精密度2.3.2隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差產(chǎn)生原因測(cè)量?jī)x器元件產(chǎn)生噪聲，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等；溫度即電源電壓的無(wú)規(guī)格波動(dòng)，電磁干擾，地基震動(dòng)等；測(cè)量人員感官器官的無(wú)規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定。2.3.2隨機(jī)誤差2.3.3粗大誤差粗大誤差也稱疏失誤差，在一定的測(cè)量條件下，測(cè)量值明顯地偏于實(shí)際值所形成的誤差。產(chǎn)生粗大誤差原因測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤；測(cè)量操作疏忽和失誤；測(cè)量條件的突然變化。三種誤差之間誤差三種誤差之間關(guān)系粗大誤差隨機(jī)誤差系統(tǒng)誤差測(cè)量結(jié)果系差和隨機(jī)誤差關(guān)系系差和隨機(jī)誤差關(guān)系同時(shí)存在，具體問(wèn)題，具體分析；系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差，按照純粹系差處理；系統(tǒng)誤差極小或已得到修正，此時(shí)可以按照純粹隨機(jī)誤差處理；系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差相差不遠(yuǎn)，兩者均不可忽略，則應(yīng)按照不同的辦法處理?！?.4隨機(jī)誤差分析2.4.1隨機(jī)誤差定義2.4.2測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差2.4.3誤差正態(tài)分布規(guī)律2.4.4隨機(jī)誤差的表達(dá)形式2.4.5標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算2.4.6算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差2.4.7有限次測(cè)量結(jié)果的表達(dá)2.4.1隨機(jī)誤差的定義定義在相同條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一個(gè)物理量，以不可預(yù)定的方式變化的測(cè)量誤差的分量稱為隨機(jī)誤差。特點(diǎn)隨機(jī)性不能修正不能完全消除，只能加以減小或限制。因此，要想得到正確的測(cè)量結(jié)果，必須經(jīng)過(guò)多次重復(fù)測(cè)量。理論基礎(chǔ)：概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.4.2測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差樣本平均值n個(gè)測(cè)量值的算術(shù)平均值（n次等精度測(cè)量）數(shù)學(xué)期望測(cè)量次數(shù)n趨于無(wú)窮大時(shí)，樣本平均值的極限定義為測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望。2.4.2測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)誤差假設(shè)上述測(cè)量不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則測(cè)量值與真值之間的絕對(duì)誤差即為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值由于隨機(jī)誤差的補(bǔ)償性，隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望值為零。測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望等于被測(cè)量真值2.4.2測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)誤差有限次測(cè)量，當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)近似認(rèn)為實(shí)際測(cè)量工作中，將多次測(cè)得值的算術(shù)平均值稱之為被測(cè)量的最佳估值或最可信賴值！2.4.2測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差剩余誤差/殘差當(dāng)進(jìn)行有限次測(cè)量時(shí)，各次測(cè)量值與算術(shù)平均值之差，定義為剩余誤差或殘差。殘差的代數(shù)和為零，可以用來(lái)檢驗(yàn)計(jì)算的算術(shù)平均值是否正確，當(dāng)進(jìn)行無(wú)窮多次測(cè)量時(shí)，殘差即為隨機(jī)誤差！兩邊分別求和2.4.2測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差樣本方差方差定義為測(cè)量次數(shù)無(wú)窮大時(shí)測(cè)量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值，即標(biāo)準(zhǔn)差為了與隨機(jī)誤差單位一致，上式兩邊開(kāi)方得到測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差，也稱標(biāo)準(zhǔn)偏差。2.4.3誤差正態(tài)分布規(guī)律正態(tài)分布規(guī)律－高斯分布Exφ(x)φ(δ)δ測(cè)量值在數(shù)學(xué)期望值上出現(xiàn)的概率最大等于零的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率最大2.4.3誤差正態(tài)分布規(guī)律測(cè)量值的概率密度函數(shù)隨機(jī)誤差的概率分布函數(shù)概率密度函數(shù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)2.4.3誤差正態(tài)分布規(guī)律隨機(jī)誤差特征絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大，反之則小——有界性；大小相等，符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相等——對(duì)稱性和抵償性；正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測(cè)量值越集中，精密度高，反之則低；2.4.4隨機(jī)誤差的表達(dá)形式剩余誤差v最大絕對(duì)誤差U標(biāo)準(zhǔn)偏差σ2.4.4隨機(jī)誤差的表達(dá)形式算術(shù)平均誤差θ算術(shù)平均誤差θ與標(biāo)準(zhǔn)差之間關(guān)系2.4.4隨機(jī)誤差的表達(dá)形式算術(shù)平均誤差θ與標(biāo)準(zhǔn)差之間關(guān)系（續(xù)）θ＝0.7979σ＝4σ/5對(duì)應(yīng)置信區(qū)間為57.62%2.4.4隨機(jī)誤差的表達(dá)形式或然誤差(中值誤差)

ρ或或然誤差ρ與標(biāo)準(zhǔn)差關(guān)系ρ＝0.674489σ＝2σ/3對(duì)應(yīng)置信區(qū)間為50%2.4.4隨機(jī)誤差的表達(dá)形式極限誤差δlim[-σ,+σ][-2σ,+

2σ][-3σ,+3σ]即：即測(cè)得值xi的置信區(qū)間為[Ex－3σ，Ex＋3σ]時(shí)的置信概率分別為0.997，因此定義Δ＝3σ為極限誤差，或稱最大誤差。2.4.4隨機(jī)誤差的表達(dá)形式2.4.4隨機(jī)誤差的表達(dá)形式萊特準(zhǔn)則δlim按照|δi|>3σ來(lái)判斷壞值的前提：大量等精度測(cè)量測(cè)量數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布極限誤差和最大誤差區(qū)別最大絕對(duì)誤差的定義是不超過(guò)，極限誤差定義說(shuō)明測(cè)量誤差有可能超過(guò)，只是概率很小。2.4.4隨機(jī)誤差的表達(dá)形式極差R測(cè)量序列中測(cè)量值的最大值和最小值之差的絕度值：評(píng)價(jià)測(cè)量序列的精度極限誤差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、算術(shù)平均偏差、或然誤差置信限大小置信概率2.4.5標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算極差法n2345678910d1.141.912.242.482.672.832.963.083.19d：轉(zhuǎn)換因子，隨測(cè)量次數(shù)n不同而異2.4.5標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的極大似然估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差的極大似然估計(jì)是有偏估計(jì)2.4.5標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算貝塞爾公式計(jì)算n>1，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)常用的公式2.4.5標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)即根據(jù)貝塞爾公式求得標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，乘以修正系數(shù)，得到標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)！2.4.6算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差2.4.6算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān)結(jié)論在n次測(cè)量的等精度測(cè)量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的倍，測(cè)量次數(shù)越大，算術(shù)平均值越接近被測(cè)量的真值，測(cè)量精度也越高；N次重復(fù)測(cè)量的算術(shù)平均值服從以真值為中心，以為方差的正態(tài)分布；算術(shù)平均值的分布范圍是單次測(cè)量值的分布范圍的，即其測(cè)量精度提高了倍。2.4.6算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差或當(dāng)n＝8時(shí)當(dāng)n＝100時(shí)2.4.6算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān)結(jié)論當(dāng)n較大時(shí)，所求出的標(biāo)準(zhǔn)差比n較小時(shí)求出的更可靠，說(shuō)明估計(jì)值密集在標(biāo)準(zhǔn)差周?chē)谋容^多；總的來(lái)說(shuō)，估計(jì)值并不精密，用貝塞爾公式求出的標(biāo)準(zhǔn)差的有效數(shù)字最多取兩位。2.4.7有限次測(cè)量的表達(dá)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的極限誤差測(cè)量結(jié)果表示2.4.7有限次測(cè)量的表達(dá)有限次測(cè)量時(shí)測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計(jì)2.4.7有限次測(cè)量的表達(dá)測(cè)量結(jié)果的處理舉例例2.4.1用溫度表對(duì)某一溫度測(cè)量10次，設(shè)已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下表，試給出最終測(cè)量結(jié)果表達(dá)式§2.5系統(tǒng)誤差分析2.5.1系統(tǒng)誤差的特性2.5.2系統(tǒng)誤差的判斷2.5.3消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源2.5.4消除系統(tǒng)誤差的典型測(cè)量技術(shù)2.5.5消除系統(tǒng)誤差的其他方法2.5.1系統(tǒng)誤差的特性

排除粗差后設(shè)系差為恒值隨機(jī)誤差抵償性由此可見(jiàn)：系差與隨機(jī)誤差同時(shí)存在，若測(cè)量次數(shù)足夠多，則各次測(cè)量絕對(duì)誤差的算術(shù)平均值等于系差。2.5.2系統(tǒng)誤差的判斷理論分析法凡屬于測(cè)量方法或測(cè)量原理引入的誤差，可通過(guò)對(duì)測(cè)量方法的定性定量分析發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，甚至計(jì)算出系統(tǒng)誤差的大小。校準(zhǔn)和比對(duì)法可用準(zhǔn)確度更高的測(cè)量?jī)x表進(jìn)行重復(fù)測(cè)量以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。用多臺(tái)同型號(hào)儀器進(jìn)行比對(duì)，觀察比對(duì)結(jié)果以發(fā)現(xiàn)系差，但通常不能察覺(jué)和衡量理論誤差。2.5.2系統(tǒng)誤差的判斷改變測(cè)量條件法系差常與測(cè)量條件有關(guān)，改變測(cè)量條件，根據(jù)對(duì)分組測(cè)量數(shù)據(jù)的比較，有可能發(fā)現(xiàn)系差。剩余誤差觀察法根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)數(shù)列出各個(gè)剩余誤差的大小、符號(hào)和變化規(guī)律，以判斷有誤系差及類型。2.5.3消除系差產(chǎn)生的根源消除系差產(chǎn)生的根源采用的測(cè)量方法和測(cè)量原理正確；選用的儀器儀表類型正確，準(zhǔn)確度滿足測(cè)量要求；測(cè)量?jī)x器定期檢定、校準(zhǔn)，測(cè)量前正確調(diào)零，按照操作規(guī)范正確使用儀表；條件允許時(shí)，可盡量用數(shù)字顯示儀器代替指針式儀器；提高測(cè)量人員的學(xué)識(shí)水平，操作技能，去除不良習(xí)慣。2.5.4消除系差的典型測(cè)量技術(shù)零示法XPSPEsRsR1R2UxUsIp被測(cè)量?jī)H與標(biāo)準(zhǔn)量有關(guān)2.5.4消除系差的典型測(cè)量技術(shù)替代法PER1R2RxR3Rs可見(jiàn)，測(cè)量誤差僅取決于標(biāo)準(zhǔn)電阻Rs的誤差2.5.5消除系差的其他方法利用修正值或修正因數(shù)加以消除利用測(cè)量?jī)x器檢定書(shū)中給出的校正曲線、校正數(shù)據(jù)或校正公式進(jìn)行修正。隨機(jī)化處理同一被測(cè)量用多臺(tái)測(cè)量?jī)x器測(cè)量，取測(cè)量值的平均值作為測(cè)量結(jié)果。2.5.5消除系差的其他方法智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除直流零位校準(zhǔn)（萬(wàn)用表校準(zhǔn)）自動(dòng)校準(zhǔn)2.5.5消除系差的其他方法課后習(xí)題4，6，7，9，17，182.1測(cè)量誤差2.2測(cè)量誤差的來(lái)源2.3誤差的分類2.4隨機(jī)誤差分析2.5系統(tǒng)誤差分析2.6間接測(cè)量的誤差傳遞與分配2.7誤差的合成2.8測(cè)量數(shù)據(jù)的處理2.9最小二乘法第2章：測(cè)量誤差和數(shù)據(jù)處理1.誤差合成和誤差分配有何區(qū)別？2.在測(cè)試技術(shù)中，什么情況下用到誤差分配？3.對(duì)含有粗大誤差的異常值如何處理和判別？思考？§2.6：

間接測(cè)量的誤差傳遞與分配2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞2.6.2常用函數(shù)的誤差傳遞2.6.3間接測(cè)量的誤差分配2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞誤差傳遞已知每一個(gè)直接測(cè)量誤差，求間接測(cè)量量的誤差，即為誤差傳遞。R——直接測(cè)量量l——直接測(cè)量量d——直接測(cè)量量ρ——間接測(cè)量量G——直接測(cè)量量T1——直接測(cè)量量T2——直接測(cè)量量Q——間接測(cè)量量2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞間接測(cè)量的絕對(duì)誤差2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞間接測(cè)量的絕對(duì)誤差（續(xù)）誤差傳遞系數(shù)2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞間接測(cè)量的相對(duì)誤差兩邊同時(shí)除以y2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差前提是測(cè)量列只含隨機(jī)誤差2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差（續(xù)）2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差（續(xù)）2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差（續(xù)）2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差（續(xù)）2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差（續(xù)）定義相關(guān)系數(shù)2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差（續(xù)）測(cè)量次數(shù)足夠多隨機(jī)誤差相互獨(dú)立相關(guān)系數(shù)＝02.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞間接測(cè)量的誤差傳遞公式取y的極限誤差Δy2.6.1間接測(cè)量的誤差傳遞等精度多次測(cè)量的間接測(cè)量量的誤差傳遞公式絕對(duì)誤差形式相對(duì)誤差形式2.6.2常用函數(shù)的誤差傳遞和差函數(shù)的誤差傳遞誤差符號(hào)不能確定2.6.2常用函數(shù)的誤差傳遞和差函數(shù)的誤差傳遞（續(xù)）2.6.2常用函數(shù)的誤差傳遞和差函數(shù)的誤差傳遞（續(xù)）對(duì)于差函數(shù)，當(dāng)測(cè)得值非常接近時(shí)，可能造成很大誤差！例題例2.6.1已知電阻R1＝1KΩ，R2＝2KΩ，相對(duì)誤差均為5％，求串聯(lián)后的相對(duì)誤差。解：串聯(lián)后電阻R＝R1＋R2由和函數(shù)誤差傳遞可知相對(duì)誤差相同的電阻串聯(lián)后總電阻的相對(duì)誤差與單個(gè)電阻相等例題例2.6.2用溫度表測(cè)量散熱器進(jìn)出口水溫差，溫度表滿量程為100℃，準(zhǔn)確度為±1％，測(cè)得進(jìn)口水溫T1為65℃，出口水溫T2為60℃，試計(jì)算溫差T＝T1－T2的相對(duì)誤差。解：溫度表最大絕對(duì)誤差為±1%×100℃＝±1℃

進(jìn)口水溫T1的最大相對(duì)誤差為±1℃/65℃≈±1.5%出口水溫T1的最大相對(duì)誤差為±1℃/60℃≈±1.7%雖然所用溫度表相對(duì)誤差小，但測(cè)量結(jié)果誤差大2.6.2常用函數(shù)的誤差傳遞積函數(shù)誤差傳遞2.6.2常用函數(shù)的誤差傳遞商函數(shù)誤差傳遞2.6.2常用函數(shù)的誤差傳遞冪函數(shù)誤差傳遞例題2.6.3電流流過(guò)電阻產(chǎn)生的熱量Q=0.24I2Rt，若已知γi＝±2％，γR＝±1％，γt＝±0.5％，求γQ？解：直接由積函數(shù)的誤差傳遞公式得：2.6.3間接測(cè)量的誤差分配已知要求總誤差的前提，合理分配各誤差分量?？傉`差誤差分量誤差分量誤差分量選擇合適儀表選擇合適儀表選擇合適儀表2.6.3間接測(cè)量的誤差分配等作用原則分配誤差2.6.3間接測(cè)量的誤差分配極限誤差表示形式例題例2.6.4設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的散熱器熱工性能實(shí)驗(yàn)裝置，利用下式計(jì)算散熱量，Q＝Lρc(t1-t2),設(shè)計(jì)工況為t1－t2＝25℃，L＝50L/h。最高不超過(guò)100℃，要求散熱量的測(cè)量誤差不超過(guò)10％，需要如何進(jìn)行誤差分配及選擇測(cè)量?jī)x表。依正態(tài)分布可寫(xiě)成誤差限ΔQ的傳遞公式，兩邊同時(shí)除以Q2，1)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式，寫(xiě)出相對(duì)誤差關(guān)系式例題2)按誤差等作用原則進(jìn)行誤差分配有D≤7.1%，以此為選擇儀表的依據(jù)例題3)選擇測(cè)量?jī)x表流量測(cè)量量程：40～400L/h，精度：1.5級(jí)溫度測(cè)量量程：0～100℃，允許誤差：±1.0℃現(xiàn)有儀表例題流量測(cè)量最大誤差設(shè)計(jì)工況示值相對(duì)誤差不滿足要求溫度測(cè)量設(shè)計(jì)工況示值相對(duì)誤差例題選擇上述儀表，則總誤差為：要求誤差總誤差即：上述儀表不滿足設(shè)計(jì)要求！更換設(shè)備例題重新選擇流量計(jì)：量程：40～400L/h，精度：1.0級(jí)最大誤差設(shè)計(jì)工況示值相對(duì)誤差復(fù)核：選擇上述儀表，則總誤差為：§2.7：

誤差的合成2.7.1隨機(jī)誤差的合成2.7.2系統(tǒng)誤差的合成2.7.3隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的合成2.7誤差的合成實(shí)際測(cè)量中可能同時(shí)存在粗大誤差、隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差；當(dāng)剔除粗大誤差后，決定測(cè)量準(zhǔn)確度的是系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，而測(cè)量的準(zhǔn)確度是用總誤差來(lái)度量的；誤差合成：已知不同類型的單項(xiàng)誤差求測(cè)量中的總誤差即為誤差合成問(wèn)題。2.7.1隨機(jī)誤差的合成K個(gè)測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)誤差彼此獨(dú)立，則綜合后誤差的標(biāo)準(zhǔn)差：2.7.2系統(tǒng)誤差的合成確定的系統(tǒng)誤差的合成代數(shù)合成法：已知各系差的大小和符號(hào)絕對(duì)值合成法：可以估計(jì)系差絕對(duì)值大小，不能確定符號(hào)此法對(duì)于測(cè)量次數(shù)大于10時(shí)誤差估計(jì)偏大2.7.2系統(tǒng)誤差的合成確定的系統(tǒng)誤差的合成（續(xù)）方和根合成法：可以估計(jì)系差絕對(duì)值大小，不能確定符號(hào),且測(cè)量次數(shù)大于10當(dāng)系差純屬于定值系統(tǒng)誤差（大小及符號(hào)確定）時(shí)，可直接采用與定值系差大小相等，符號(hào)相反的量去修正例題例2.7.1使用彈簧管壓力表測(cè)量管道壓力，試計(jì)算系統(tǒng)誤差。壓力表p’ph管道流體壓力測(cè)量示意圖已知條件：壓力表S＝0.5量程0～600kPa刻度分度值2kPah＝0.5m示值300kPa指針擺動(dòng)±1格環(huán)境溫度30℃（20℃使用，每偏1℃造成附加誤差為基本誤差4%）例題儀表基本誤差：環(huán)境溫度附加誤差：安裝位置誤差：讀數(shù)誤差：系統(tǒng)總誤差：相對(duì)誤差：例題方和根合成法：相對(duì)誤差：2.7.2系統(tǒng)誤差的合成不確定的系統(tǒng)誤差的合成線性相加法：方根合成法：測(cè)量次數(shù)q小于10標(biāo)準(zhǔn)差方根合成法：2.7.3隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的合成隨機(jī)誤差的極限誤差：k個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)誤差確定系統(tǒng)誤差：m個(gè)確定的系統(tǒng)誤差不確定系統(tǒng)誤差：q個(gè)不確定的系統(tǒng)誤差測(cè)量結(jié)果綜合誤差：§2.8：

測(cè)量數(shù)據(jù)的處理2.8.1有效數(shù)字的處理2.8.2等精度測(cè)量結(jié)果的處理2.8.1有效數(shù)字的處理有效數(shù)字從誤差的觀點(diǎn)定義近似值的有效數(shù)字；末位數(shù)字是個(gè)位，則包含的絕對(duì)誤差不大于0.5；末位是十位，則包含的絕對(duì)誤差不大于5；對(duì)于絕對(duì)誤差不大于末位數(shù)字的一半，從它左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字起，到右邊最后一個(gè)數(shù)字（包括零）止，都叫有效數(shù)字。2.8.1有效數(shù)字的處理3.1416五位有效數(shù)字Δ≤0.000053.142四位有效數(shù)字Δ≤0.00058700四位有效數(shù)字Δ≤0.587×102二位有效數(shù)字Δ≤0.5×1020.087二位有效數(shù)字Δ≤0.00050.807三位有效數(shù)字Δ≤0.0005可以發(fā)現(xiàn)：位于中間和末尾的零都是有效數(shù)字，位于第一個(gè)非零數(shù)字前面的0，都不是有效數(shù)字2.8.1有效數(shù)字的處理欠準(zhǔn)數(shù)字測(cè)量結(jié)果最后一位是欠準(zhǔn)確的估計(jì)值。決定有效數(shù)字位數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是誤差。2.8.1有效數(shù)字的處理舍入規(guī)則：小于5舍，大于5入，等于5采取偶數(shù)法則最后面的數(shù)字大于0.5個(gè)單位，末位進(jìn)1；最后面的數(shù)字小于0.5個(gè)單位，末位不變；恰為0.5個(gè)單位，則奇數(shù)進(jìn)1，偶數(shù)不變。例如：12.34——12.3（4<5，舍去）12.36——12.4（4>5，進(jìn)一）12.35——12.4（3是奇數(shù)，5入）12.45——12.4（4是偶數(shù)，5舍）2.8.1有效數(shù)字的處理有效數(shù)字的運(yùn)算法則保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中精度最差的那一項(xiàng)。加法運(yùn)算原則：以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)（無(wú)小數(shù)點(diǎn)則以有效數(shù)字最少者為準(zhǔn)），其余各項(xiàng)可多取一位。減法運(yùn)算原則：當(dāng)相減兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，原則同加法。2.8.1有效數(shù)字的處理有效數(shù)字的運(yùn)算法則：保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中精度最差的那一項(xiàng)。乘除法運(yùn)算原則：以有效數(shù)字位數(shù)最少的為準(zhǔn)，其余參與運(yùn)算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等2.8.1有效數(shù)字的處理有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則乘方、開(kāi)方運(yùn)算：運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。2.8.2等精度測(cè)量結(jié)果的處理對(duì)測(cè)量結(jié)果初步修正，列出表格求出算術(shù)平均值列出殘差，驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果列出殘差平方，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差按照極限誤差剔除粗差和壞值所有殘差小于極限誤差判斷有無(wú)系差，并給以修正、消除后重新測(cè)量算出平均值的標(biāo)準(zhǔn)差列出最后表達(dá)式2.8.2等精度測(cè)量結(jié)果的處理對(duì)某溫度進(jìn)行了16次等精度測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)已計(jì)入修正值，要求給出測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式。nxivivi'(vi')21205.300.00+0.090.00812204.94-0.36-0.270.07293205.630.330.420.17644205.24-0.06+0.030.00095206.651.3506204.97-0.33-0.240.05767205.360.06+0.150.02258205.16-0.14-0.050.00259205.710.41+0.500.2510204.70-0.60-0.510.260111204.86-0.44-0.350.122512205.350.05+0.140.019613205.21-0.090.00014205.19-0.11-0.020.000415205.21-0.090.00016205.320.02+0.110.0121計(jì)算值205.300.000.002.8.2等精度測(cè)量結(jié)果的處理極限誤差Δ＝1.332.8.2等精度測(cè)量結(jié)果的處理極限誤差Δ＝0.812.8.2等精度測(cè)量結(jié)果的處理極限誤差Δ＝0.81§2.9：

最小二乘法2.9.1最小二乘法的原理2.9.2線性經(jīng)驗(yàn)公式的最小二乘法擬合2.9.3冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式的最小二乘法擬合2.9.4兩種常用非線性模型的最小二乘法擬合2.9.5一般線性參數(shù)最小二乘法2.9.1最小二乘法原理基本原理：最小二乘法是指測(cè)量值與測(cè)量結(jié)果最佳值之差的平方和最小，即：等精度測(cè)量：算術(shù)平均值即為最佳值，各測(cè)量值與算術(shù)平均值之差的平方和最?。环堑染葴y(cè)量：最佳值為各測(cè)量值與算術(shù)平均值之差的加權(quán)平均值。2.9.1線性經(jīng)驗(yàn)公式的最小二乘法擬合兩個(gè)量x，y間有線性關(guān)系：(xn,yn)(x2,y2)(x1,y1)2.9.2線性經(jīng)驗(yàn)公式的最小二乘法擬合