山西省大同市縣徐疃鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

山西省大同市縣徐疃鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)首項為1，公比為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則（）A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an參考答案：D【分析】由題意可得數(shù)列的通項公式，進(jìn)而可得其求和公式，化簡可得要求的關(guān)系式．【解答】解：由題意可得an=1×=，∴Sn==3﹣=3﹣2=3﹣2an，故選D2.下列四個圖中,函數(shù)的圖象可能是

參考答案：C3.橢圓=1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的（）A．7倍

B．5倍

C．4倍

D．3倍參考答案：A略4.若函數(shù)的圖象如右圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是(

)

參考答案：B略5.對于任意實數(shù)x，定義[x]為不大于x的最大整數(shù)（例如：[3.6]=3，[-3.6]=-4等），設(shè)函數(shù)f(x)=x-[x]，給出下列四個結(jié)論：①f(x)≥0；②f(x)<1；③f(x)是周期函數(shù)；④f(x)是偶函數(shù).其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

） A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：C6.設(shè)不等式組所表示的區(qū)域為M，函數(shù)的圖象與x軸所圍成的區(qū)域為N，向M內(nèi)隨機(jī)投一個點，則該點落在N內(nèi)的概率為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A由題意知區(qū)域M為ΔABC內(nèi)部，其面積為，區(qū)域N為半圓，面積為，∴所求概率為．故選A．

7.已知是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增函數(shù)，設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.已知是兩條不同的直線，是一個平面，且∥，則下列命題正確的是()A．若∥，則∥

B．若∥，則∥C．若，則

D．若，則參考答案：D9.在等差數(shù)列{an}中，若a1+a5+a9=，則tan（a4+a6）=(

)A． B． C．1 D．﹣1參考答案：A【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)；兩角和與差的正切函數(shù)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，知道a5是a1與a9的等差中項，得到第五項的值，根據(jù)a5是a4與a6的等差中項，得到這兩項的值，求出角的正切值．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a1+a5+a9=，∴3a5=，∴a4+a6=，∴tan（a4+a6）=tan，故選A．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差中項的應(yīng)用，考查特殊角的三角函數(shù)值，本題是一個比較簡單的綜合題目．10.若平面向量與向量的夾角是，且，則(

)A

B

C

D

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tanα=7，與的夾角為45°。若=m+n（m，n∈R），則m+n=

參考答案：3由tanα=7可得sinα=，cosα=，根據(jù)向量的分解，易得，即，即，即得，，所以m+n=3.12.設(shè)曲線在點處的切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為，則的值為

．參考答案：-113.動點P與給定的邊長為1的正方形在同一平面內(nèi)，設(shè)此正方形的頂點為A，B，C，D（逆時針方向），且P點到A，B，C的距離分別為a，b，c。若a2+b2=c2，則點P的軌跡是___________；P點到D點的最大距離為___________。參考答案：圓x2+（y+1）2=2；2+14.一個幼兒園的母親節(jié)聯(lián)誼會上，有5個小孩分別給媽媽畫了一幅畫作為禮物，放在了5個相同的信封里，可是忘了做標(biāo)記，現(xiàn)在媽媽們隨機(jī)任取一個信封，則恰好有兩個媽媽拿到了自己孩子的畫的概率為

．參考答案：15.已知非零向量序列：滿足如下條件：||=2，?=﹣，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），Sn=，當(dāng)Sn最大時，n=．參考答案：8或9【考點】數(shù)列的求和；平面向量的基本定理及其意義．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列；平面向量及應(yīng)用．【分析】由已知條件采用累加法求得=+（n﹣1），求出?的通項公式，利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵=，∴向量為首項為，公差為的等差數(shù)列，則=+（n﹣1），則?=?[+（n﹣1）]=2+（n﹣1）?=4（n﹣1）=，由?=≥0，解得n≤9，即當(dāng)n=9時，?=0，則當(dāng)n=8或9時，Sn最大，故答案為：8或9．【點評】本題考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了累加法去數(shù)列的通項公式，是中檔題16.如圖所示，一游泳者與游泳池邊AB成60°的方向向游泳池里直線游了10米,然后任意選擇一個方向繼續(xù)直線游下去,則他再游不超過10米就能夠回到游泳池邊AB的概率是

。參考答案：。如圖所示為該游泳者再游不超過10米就能夠回到游泳池邊AB邊的區(qū)域，根據(jù)幾何概型公式得。17.（5分）（2015?泰州一模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，則△ABC的面積的最大值為．參考答案：【考點】：余弦定理；正弦定理．【專題】：解三角形．【分析】：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4化簡，根據(jù)余弦定理求出cosC，由平方關(guān)系求出sinC，代入三角形面積公式求出表達(dá)式，由基本不等式即可求出三角形ABC面積的最大值．解：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4得，7a2+2b2=4，即2b2=4﹣7a2，由余弦定理得，cosC==，所以sinC===，則△ABC的面積S===a==×≤××==，當(dāng)且僅當(dāng)15a2=8﹣15a2取等號，此時a2=，所以△ABC的面積的最大值為，故答案為：．【點評】：本題考查余弦定理，平方關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，以及三角形的面積公式，考查變形、化簡能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若過點(2，0)的直線與橢圓相交于兩點，設(shè)為橢圓上一點，且滿足（為坐標(biāo)原點），當(dāng)＜

時，求實數(shù)取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）由題意知，所以．即．·····························2分又因為，所以，．故橢圓的方程為．····················4分（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在.設(shè)：，，，，由得.，.···············6分，.∵，∴，，.∵點在橢圓上，∴，∴.··························8分∵＜，∴，∴∴，∴，∴.·················10分∴，∵，∴，∴或，∴實數(shù)取值范圍為.··············12分(注意：可設(shè)直線方程為，但需要討論或兩種情況)略19.（15分）（1）求以為漸近線，且過點的雙曲線的方程；（2）求以雙曲線的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓的方程；（3）橢圓上有兩點，，為坐標(biāo)原點，若直線，斜率之積為，求證：

為定值．

參考答案：（1）設(shè)雙曲線方程為將代入，得，得雙曲線A：……………3分（2）橢圓的頂點為，焦點為，，橢圓B：…6分（3）設(shè)，，由，得，…10分同理可得，…………15分

20.如圖，在直三棱柱ABC-A’B’C’中，∠ACB=90°，AA’=BC=2AC=4.(1)若點P為AA’的中點，求證：平面B’CP⊥平面B’C’P；(2)在棱AA’上是否存在一點P，使得二面角B’-CP-C’的大小為60°，若存在，求出AP的值；若不存在，說明理由.參考答案：(1)要證明面面垂直，先要證線面垂直BC//B’C’⊥平面AA’C’C，因此B’C’⊥CP在直角三角形中求斜邊得C’P=CP=由可知C’P⊥CP綜上，CP⊥平面C’B’P，從而，平面B’CP⊥平面B’C’P(2)以C為原點建系，設(shè)AP=a，則C(0,0,0)，P(2,0,a)，C’(0,0,4)，B’(0,4,4)平面C’CP的法向量為C’B’=(0,4,0)，設(shè)平面B’CP的法向量為m=(x,y,z)則解得m=(a,2,-2)解得a=<4（棱長）因此，側(cè)棱上存在一點P滿足題意21.戶外運動已經(jīng)成為一種時尚運動，某單位為了了解員工喜歡戶外運動是否與性別有關(guān)，對本單位的50名員工進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：

喜歡戶外運動不喜歡戶外運動合計男性

5

女性10

合計

50已知在這50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運動的員工的概率是． （Ⅰ）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整； （Ⅱ）是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡戶外運動與性別有關(guān)？并說明你的理由； （Ⅲ）經(jīng)進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在喜歡戶外運動的10名女性員工中，有4人還喜歡瑜伽．若從喜歡戶外運動的10位女性員工中任選3人，記ξ表示抽到喜歡瑜伽的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 下面的臨界值表僅供參考： P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中n=a+b+c+d） 參考答案：【考點】獨立性檢驗的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【專題】計算題；概率與統(tǒng)計． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)在這50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運動的員工的概率是，可得喜歡戶外活動的男女員工共30人，其中男員工20人，從而可得列聯(lián)表； （Ⅱ）利用列聯(lián)表，計算，與臨界值比較，可得結(jié)論； （Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望． 【解答】解：（Ⅰ）∵在這50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運動的員工的概率是． ∴喜歡戶外活動的男女員工共30人，其中男員工20人，列聯(lián)表補(bǔ)充如下：

喜歡戶外運動不喜歡戶外運動合計男性20525女性101525合計302050（Ⅱ） ∴有99.5%的把握認(rèn)為喜歡戶外運動與性別有關(guān)； （Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，3，則 P（ξ=0）==；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）= ∴ξ的分布列為

ξ0123P數(shù)學(xué)期望Eξ=0×+1×+2×+3×=． 【點評】本題考查概率與統(tǒng)計知識，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，確定變量的取值，計算概率是關(guān)鍵． 22.（14分）如圖1，已知ABCD是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2.（Ⅰ）證明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.

參考答案：解析：（I）證明由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1.

所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

即OA⊥OB.故可以O(shè)為原點，OA、OB、OO1 所在直線分別為軸、y軸、z軸建立