山西省大同市煤礦集團公司第一中學2023年高三數學理聯考試卷含解析

山西省大同市煤礦集團公司第一中學2023年高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示，在平面四邊形ABCD中，為正三角形，則面積的最大值為A． B． C． D．參考答案：D在中，設，，由余弦定理得：，∵為正三角形，∴，，在中，由正弦定理得：，∴∴∵β<∠BAC，∴β為銳角，∴，當時,.2.5．在整數集中，被4除所得余數的所有整數組成一個“類”，記為，即，.給出如下四個結論：①；②；③；④“整數屬于同一‘類’”的充要條件是“”.其中正確的個數為（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C3.（06年全國卷Ⅰ理）如果復數是實數，則實數A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B解析：復數=(m2－m)+(1+m3)i是實數，∴1+m3=0，m=－1，選B.4.（

）A.-6

B.

C.6

D.參考答案：A5.設f(x)是R上的任意函數，給出下列四個函數：①f(x)f(－x)；②f(x)|f(－x)|；③f(x)－f(－x)；④f(x)＋f(－x)．則其中是偶函數的為()A．①②

B．②③

C．③④

D．①④參考答案：D6.下列函數中，定義域是且為增函數的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數，已知x∈(0,1)時，f(x)＝log(1－x)，則函數f(x)在(1,2)上()A．是增函數，且f(x)<0B．是增函數，且f(x)>0C．是減函數，且f(x)<0D．是減函數，且f(x)>0參考答案：D8.已知集合A={x|}，B={x|lgx≤1}，則A∩B=（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3] C．（0，1] D．（0，3]參考答案：D【考點】交集及其運算．【分析】求出A與B中不等式的解集分別確定出A與B，找出兩集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x≤3，即A=（﹣1，3]，由B中不等式變形得：lgx≤1=lg10，解得：0＜x≤10，即B=（0，10]，則A∩B=（0，3]，故選：D．9.已知函數的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位，則得到的新函數圖象的解析式為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A10.（5分）（2012秋?壽縣校級期末）已知命題：p所有的素數都是奇數，則命題?p是（）A．所有的素數都不是奇數B．有些的素數是奇數C．存在一個素數不是奇數D．存在一個素數是奇數參考答案：C考點：命題的否定．專題：規(guī)律型．分析：根據全稱命題的否定是特稱命題即可得到結論．解答：解：∵命題p為全稱命題，∴根據全稱命題的否定是特稱命題得：￢p存在一個素數不是奇數．故選：C．點評：本題主要考查含有量詞的命題的否定，要求熟練掌握全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．比較基礎．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設D為不等式組表示的平面區(qū)域，點為坐標平面內一點，若對于區(qū)域D內的任一點，都有成立，則的最大值等于_________參考答案：212.若,則的值為

；參考答案：13.如果由矩陣表示的關于的二元一次方程組無解，則實數．參考答案：14.已知函數f（x）=lnx﹣ax2，且函數f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率是，則a=．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求函數的導數，利用導數的幾何意義建立方程關系進行求解即可．【解答】解：∵f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率是，∴，又，∴，得．故答案為：15.平面直角坐標系xOy中，點是單位圓在第一象限內的點，，若，則為_____．參考答案：分析】利用任意角三角函數的定義可知，同角三角函數的基本關系求得的值，再利用兩角差的正余弦公式求得的值，兩者相加即可得解．【詳解】解：由題意知：，，由，得，，故答案為：.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數的定義，同角三角函數的基本關系，兩角差的正余弦公式，屬于基礎題．16.某學校有兩個食堂，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的一個食堂用餐，則他們在同一個食堂用餐的概率為．參考答案：

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式．【分析】由于學校有兩個食堂，不妨令他們分別為食堂A、食堂B，則甲、乙、丙三名學生選擇每一個食堂的概率均為，代入相互獨立事件的概率乘法公式，即可求出他們同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他們同在食堂B用餐的概率，然后結合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．【解答】解：甲、乙、丙三名學生選擇每一個食堂的概率均為，則他們同時選中A食堂的概率為：=；他們同時選中B食堂的概率也為：=；故們在同一個食堂用餐的概率P=+=故答案為：17.將的展開式按照x的升冪排列，若倒數第三項的系數是90，則n的值是_______.參考答案：5【分析】寫出展開式通項，求出展開式倒數第三項的系數表達式，根據已知條件得出關于的方程，即可求得正整數的值.【詳解】的展開式按照的升冪排列，則展開式通項為，由題意，則倒數第三項的系數為，，整理得，解得.故答案為：5.【點睛】本題考查根據項的系數求參數，考查運算求解能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)設函數(其中).(Ⅰ)當時,求函數的單調區(qū)間;(Ⅱ)當時,求函數在上的最大值.參考答案：(1當時,,令,得,當變化時,的變化如下表:極大值極小值

右表可知,函數的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.(Ⅱ),令,得,,令,則,所以在上遞增,所以,從而,所以所以當時,;當時,;所以令,則,令,則所以在上遞減,而所以存在使得,且當時,,當時,,所以在上單調遞增,在上單調遞減.因為,,所以在上恒成立,當且僅當時取得“”.綜上,函數在上的最大值.19.已知各項均為正數的等差數列的公差d不等于0，設是公比為q的等比數列的前三項，（1）若k=7，（i）求數列的前n項和Tn；（ii）將數列和的相同的項去掉，剩下的項依次構成新的數列，設其前n項和為Sn，求的值（2）若存在m>k,使得成等比數列，求證k為奇數。參考答案：⑴因為，所以成等比數列，又是公差的等差數列，所以，整理得，又，所以，，，所以，

……………4分①用錯位相減法或其它方法可求得的前項和為；

………6分②因為新的數列的前項和為數列的前項的和減去數列前項的和，所以.

所以．

……………10分⑵由，整理得，因為，所以，所以.

因為存在m＞k,m∈N*使得成等比數列，所以，

……12分又在正項等差數列{an}中，，

……13分所以，又因為，所以有，

…………14分因為是偶數，所以也是偶數，即為偶數，所以k為奇數.

……16分略20.（本小題滿分12分）如圖1在中，，D、E分別為線段AB、AC的中點，.以DE為折痕，將折起到圖2的位置，使平面平面DBCE，連接，設F是線段上的動點，滿足.（1）證明：平面平面；（2）若二面角的大小為45°，求的值.參考答案：（1）見解析；（2）

【知識點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定G5G10（1）證明：∵平面A′DE⊥平面DBCE，A′D⊥DE，∴A′D⊥平面DBCE，∴A′D⊥BE，∵D，E分別是線段AB、AC的中點，∴DE==，BD=，…（2分）在直角三角形DEB中，∵tan=，tan，1﹣tan∠BED?tan∠CDE=0，∴∠BED+∠CDE=90°，得BE⊥DC，∴BE⊥平面A′DC，又BE?平面FEB，∴平面FEB⊥平面A′DC．…（6分）（2）解：作FG⊥DC，垂足為G，則FG⊥平面DBCE，設BE交DC于O點，連OF，由（1）知，∠FOG為二面角F﹣BE﹣C的平面角，…（7分）由FG∥A′D，則=λ，∴FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），∵DO==，∴OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，在Rt△OGF中，由tan∠FOG===1，…（10分）得．…（12分）【思路點撥】（1）由已知得A′D⊥DE，A′D⊥平面DBCE，從而A′D⊥BE，由1﹣tan∠BED?tan∠CDE=0，得BE⊥DC，由此能證明平面FEB⊥平面A′DC．（2）作FG⊥DC，垂足為G，設BE交DC于O點，連OF，則∠FOG為二面角F﹣BE﹣C的平面角，由FG∥A′D，得FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），從而OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，由此結合已知條件能求出．21.已知拋物線，過點(－1,0)的直線與拋物線C相切，設第一象限的切點為P.(Ⅰ)證明：點P在x軸上的射影為焦點F；(Ⅱ)若過點(2,0)的直線l與拋物線C相交于兩點A，B，圓M是以線段AB為直徑的圓過點P，求直線l與圓M的方程.參考答案：解：由題意知可設過點的直線方程為聯立得：，又因為直線與拋物線相切，則，即當時，直線方程為，則聯立得點坐標為又因為焦點，則點在軸上的射影為焦點設直線的方程為：，，聯立得：，則恒成立，，則，由于圓是以線段為直徑的圓過點，則，，則或當時，直線的方程為，圓的方程為當時，直線的方程為，圓的方程為

22.【選修4-4：坐標系與參數方程】（10分）已知直線l的參數方程為（t為參數），曲線C的參數方程為，（θ為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點P的極坐標為（3，）．（Ⅰ）求直線l以及曲線C的極坐標方程；（Ⅱ）設直線l與曲線C交于A、B兩點，求三角形PAB的面積．參考答案：【考點】參數方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（Ⅰ）求直線l以及曲線C的普通方程，可得相應極坐標方程；（Ⅱ）設直線l與曲線C交于A、B兩點